资源简介

秘密★启用前 试题卷类型：A
2026 年 8 月河南省普通高中高三年级开学联考
数 学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，用 0.5毫米的黑色墨水签字笔将
答案写在答题卡上。写在本试题卷上无效。
3．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．已知集合 ， ，则
A． B． C． D．
2．已知复数 满足 （其中 为虚数单位），则
A． B． C． D．
3．已知向量 ， 满足 ， ，则
A．1 B．0 C． D．
4．双曲线 的离心率为
A． B． C． D．
5．已知一组数据为 ，1，3，4，5，7，10，11，若 为这组数据的 70%分位数，则
的展开式中 的系数为
A． B． C． D．
6．已知 ，则
数学试题卷 第 1 页（共 5 页）
A． B． C． D．
7．在棱长为 8 的正方体 中，E 是棱 上的一个动点，F 为线段 上的一
个动点，则 的最小值为2026 年 8 月河南省普通高中高三年级开学联考
数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 C B C D A D
题号 7 8 9 10 11
答案 D B ABD AC AC
1．C
【详解】由题意，集合 ，而 ，
因为 ，所以 .
2．B
【分析】设复数 ，再由复数的性质及复数相等可得 ，进而可得复
数的模.
【详解】设复数 （ ），则其共轭复数 ，则 ，
所以 ，化简得：
，解得 .
所以 ，因此 .
3．C
【分析】利用向量的线性运算求出 ，结合向量的模长公式求解即可.
【详解】由 ， ，两式相加得 ，所以 ，
所以 ，所以 .
4．D
【详解】双曲线 即为 ，则 ， ，
可得 ，则 ，
又因为双曲线离心率 ，则 ．
数学参考答案 第 1 页（共 17 页）
5．A
【分析】先由百分位数定位数据求出指数 ，再将三项式中含 的两项捆绑为整体，化
归为二项式展开，逐层确定系数.
【详解】数据 ，1，3，4，5，7，10，11，共 8 个，已按从小到大排列.
由 ，故这组数据的 70% 分位数为第 6 个数，即 .
将 视为整体，原式改写为 .
其展开式的通项为 .
要得到 项，需 .此时 .
在 的展开式中， 项为 .
故 展开式中 的系数为 .
6．D
【分析】根据 ，利用诱导公式及二倍角公式求值.
【详解】因为 ，所以
.
7．D
【分析】建系，设 ，根据两点间距离公式分
析求解．
【详解】以 为坐标原点建立空间直角坐标系，则 ，
可得 ，
数学参考答案 第 2 页（共 17 页）
设 ，
则 ，即 ，
可得 ，
当 ，即 时， 取到最小值 ．
8．B
【分析】利用集合新定义，等差数列的定义以及充分条件、必要条件的判断分析即可.
【 详 解 】 由 可 知 ， 所 以 对 任 意 的
均有意义，
充分性：若数列 是等差数列，设公差为 ，首项为 ，且 ，
则 ，
因为 ，所以 ，所以对于任意正整数 ，集合 都是单元素集，
当 时， 满足已知条件，但是不满足集合 中元素为正数，故充分性不
成立，
必要性：若对于任意正整数 ，集合 都是单元素集，且该元素为正数，
则对任意正整数 ，所有 对应的 为同一个正数，记为 ，
取 ，则 ，
根据等差数列的定义可知：数列 是等差数列，故必要性成立，
所以“数列 是等差数列”是“对于任意正整数 ，集合 都是单元素集，且该元素为
正数”的必要不充分条件.
9．ABD
【详解】对于 A：圆 C 方程配方整理得 .
数学参考答案 第 3 页（共 17 页）
圆心为 ，半径 ，故 A 正确；
对于 B：直线 方程变形为 .
令 且 ，解得 ，故直线恒过定点 ，故 B 正确；
对 于 C： 定 点 到 圆 心 的 距 离 为
，
定点 在圆 内部，故对任意 ，直线 与圆 恒相交，故 C 错误；
对 于 D： 当 直 线 时 ， 直 线 被 圆 截 得 的 弦 长 最 短 ， 最 小 弦 长 为
.故 D 正确．
10．AC
【分析】A 选项，直接利用勾股定理即可求解；
B 选项，根据几何关系找到外接球的球心和半径，根据球的表面积计算公式进行求解；
C 选项，将直线的夹角转化为方向向量的夹角，注意直线夹角的取值范围；
D 选项，将平面的夹角转化为二面角，注意平面夹角的取值范围.
【详解】
A 选项，因为 ，且 ，所以 平面 ，则 ，所以
是直角三角形，
又因为 ， ，所以 ，所以 A
选项正确；
B 选项，由 A 选项分析得 ，又因为 ， ，所以 是直
角三角形，
数学参考答案 第 4 页（共 17 页）
又因为 ， ，所以 ，所以 是直角三角形，
分别作 和 的中点 和 ，则 ，因为 是直角三角形，
所以 ，同理可得 ，
则 点即为三棱锥 外接球的球心，且外接球半径为 ，
所以外接球表面积 ，所以 B 选项错误；
C 选 项 ，
，
又因为直线 与直线 所成的角范围是 ，所以夹角为 ，所以 C 选项正确；
D 选项，如图所示，分别作 ， ，则异面直线 和 的夹角即为
平面 与平面 的夹角，
由三角形面积公式可得 ，所以 ，
同理可得 ，则 ,
而 ，
而 ，
其中 ， ，
， ，
数学参考答案 第 5 页（共 17 页）
所以 ，
所以 ，即平面 与平面 的夹角为 ，所以 D 选项
错误.
11．AC
【分析】当 时，利用导数可以得到 的单调性，从而得到 ，且
和 ， 即 可 判 断 AB； 当 时 ， 联 立
可以得到 ，再代回 即可判断 C；由选项 C
得到 ，代入 即可判断 D.
【详解】对于 A，当 时，函数 ，则 ，
令 ，则 ，令 ，解得 ，
当 时， ， 在 单调递减；
当 时， ， 在 单调递增；
所 以 的 最 小 值 在 处 取 得 ， 最 小 值 为
，
又因为 时， ； 时， ，
因此 先正再负后正，即 先正再负后正，所以 先单调递增，再单调递减，
最后单调递增，
因 此 有 极 小 值 点 和 极 大 值 点 ， 满 足 和
，并且 ，
当 时， 恒成立，且 ，
，所以 ，
数学参考答案 第 6 页（共 17 页）
又 因 为 ， ， 所 以
，
所以 ，故 A 正确，
对 于 B， 由 选 项 A 可 知 ， ， 由 于
，
且二次函数 在 上单调递增，且最大值趋近于 ，但 ，所以
，故 B 错误；
对于 C，已知函数 ， ，
当 时 ， 即 ， 又 因 为
，即 ，
所以 ，解得 ，
代入 ，可得 ，
令 ，则 ，当 时， ，所以 ，即
，故 C 正确；
对于 D，由选项 C 可知， ， ，
方程 ，根为 和 （ ），
所以 ，
当 时， 在 上递增，最大值趋近于 ，
但 ，所以 ，故 D 错误.
12．
数学参考答案 第 7 页（共 17 页）
【分析】已知两边及其夹角，可通过余弦定理求第三边，利用向量关系计算中线长即可．
【详解】由 ， ， ，根据余弦定理可得：
，解得 ；
由中线 满足向量关系 可得：
，
则 ．
13．
【分析】由题意确定无穷等比数列的和存在，以此确定 并得到 ，再
结合条件即可求得 的取值范围.
【详解】等比数列前 项和 ，
若 ，当 时， ，此时 ，
此时无穷等比数列 的和不存在，一定不满足 ，故舍去，
若 ，当 时， 振荡发散， 此时 振荡发散，
此时无穷等比数列 的和不存在，一定不满足 ，故舍去，
若 ，则 ，若 ， 振荡发散，
此时无穷等比数列 的和不存在，一定不满足 ，故舍去，
若 ，当 时， ， 此时 ，
数学参考答案 第 8 页（共 17 页）
此时无穷等比数列 的和存在，即 ，
则 看作是首项为 的无穷等比数列的和，即 ，
由题意得 ，因为 ，则 ，
解得 ，因为等比数列中 ，
综上，公比 q 的取值范围是
14． /0.4
【分析】先分析二项展开式中系数为负数的项的个数，再计算排列中存在系数为负数的项
相邻（即 ）的概率，最后即可根据期望的定义计算 ．
【详解】二项式 的通项公式为 ，
显然该二项式展开共有 项，且当 时，即第 项系数为负数，
所以存在系数为负数的项相邻的排列数为 ,
又排列总数为 ，所以 ，
因此 ．
15．(1)
(2)
【 分 析 】（ 1） 利 用 余 弦 定 理 可 得 ， 代 入 已 知 等 式 推 出
，再利用余弦定理化简得出 ，即可求解；
（2）由余弦定理可求出 ，再利用三角形面积公式即可求解.
【详解】（1）在 中，由余弦定理得 .
数学参考答案 第 9 页（共 17 页）
代入已知等式 ，
得 .
由于 ，所以 .
因为 ，所以 .
又因为 ，所以 .
（2）由余弦定理得 .
将 与 代入上式得 .
故 的面积为 .
16．(1)证明：如图 2，取 的中点为 ，连接 ， ．
因为四边形 是矩形，且点 为 的中点，所以 ，
且 ，
又因为 ， 分别为 ， 的中点，所以 ，
且 ，
所以 ，且 ，所以四边形 为平行四边形，
所以 ，且 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．
(2)
数学参考答案 第 10 页（共 17 页）
【分析】（1）取 的中点为 ，连接 ， ，易证四边形 为平行四边形，
从而得 ，再根据线面平行的判定定理可得 平面 ；
（2）分别以 ， ， 所在直线为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，根据面面角
的向量求法可得.
【详解】（1）略
（2）因为 平面 ，四边形 为矩形，
所以分别以 ， ， 所在直线为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，如图 3 所示．
因为 为 中点，所以 ，即 为等腰直角三角形，即 ．
又因为四边形 是矩形，所以 ，所以 ，即 ．
又 ，
所以 ， ， ， ， ，
则 ， ， ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，
则 ，令 ，则 ，所以 ；
设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，
令 ，则 ，所以 ．
设平面 与平面 的夹角为 ，
数学参考答案 第 11 页（共 17 页）
则 ，
即平面 与平面 夹角的余弦值为 ．
17．(1) ，
(2)
(3)
【分析】（1）事件 A 表示甲队攻击乙队且乙队拦截失败；事件 B 为乙队攻击甲队且甲队
拦截失败；而无障碍时甲、乙两队发射炮弹攻击对方目标与对方拦截事件为相互独立事
件，根据独立事件的概率计算公式计算即可；
（2）经过 1 轮对抗，甲队与乙队击中对方目标数之差包括随机事件：甲击中乙未击中，
甲乙都击中对方，甲乙都未击中对方，以及甲未击中乙击中四种情况，由此取随机变量
的取值计算概率即可；
（3）根据 3 轮中，每轮都互不影响，故甲队与乙队击中对方目标次数之差可借助（2）中
1 轮的概率值进行计算．
【详解】（1）记无障碍时甲队、乙队发射炮弹攻击对方目标击中分别为事件 ， ，
，
甲队、乙队空中拦截对方炮弹成功分别为事件 ， ， ， ．
，
．
（2）经过 1 轮对抗，甲队与乙队击中对方目标数之差 的可能取值为 ， ， ．
数学参考答案 第 12 页（共 17 页）
，
．
，
的概率分布为：
所以 的数学期望 ．
（3）记 3 轮对抗后训练结束为事件 ，记甲队比乙队多击中对方目标两次为事件 ．
记 3 轮对抗训练结束后甲队与乙队击中对方目标次数之差为 ，
，
，
所以 ，
，所以 ．
在 3 轮对抗后训练结束的条件下，甲队比乙队多击中对方目标两次的概率为 ．
18．(1)
(2)①曲线 与曲线 只有一个交点，②
【分析】（1）根据导数的几何意义，即可求出函数的切线方程；
（2）①由 可得 ，易知 是方程的一个实根，只需考虑
数学参考答案 第 13 页（共 17 页）
时 实根个数，构造函数 ，讨论其单调性求出
极值，即可判断方程的实根个数，从而得出两曲线的交点个数；
②根据曲线 与曲线 相切时，有 成立，解方程组即可得
的值.
【详解】（1）当 时， ，则 ，
令 ，即 ，解得 ，
可知 ，所以曲线 与 轴平行的切线方程为 .
（2）①令 ，得 ，
当 时，等式成立，可知 ，即 是曲线 与曲线
的一个交点；
当 时，得 ，
令 ，则 ，
当 时，可知 在 上单调递增，令 ，解得 ，
当 时， ，函数 在 上单调递减，
当 时， ，函数 在 上单调递增，
在 时 ， 函 数 取 得 极 小 值 ， 为
，
因为 ，所以 恒成立，即方程 无解，
所以曲线 与曲线 只有一个交点 .
②当曲线 与曲线 相切时，有 成立，
数学参考答案 第 14 页（共 17 页）
由 得 .
因为 ， ，由 得 .
当 时， ，此时 不成立，
当 时， ，此时 不成立，
当 时，可得 成立即可，
因为 ，所以 ，解得 或 ，
可得 成立即可，解得 或 （舍），
当 时， ，解得 .
19．(1)
(2)（i） ；（ii）
【分析】（1）根据条件建立关于 的方程组，即可求解；
（2）（i）利用三角函数设点 的坐标，再根据最值和对称性求点 的坐标，即可求
的值；
（ii）利用导数设出点 处的切线方程，再根据交点 的坐标的特点，求直线 的
方程.
【详解】（1）设椭圆的焦距为 ，则 ①，
由题，椭圆的离心率 ②，
又点 到直线 的距离为 ，所以 ，得 ③，
由①②③解得 ， ， ，
数学参考答案 第 15 页（共 17 页）
所以椭圆 的方程为 ．
（2）（i）由（1）知 ，设 ，
则 ，
由二次函数的性质可得当 时， 取得最大值 ，所以 最大值为
，
此时 ，不妨取 ，
由椭圆的对称性可知当 时，
取得最大值 ，此时 取得最大值，
所以 ，
所以 ．
（ii）由题可知，点 ， 在 轴的同侧，
根 据 椭 圆 的 对 称 性 ， 不 妨 设 ， 在 轴 的 上 方 ， 所 以 ， 则
，
设直线 的方程为 ， ， ，
则椭圆 在点 处的切线为 ，即 ，
同理可得椭圆 在点 处的切线为 ，
数学参考答案 第 16 页（共 17 页）
设 ，则 ，且 ，
所以 ， 两点均在直线 上，
又直线 的方程为 ，即 ，
所以 ， ，又 ，所以 ，
所以直线 的方程为 ．
数学参考答案 第 17 页（共 17 页）

展开更多......

收起↑