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第六章
机械能
第33讲　功能关系　能量守恒定律
学习目标 命题热点
(1)熟练掌握几种常见的功能关系，并会用于解决实际问题。 (2)掌握一对摩擦力做功与能量转化的关系。 (3)会应用能量守恒观点解决综合问题。 功能关系、能量守恒定律的应用在高考中考查频率较高，且综合性较强。
考点一
考点二
考点三
提能训练　练案[33]
考点一　功能关系的理解和应用
1．对功能关系的理解
(1)做功的过程就是能量转化的过程。不同的力做功，对应不同形式的能量转化。
(2)功是能量转化的量度，做功的多少与能量转化的多少在数值上相等。
2．几种常见的功能关系及其表达式
能量 功能关系 表达式
势能 重力做的功等于重力势能减少量 W＝_________
＝－ΔEp
弹力做的功等于弹性势能减少量 静电力做的功等于电势能减少量 分子力做的功等于分子势能的减少量 Ep1－Ep2
能量 功能关系 表达式
动能 合外力做的功等于物体动能变化量 W＝__________＝
____________
机械能 除重力和弹力之外的其他力做的功等于机械能变化量 W其他＝_______
＝ΔE
摩擦产生 的内能 一对相互作用的滑动摩擦力做功之和的绝对值等于产生的内能 Q＝Ff·x相对
电能 克服安培力做的功等于电能增加量 W克安＝E2－E1＝ΔE电
Ek2－Ek1
E2－E1
易 错 辨 析
1．力做功一定对应着能量的转化。(　　)
2．合力对物体做正功，物体动能增加。(　　)
3．弹力做正功，弹性势能增加。(　　)
4．物体机械能的变化量由合力做的功来决定。(　　)
√
√
×
×
功能关系的应用
考向1
[答案]　A
跟 踪 训 练
[答案]　B
功能关系中的图像
考向2
(多选)(2026·河北邯郸联考)一物块在高3.0 m、长5.0 m的斜面顶端从静止开始沿斜面下滑，其重力势能和动能随下滑距离s的变化如图中直线Ⅰ、Ⅱ所示，重力加速度取10 m/s2，则(　　)
A．物块下滑过程中机械能不守恒
B．物块与斜面间的动摩擦因数为0.5
C．物块下滑时加速度的大小为6.0 m/s2
D．当物块下滑2.0 m时机械能损失了12 J
[答案]　AB
跟 踪 训 练
2．如图所示，“深坑打夯机”的夯杆在两个摩擦轮作用下，从静止开始匀加速竖直上升一段时间，然后松开摩擦轮，夯杆会继续上升。夯杆静止时重力势能为零，不计空气阻力。则夯杆上升过程中，机械能随上升高度的变化关系是(　　)
[答案]　C
[解析]　松开摩擦轮前夯杆机械能的变化量等于摩擦力对夯杆做功，即E＝ΔE＝fh，松开摩擦轮后，夯杆只受重力作用，则机械能守恒。则E－h图像如C图所示。故选C。
考点二　能量守恒定律的理解和应用
1．内容：能量既不会凭空_______，也不会凭空消失，它只能从一种形式_______为其他形式，或者从一个物体_______到别的物体，在转化或转移的过程中，能量的_______保持不变。
2．对能量守恒定律的理解
(1)某种形式的能量减少，一定存在其他形式的能量增加，且减少量和增加量一定相等。
(2)某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加，且减少量和增加量一定相等。
产生
转化
转移
总量
3．表达式
(1)E初＝E末，初状态各种能量的总和等于末状态各种能量的总和。
(2)ΔE增＝ΔE减，增加的能量总和等于减少的能量总和。
易 错 辨 析
1．能量守恒定律在一定条件下才成立。(　　)
2．机械能守恒定律是能量守恒定律的一种简单形式。(　　)
3．外力对物体不做功，这个物体就没有能量。(　　)
×
√
×
电能和机械能之间的相互转化
考向1
(2024·安徽卷·7题)在某地区的干旱季节，人们常用水泵从深水井中抽水灌溉农田，简化模型如图所示。水井中的水面距离水平地面的高度为H。出水口距水平地面的高度为h，与落地点的水平距离约为l。假设抽水过程中H保持不变，水泵输出能量的η倍转化为水被抽到出水口处增加的机械能。已知水的密度为ρ，水管内径的横截面积为S，重力加速度大小为g，不计空气阻力。则水泵的输出功率约为(　　)
[答案]　B
弹性势能、动能、重力势能、内能之间的相互转化
考向2
[答案]　(1)1 m/s,0.4 m　(2)4.8 N，方向竖直向下
解得x＝vCt＝0.2 m
故小滑块落地点到B点的距离为xB＝x＋2R＝0.4 m。
当弹簧的压缩量增为2x0时，弹簧弹性势能Ep2＝4Ep1＝12mgR
解得FN′＝4.8 N
根据牛顿第三定律，小滑块对管道的弹力FN＝FN′＝4.8 N，方向竖直向下。
[规律方法]　运用能量守恒定律解题的基本思路
考点三　摩擦力做功与能量转化的关系
1．静摩擦力和滑动摩擦力做功特点的比较
　　　类型 比较　　　 静摩擦力做功 滑动摩擦力做功
不同点 能量转 化方面 只有机械能从一个物体转移到另一个物体，而没有机械能转化为其他形式的能 (1)一部分机械能从一个物体转移到另一个物体
(2)一部分机械能转化为内能，此部分能量就是系统机械能的损失量
一对摩擦 力的总功 的特点 一对静摩擦力所做功的代数和总等于零 一对滑动摩擦力做功的代数和总是负值，总功W＝－Ffs相对，即发生相对滑动时产生的热量
　　　类型 比较　　　 静摩擦力做功 滑动摩擦力做功
相同点 做功情况 两种摩擦力对物体可以做正功，也可以做负功，还可以不做功
2．注意区分摩擦力做功和摩擦生热
(1)无论是计算滑动摩擦力做功，还是计算静摩擦力做功，都应代入物体相对地面的位移。
(2)公式Q＝Ff·s 相对中s相对为两接触物体间的相对位移，若物体在接触面上做往复运动，则s相对为总的相对路程。
易 错 辨 析
1．摩擦力做功时一定有内能产生。(　　)
2．静摩擦力一定不做功。(　　)
3．滑动摩擦力一定做负功。(　　)
×
×
×
子弹以水平速度v0射向原来静止在光滑水平面上的木块，并留在木块中，最终和木块一起运动。已知子弹受到的平均阻力大小为f，射入深度为d，子弹射入木块的过程中木块移动的距离为L，忽略空气阻力，在子弹和木块相互作用的射入过程中，下列说法正确的是(　　)
A．子弹动能的减少量一定等于木块动能的增加量
B．子弹和木块组成的系统机械能减少量为fL
C．子弹动能的减少量为f(L＋d)
D．木块动能的增加量为fd
[答案]　C
[解析]　根据能量守恒定律，子弹进入木块的过程中，由于受到阻力的作用，会摩擦生热，故子弹动能的减少量一定大于木块动能的增加量，A错误；根据能量守恒定律，子弹和木块组成的系统机械能减少量等于fs相对，其中s相对为子弹相对木块的位移，即d，而不是木块移动的距离，B错误；对子弹，由动能定理有－W克f＝ΔEk子弹，解得ΔEk子弹＝－f(L＋d)，故子弹动能的减少量为f(L＋d)，C正确；对木块，由动能定理有Wf＝ΔEk木块，解得ΔEk木块＝fL，D错误。故选C。
(多选)如图所示，倾斜传送带以恒定速率v顺时针转动，现将一小物块由静止放于传送带底端，经过一段时间，小物块运动到传送带的顶端且速率恰好达到v，在整个过程中小物块与传送带之间的摩擦生热为Q，小物块获得的动能为Ek、重力势能的增加量为Ep，下列说法正确的是(　　)
A．Q＝Ek B．Q>Ek
C．Q＝Ek＋Ep D．Q[答案]　BC
提能训练　练案[33]
基础巩固练
1．(2024·浙江1月选考·3题)如图所示，质量为m的足球从水平地面上位置1被踢出后落在位置3，在空中达到最高点2的高度为h，重力加速度为g，则足球(　　)
A．从1到2动能减少mgh
B．从1到2重力势能增加mgh
C．从2到3动能增加mgh
D．从2到3机械能不变
[答案]　B
[解析]　由足球的运动轨迹可知，足球在空中运动时一定受到空气阻力作用，则从1到2重力势能增加mgh，从1到2动能减少量大于mgh，故A错误，B正确；从2到3由于空气阻力作用，机械能减小，重力势能减小mgh，则动能增加小于mgh，故C、D错误。
2．(2026·广东梅州期末)某水库泄洪情景如图所示，已知泄洪流量为240 m3/s，水位落差100 m，水的密度为1.0×103 kg/m3。泄洪时，水流的重力势能有25%转化为电能，g取10 m/s2，按照以上数据估算发电站的发电功率是(　　)
A．6.0×107 W B．6.0×108 W
C．2.4×107 W D．2.4×108 W
[答案]　A
3．(多选)(2026·贵州贵阳市质量监测)滑沙运动是继滑冰、滑水、滑雪和滑草之后又一新兴运动，它使户外运动爱好者在运动的同时又能领略到沙漠的绮丽风光。如图所示，质量为50 kg的人坐在滑沙板上从沙坡的顶端由静止沿直线匀加速下滑，经过10 s到达坡底，速度大小为 20 m/s。已知沙坡的倾角为30°，重力加速度g取10 m/s2，下列关于此过程的说法中正确的是(　　)
A．人的重力势能减少5.0×104 J
B．人的动能增加1.0×104 J
C．人的机械能减少1.5×104 J
D．人克服阻力做功4.0×104 J
[答案]　BC
4．(2026·浙江舟山期末)如图所示，木板上A、B两点相距5 m。一物块相对木板向右从板上A点滑至B点，同时木板在地面上向左滑行 2 m，图甲为滑行前，图乙为滑行后，已知物块与木板间的滑动摩擦力大小为20 N，则下列说法正确的是(　　)
A．物块所受的摩擦力做功为－60 J
B．木板克服摩擦力做功为－40 J
C．物块与木板间因摩擦产生的热量为60 J
D．物块与木板间因摩擦产生的热量为40 J
[答案]　A
[解析]　对物块分析可得W1＝－Ff(L－l)＝－20×(5－2)J＝－60 J，A正确；对木板分析可得W1＝－Ffl＝－20×2 J＝－40 J，木板克服摩擦力做功为40 J，B错误；物块与木板间因摩擦产生的热量为Q＝FfL＝20×5 J＝100 J，C、D错误。
5．如图所示为风力发电机，其叶片转动时可形成半径为20 m的圆面，某时间内该地区的风速为6.0 m/s，风向恰好跟叶片转动的圆面垂直，已知空气的密度为1.2 kg/m3，假如这个风力发电机将此圆面内10%的空气动能转化为电能，取π＝3，则下列说法错误的是(　　)
A．单位时间内冲击风力发电机叶片圆面的气流的体积为7 200 m3
B．单位时间内冲击风力发电机叶片圆面的气流的动能为155.52 kJ
C．此风力发电机的发电功率约为15.55 kW
D．若风速变为原来2倍，则电功率将变为原来4倍
[答案]　D
6．(多选)如图所示，轻质弹簧的左端固定，并处于自然状态。小物块的质量为m，从A点向左沿水平地面运动，压缩弹簧后被弹回，运动到A点恰好静止。物块向左运动的最大距离为s，与地面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，弹簧未超出弹性限度。在上述过程中(　　)
A．弹簧的最大弹力为μmg
B．物块克服摩擦力做的功为2μmgs
C．弹簧的最大弹性势能为μmgs
[答案]　BC
7．(多选)如图所示，将3个木板1、2、3固定在墙角，现将一个可以视为质点的物块分别从3个木板的顶端由静止释放，物块沿木板下滑到底端，物块与木板之间的动摩擦因数均为μ。下列说法正确的是(　　)
A．物块沿着1和2下滑到底端时速度大小相等
B．物块沿着3下滑到底端时速度最大
C．物块沿着3下滑到底端的过程中，产生的热量最多
D．物块沿着1和2下滑到底端的过程中，产生的热量一样多
[答案]　CD
能力提升练
8．(2026·河北邯郸三模)如图所示，两个倾角相同的斜面固定在水平地面上，底端通过光滑小圆弧连接，一物块从右侧斜面顶端由静止下滑，滑上左侧斜面至最高点，物块与两斜面间动摩擦因数相同，通过底端时无能量损失，此过程中下列图像正确的是(v为速率，Ep为重力势能，t为运动时间，Ek为动能，E为机械能，s为路程，选取地面为零势能面)(　　)
[答案]　D
[解析]　根据牛顿第二定律知，物块沿斜面下滑时有mgsin θ－μmgcos θ＝ma1，解得加速度a1＝gsin θ－μgcos θ，根据牛顿第二定律知，物块沿斜面上滑时有mgsin θ＋μmgcos θ＝ma2，解得加速度a2＝gsin θ＋μgcos θ，故a1＜a2，v－t图像的斜率表示加速度，故A错误；Ep－t图像的斜率大小表示重力的瞬时功率，物块沿斜面下滑，速度越来越大，竖直方向的速度也越来越大，故重力的功率越来越大，故B错误；动能随路程变化图像的斜率大小表示合外力，根据牛顿第二定律知，沿斜面下滑的合力F1＝ma1，是定值，沿斜面上滑的合力F2＝ma2，也是定值，故C错误；根据功能关系知，摩擦力做负功，机械能减少，又机械能随路程变化图像的斜率大小表示摩擦力，根据题意可知摩擦力为μmgcos θ，为定值，故D正确。
9．(2025·云南卷·6题)如图所示，质量为m的滑块(视为质点)与水平面上MN段的动摩擦因数为μ1，与其余部分的动摩擦因数为μ2，且μ1>μ2。第一次，滑块从Ⅰ位置以速度v0向右滑动，通过MN段后停在水平面上的某一位置，整个运动过程中，滑块的位移大小为x1，所用时间为t1；第二次，滑块从Ⅱ位置以相同速度v0向右滑动，通过MN段后停在水平面上的另一位置，整个运动过程中，滑块的位移大小为x2，所用时间为t2。忽略空气阻力，则(　　)
A．t1t2
C．x1>x2 D．x1[答案]　A
[答案]　B
A．木板M和木块m组成的系统机械能守恒
C．木板减少的机械能等于木块增加的机械能与系统产生的热量之和
D．系统产生的热量为10 J
[答案]　BC
(1)求滑块初始位于P点时，弹簧的弹性势能Ep；
(2)若更换另一个质量为m1的滑块，仍将滑块从P点由静止释放，滑块能滑上圆轨道且能沿着圆轨道滑下，求m1的可能取值范围。
谢谢观看

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