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2.2一元二次方程的解法同步训练苏科版2026—2027九年级数学上册
一、选择题
1．方程的解为（ ）
A． B． C． D．以上结论都不对
2．关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法判断
3．用配方法解方程，下列变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．如果是关于的方程的一个根，那么关于的方程的解是（ ）
A． B． C． D．
5．已知实数满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于的方程的两个根，则三角形的周长为（ ）
A．7或8 B．8 C．15 D．7
7．定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们称这两个方程为“友好方程”，如果关于x的一元二次方程与为“友好方程”，则m的值为（ ）
A． B． C．1或 D．或
8．已知m，n是方程的两根，则代数式的值是（ ）
A．57 B．58 C．59 D．60
二、填空题
9．方程的根为________．
10．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是_________．
11．若是关于x的方程的一个根，则的值为________．
12．新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式的值是________________．
三、解答题
13．解方程：
(1)；
(2)；
(3)．
14．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：无论取何值，方程总有实数根；
(2)若方程的一个实数根是，求另一个实数根和的值．
15．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根．
(2)如果方程的两个实数根为，，且k与都为整数，求k所有可能的值．
16．如果方程满足两个实数解都为整数解，我们就称所有这样的一元二次方程为同族方程，并规定，例如有整数解3和4，所以属于同族方程，所以．
(1)以下一元二次方程中是同族方程的是________(填写序号)
①；②；③；④．
(2)如果同族方程中有两个相等的解，我们称这个方程为同族方程中的完美方程，求证：对任意一个完美方程，总有；
(3)关于x的一元二次方程属于同族方程，求正整数k的值．
17．配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．先阅读理解下面的例题，再按要求解答问题．
例：求代数式的最小值．
解：．
因为，所以，所以的最小值是．
(1)代数式的最小值为 ．
(2)关于的二次多项式（为常数）有最小值为，求常数的值．
(3)已知实数，满足，求的最大值．
18．在平面直角坐标系中，过一点分别作两坐标轴的垂线，若与坐标轴围成的矩形的周长与面积相等，则这个矩形叫作等积等周矩形，这个点叫做等积等周点．例如，如图1，过点分别作x轴，y轴的垂线，垂足是A，B，矩形的周长与它的面积相等，则矩形是等积等周矩形，点P是等积等周点．
(1)点是不是等积等周点，为什么？
(2)若是等积等周点，其中，过点作x轴的垂线l，点P到直线l的距离与它到x轴的距离和为y．
①求y关于t的解析式，并在图2中画出它的图象；
②和，是图象上的两个点，若在M、N两点之间函数的最大值与最小值的差为3，求a的值．
参考答案
1．D
2．C
3．B
4．B
5．A
6．D
7．D
8．B
9．，
10．
11．
12．
13．【详解】（1）解：
，
或，
∴，；
（2）解：
，
或，
∴，；
（3）解：，
，
，
，
，
∴．
14．(1)证明：在一元二次方程中，，，，
，
∵无论取何值，，即，∴无论取何值，方程总有实数根；
（2）解：∵方程的一个实数根是，
∴，
解得：，
∴一元二次方程，
∴，
解得：，，
∴方程的另一个实数根为．
15．(1)证明：
∵
=
∴无论k取何值， 方程都有两个不相等的实数根．
（2）∵，
∴，
∴或，
∴，或，，
当，时，
∵k与都为整数，
∴为整数，则或或或，
当，时，
，
∵k与都为整数，
∴为整数，则或．
∴整数k的所有可能的值为，，，，，.
16．【详解】（1）解方程得：，满足两个实数解都为整数解，
故①是同族方程；
解方程得：，不满足两个实数解都为整数解，
故②不是同族方程；
解方程得：，不满足两个实数解都为整数解，
故③不是同族方程；
解方程得：，满足两个实数解都为整数解，
故④是同族方程；
故是同族方程的是①④；
(2)证明：∵ 完美方程是有两个相等解的同族方程，即有两个相等的实数解，
∴ ，即．
∵ 有意义，
∴ ．
∴ ．
故对任意一个完美方程，总有
（3）由一元二次方程得：，，
解得：，
∵一元二次方程属于同族方程，
∴是整数，
∴正整数k的值为1或3．
17．【详解】（1）解：，
，
，
的最小值是．
（2）解：
，
，
，
关于的二次多项式的最小值为，
关于的二次多项式（为常数）有最小值为，
，
，即，
解得，，
常数的值为或；
（3）解：，
，
，
，
，
，
当时，有最大值，最大值为．
18．(1)不是，理由如下：
根据定义，矩形的两条边长为，，
矩形面积，周长，
因为，
所以该点不是等积等周点．
（2）①，
，．
由等积等周定义得等式：
，
，
解得，．
又，
舍去，得，
点坐标为．
∵直线过且垂直轴，则直线解析式为．
∴点到直线的距离为，点到轴的距离为纵坐标的绝对值．
由题意，两个距离之和为，可得：
分情况去掉绝对值，写成分段形式：
当时，，，则；
当时，，，则．
∴；
图象如下图所示：
；
②解：N点横坐标：
，
，
即点横坐标在的右半段；横坐标，在左半段．
把代入，得
；
把代入，得
．
函数图象左减右增，在处取到整个区间的最小值，最小值；区间最大值只在、两个端点．
∵两点之间函数最大值与最小值的差为3，
∴最大值为，
，最大值只能是，列方程：
解得：，．
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