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第六章
机械能
第30讲　动能定理
学习目标 命题热点
(1)理解动能定理，会用动能定理解决一些基本问题。 (2)掌握解决动能定理与图像结合问题的方法。 (3)能用动能定理解释生产生活中的现象。 利用动能定理求速度、位移、力和变力的功是高考中的热点。
考点一
考点二
考点三
提能训练　练案[30]
考点一　动能定理的理解和基本应用
1．动能
(1)定义：物体由于运动而具有的能量叫作动能。
(2)公式：Ek＝________。
(3)单位：焦耳，1 J＝1 N·m＝1 kg·m2/s2。
(4)标矢性：动能是标量，动能与速度方向无关。
(5)状态量：动能是_________，因为v是瞬时速度。
状态量
2．动能定理
(1)内容：力在一个过程中对物体做的功，等于物体在这个过程中_____________。
(2)表达式：W合＝ΔEk＝____________。
(3)物理意义：_______的功是物体动能变化的量度。
动能的变化
合力
3．对动能定理的理解
(1)适用条件：动能定理既适用于直线运动，也适用于__________；既适用于恒力做功，也适用于___________。
(2)W是合力的功，不要与某个力的功混淆。
(3)动能定理的表达式是标量式，与速度方向无关。
(4)动能定理中的位移和速度必须是相对于同一个参考系的，一般以地面或相对地面静止的物体为参考系。
曲线运动
变力做功
易 错 辨 析
1．一定质量的物体动能变化时，速度一定变化，但速度变化时，动能不一定变化。(　　)
2．动能不变的物体一定处于平衡状态。(　　)
3．如果物体所受的合外力为零，那么合外力对物体做功一定为零。(　　)
4．物体在合外力作用下做变速运动时，动能一定变化。(　　)
5．物体的动能不变，所受的合外力必定为零。(　　)
√
×
√
×
×
[答案]　C
[规律方法]　应用动能定理的解题流程
跟 踪 训 练
1．(动能定理在曲线运动中的应用)如图所示，一质量为0.5 kg的小球(视为质点)，用长为1.3 m的轻质细绳悬挂在天花板上处于静止状态，现用大小为3 N的水平恒力F拉小球，取重力加速度大小g＝10 m/s2，不计空气阻力，当小球的水平位移大小为0.5 m时，小球的速度大小为(　　)
[答案]　C
2．(动能定理在直线运动中的应用)人们有时用“打夯”的方式把松散的地面夯实(如图)。设某次打夯符合以下模型：两人同时通过绳子对重物各施加一个力，力的大小均为320 N，方向都与竖直方向成37°，重物离开地面30 cm后人停止施力，最后重物自由下落把地面砸深 2 cm。已知重物的质量为50 kg，g取10 m/s2，cos 37°＝0.8。求：
(1)重物刚落地时的速度是多大；
(2)地面对重物的平均阻力是多大。
[答案]　(1)2.5 m/s　(2)8.3×103 N
[解析]　(1)两根绳子对重物的合力F合＝2Fcos 37°＝2×320×0.8 N＝512 N
(2)从重物落地至把地面砸深2 cm过程，
考点二　应用动能定理求变力的功
(1)木塞离开瓶口的瞬间，齿轮的角速度ω；
(2)拔塞的全过程，拔塞钻对木塞做的功W；
(3)拔塞过程中，拔塞钻对木塞作用力的瞬时功率P随时间t变化的表达式。
[解析]　(1)木塞的末速度等于齿轮线速度，对木塞，根据运动学公式可得v2＝2ah
根据角速度和线速度的关系可得v＝ωr
(2)根据题意画出木塞摩擦力与运动距离的关系图如图所示
(3)设开瓶器对木塞的作用力为F，对木塞，根据牛顿第二定律F－mg－f－ΔpS＝ma
速度v′＝at
开瓶器的功率P＝Fv′
跟 踪 训 练
3．如图所示，质量为m的物块与水平转台之间的动摩擦因数为μ，物块与转台转轴相距R，物块随转台由静止开始转动并计时，在t1时刻转速达到n，物块即将开始滑动。保持转速n不变，继续转动到t2时刻。已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则(　　)
A．在0～t1时间内，摩擦力做功为零
B．在t1～t2时间内，摩擦力做功不为零
C．在0～t1时间内，摩擦力做功为2μmgR
[答案]　D
考点三　动能定理与图像结合的问题
图像与横轴所围“面积”或图像斜率的含义
Ek－x图像
考向1
[答案]　BD
[规律方法]　解决动能定理与图像问题的基本步骤
跟 踪 训 练
4．已知篮球在空中运动时所受空气阻力与速度大小成正比。从篮球与地面碰撞后竖直弹起，到再次与地面碰撞的过程中，篮球的速度v、动能Ek随时间t或高度h变化的图像可能正确的是(　　)
[答案]　C
[解析]　篮球在上升的过程中，速度越来越小，空气阻力越来越小，由mg＋Ff＝ma，可知其加速度越来越小，速度变化越来越慢，速度图线切线的斜率越来越小，下降过程中，v越大，阻力就越大，由mg－Ff＝ma，可知加速度就越小，图线切线的斜率继续减小，故A、B错误；上升过程中，h越大，v越小，阻力就越小，合力就越小，Ek－h图线切线斜率就越小，下降过程中，h越小，v越大，阻力就越大，合力就越小，所以Ek－h图线切线斜率就越小，故C正确，D错误。故选C。
W－x图像
考向2
(2026·河北沧州阶段练习)质量为2 kg的物体，放在动摩擦因数μ＝0.1的水平面上，在水平拉力的作用下由静止开始运动，拉力做的功W随物体的位移x变化的关系如图所示，则(　　)
A．x＝0至x＝3 m的过程中，物体的加速度是2.5 m/s2
B．x＝9 m时，物体的速度是4.5 m/s
C．x＝6 m时，拉力的功率是6 W
D．x＝3 m至x＝9 m过程中，合力做的功是12 J
[答案]　C
F－x图像与动能定理的综合应用
考向3
(2026·河北石家庄联考)如图甲，质量m＝10 kg的物体静止在水平地面上，在水平推力F作用下开始运动，水平推力F随位移x变化的图像如图乙所示。已知物体与地面间的动摩擦因数μ＝0.5，重力加速度大小g取10 m/s2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则(　　)
A．在0～10 m的过程中，推力F对物体所做的功为1 000 J
B．在0～10 m的过程中，滑动摩擦力对物体所做的功为500 J
C．物体的位移x＝5 m时，速度最大且大小为5 m/s
D．物体的位移x＝10 m时，其速度大小为10 m/s
[答案]　C
提能训练　练案[30]
基础巩固练
1．(2025·云南卷·2题)如图所示，中老铁路国际旅客列车从云南某车站由静止出发，沿水平直轨道逐渐加速到144 km/h，在此过程中列车对座椅上的一高中生所做的功最接近(　　)
A．4×105 J B．4×104 J
C．4×103 J D．4×102 J
[答案]　B
2．一个质量为m的物体静止放在光滑水平面上，在互成60°角且大小相等的两个水平恒力作用下，经过一段时间，物体获得的速度为v，在两恒力的方向上获得的速度分别为v1、v2，如图所示，那么在这段时间内，其中一个恒力做的功为(　　)
[答案]　B
3．物体沿直线运动的v－t图像如图所示，已知在第1 s内合力对物体做功为W，则(　　)
A．从第1 s末到第3 s末合力做功为4W
B．从第3 s末到第5 s末合力做功为－2W
C．从第5 s末到第7 s末合力做功为W
D．从第3 s末到第4 s末合力做功为－0.5W
[答案]　C
4．如图所示，光滑斜面的顶端固定一弹簧，一质量为m的小球向右滑行，并冲上固定在水平地面上的斜面。设小球在斜面最低点A的速度为v，压缩弹簧至C点时弹簧最短，C点距地面高度为h，重力加速度为g，则从A到C的过程中弹簧弹力做的功是(　　)
[答案]　A
5．某同学到游乐场游玩，乘坐摩天轮时在竖直平面内做半径为R的匀速圆周运动(如图)，若该同学质量为m，摩天轮转动的角速度为ω，重力加速度为g，从最高点运动到最低点的过程中，轿厢对该同学的作用力做的功为(　　)
[答案]　A
6．质量为1 kg的物块，初速度为2 m/s，在与初速度方向相同的水平拉力F作用下运动了2 m，F随位移x变化的关系如图所示。已知物块与水平面间的动摩擦因数为0.1，g取10 m/s2。则物块运动2 m时的速度为(　　)
[答案]　C
7．(2024·新课标卷·2题)福建舰是我国自主设计建造的首艘弹射型航空母舰。借助配重小车可以进行弹射测试，测试时配重小车被弹射器从甲板上水平弹出后，落到海面上。调整弹射装置，使小车水平离开甲板时的动能变为调整前的4倍。忽略空气阻力，则小车在海面上的落点与其离开甲板处的水平距离为调整前的(　　)
A．0.25倍 B．0.5倍
C．2倍 D．4倍
[答案]　C
能力提升练
8．如图所示，竖直固定的一光滑圆形轨道，OA是水平半径，OB与OA成60°角，一小球从轨道上的A处由静止释放，重力加速度为g，则小球运动到B点时的加速度大小为(　　)
[答案]　C
9．(2025·河南南阳市检测)从地面竖直向上抛出一物体，物体在运动过程中除受到重力外，还受到一大小不变、方向始终与运动方向相反的外力作用。距地面高度h在3 m以内时，物体上升、下落过程中动能Ek随h的变化如图所示。重力加速度取10 m/s2。该物体的质量为(　　)
A．2 kg B．1.5 kg
C．1 kg D．0.5 kg
[答案]　C
[解析]　方法一：特殊值法
画出运动示意图。
设该外力的大小为F，据动能定理知
A→B(上升过程)：－(mg＋F)h＝EkB－EkA
B→A(下落过程)：(mg－F)h＝EkA′－EkB′
整理以上两式并代入数据得物体的质量m＝1 kg，选项C正确。
方法二：写表达式根据斜率求解
上升过程：－(mg＋F)h＝Ek－Ek0，
则Ek＝－(mg＋F)h＋Ek0
下落过程：(mg－F)h＝Ek′－Ek0′，
则Ek′＝(mg－F)h＋Ek0′，
联立可得m＝1 kg，选项C正确。
10．(多选)如图甲所示，质量为2 kg的物体静止在粗糙的水平地面上，在一水平外力F的作用下开始运动，外力F做的功和物体克服摩擦力f做的功与物体位移x的关系图像如图乙所示，取重力加速度大小g＝ 10 m/s2，下列说法正确的是(　　)
A．物体与地面之间的动摩擦因数为0.25
B．物体运动的最大位移为13.5 m
C．物体在运动过程中的最大速度为3 m/s
D．物体在运动过程中匀速运动了3 s
[答案]　BC
[解析]　在W－x图像中，图线的斜率表示力，根据题图乙下方图像，结合Wf＝fx可知，物体所受滑动摩擦力大小f＝2 N，根据f＝μmg可知μ＝0.1，选项A错误；从物体开始运动到停止运动，根据动能定理有
11．为了确保汽车每次能安全顺利地通过一段陡峭的上坡路，小明通过观察汽车在上坡时的加速度情况对其进行分析。已知汽车总质量m＝1 500 kg，汽车发动机的额定功率P＝132 kW，坡面与水平面夹角为θ＝37°，汽车在坡面受到的阻力恒为车重力的0.4倍，坡面足够长。某次该汽车以加速度a＝1 m/s2启动沿坡面向上做匀加速直线运动，当功率达到额定功率后保持功率不变直到汽车获得最大速度时，汽车总位移为x＝40 m。重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，求：
(1)汽车保持匀加速直线运动的最长时间；
(2)汽车从开始启动到速度达到最大值所用的时间(结果保留整数)。
[答案]　(1)8 s　(2)9 s
[解析]　(1)设汽车的牵引力为F，根据牛顿第二定律可得F－0.4mg－mgsin θ＝ma
解得F＝1.65×104 N
故保持恒定功率加速阶段的位移为x2＝x－x1＝8 m
又P＝(0.4mg＋mgsin θ)vm
解得汽车最大速度为vm＝8.8 m/s
根据动能定理可得
解得t2≈0.99 s
故汽车从开始启动到速度达到最大值所用的时间为t＝t1＋t2≈9 s。
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