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第43课时　专题强化：电场中的图像问题　电场中功能关系的综合问题
目标要求　1.掌握电场中的几种常见图像。2.掌握电场力做功的计算方法及电场中常用的功能关系。
考点一　电场中的图像问题
1.φ-x图像(电场方向与x轴平行)
(1)电场强度的大小等于φ-x图线的切线斜率大小，沿x轴方向电场强度为零处，φ-x图线存在极值，其切线的斜率为零；
(2)在φ-x图像中可以直接判断各点电势的高低，并可根据电势高低关系确定电场强度的方向；
(3)在φ-x图像中分析电荷移动时电势能的变化，可用WAB=qUAB，进而分析WAB的正负，然后做出判断。
试画出下图中几种典型电场的φ-x图像(以无穷远处电势为零)。
(1)点电荷的φ-x图像；
(2)两等量异种点电荷连线上的φ-x图像；
(3)两个等量正点电荷的φ-x图像。
答案　
(1)
(2)
(3)
例1　(2025·海南卷·6)某静电场电势φ在x轴上分布如图所示，图线关于φ轴对称，M、P、N是x轴上的三点，OM=ON。有一电子从M点静止释放，仅受x方向的电场力作用，则下列说法正确的是(　　)
A.P点电场强度方向沿x负方向
B.M点的电场强度小于N点的电场强度
C.电子在P点的动能小于在N点的动能
D.电子在M点的电势能大于在P点的电势能
答案　D
解析　由题图可知在x正半轴沿x正方向电势降低，则电场强度方向沿x正方向，故A错误；φ-x图像的斜率表示电场强度，图线关于φ轴对称，可知M点的电场强度大小等于N点的电场强度大小，方向相反，故B错误；电势均为正值，则电子在电势低处电势能大，故电子在P点的电势能小于在N点(M点)的电势能，根据能量守恒可知，电子在P点的动能大于在N点的动能，故C错误，D正确。
例2　(多选)(2024·广东惠州市三模)沿电场线所在直线建立如图所示Ox轴，x轴上各点电势φ随x的变化规律如图所示，坐标原点O点电势为零。带电荷量为e的电子仅在电场力作用下从O点由静止释放，下列说法正确的是(　　)
A.在0~x3区间内，电场方向始终指向x轴正方向
B.电子到达B点时动能为
C.电子从A运动到C，加速度先减小后增大
D.若在B点给电子一个沿x轴正方向的初速度，电子一定会在A、C间做往复运动
答案　BC
解析　沿电场线方向电势降低，在0~x3区间内，电场方向开始就指向x轴的负方向，故A错误；从O到A电场力做正功，根据动能定理可得-e(0-φ0)=EkA，从A到B电场力做负功，根据动能定理可得-e(φ0-)=EkB-EkA，联立解得电子到达B点的动能为EkB=，故B正确；根据φ-x图像的斜率绝对值表示电场强度大小，由题图可知从A到C电场强度先减小后增大，所以加速度先减小后增大，故C正确；BC段电场方向沿x轴负方向，电子受电场力沿x轴正方向，所以在B点给电子一个沿x轴正方向的初速度，电子将沿x轴正方向做直线运动，故D错误。
2.E-x图像
以电场强度沿x轴方向为例：
(1)E>0表示电场强度沿x轴正方向，E<0表示电场强度沿x轴负方向。
(2)E-x图线与x轴围成的“面积”表示电势差，“面积”大小表示电势差大小，两点的电势高低需根据电场方向判定。
例3　(2026·广东江门市期中)某静电场在x轴上的电场强度E随x的变化关系(E-x图像)如图所示，x轴正方向为电场强度正方向。一个带正电的点电荷仅在电场力作用下由静止开始沿x轴运动，在x轴上的a、b、c、d四点间隔相等，则(　　)
A.点电荷由a运动到d的过程中加速度先增大后减小
B.b和d两点处电势相等
C.点电荷由a运动到d的过程中电势能先增大后减小
D.点电荷从b运动到a电场力做功W1等于从c运动到b电场力做功W2
答案　A
解析　由a运动到d的过程中，由题图可以看出电场强度先增大后减小，故电场力先增大后减小，加速度先增大后减小，选项A正确；从a向右电场强度沿x轴负方向，则从b到d处逆着电场线方向移动，电势升高，选项B错误；从a到d处逆着电场线方向移动，电势升高，正电荷的电势能一直增大，选项C错误；根据E-x图线与x轴围成的“面积”表示电势差，结合题图可知，a和b之间的电势差小于b和c之间的电势差，根据公式WAB=UABq可知，正点电荷从b运动到a电场力做功W1小于从c运动到b电场力做功W2，选项D错误。
3.Ep-x图像、Ek-x图像
(1)Ep-x图像
由电场力做功与电势能变化关系F电x=Ep1-Ep2=-ΔEp，知Ep-x图像的切线斜率k=。
①其绝对值等于电场力大小。
②正负代表电场力的方向：若斜率为正，说明电势能增加，电场力沿x轴正方向做负功，电场力方向沿x轴负方向；若斜率为负，说明电势能减小，电场力沿x轴正方向做正功，电场力方向沿x轴正方向。
(2)Ek-x图像
当只有电场力对带电体做功，由动能定理F电x=Ek-Ek0=ΔEk知Ek-x图像的切线斜率k=，斜率表示电场力。
例4　(多选)在甲、乙电场中，电场方向均与x轴平行，某试探电荷-q(q>0)具有的电势能Ep沿x方向的变化分别如图甲、乙所示，则下列说法正确的是(　　)
A.图甲中，试探电荷在O点受到的电场力为零
B.图甲中，电场强度沿x轴正方向
C.图乙中，x1处的电场强度小于x2处的电场强度
D.图乙中，x1处的电势高于x2处的电势
答案　BD
解析　根据Ep-x图像斜率的绝对值表示电场力的大小，题图甲中，试探电荷在O点受到的电场力不为零，A错误；沿x轴正方向，电势能增大，电场力做负功，又因试探电荷带负电，则电场强度沿x轴正方向，B正确；题图乙中x1处的斜率大于x2处的斜率，即Fx1>Fx2，故Ex1>Ex2，C错误；负电荷在电势越高处电势能越小，故题图乙中φx1>φx2，D正确。
考点二　电场中功能关系的综合问题
几种常见的功能关系：
(1)合外力做功等于动能的变化，即W合=Ek2-Ek1=ΔEk(动能定理)。
(2)重力做功等于物体重力势能的变化，即WG=EpG1-EpG2=-ΔEp。
(3)电场力做功等于电势能的变化，即W电=Ep电1-Ep电2=-ΔEp电。
(4)弹簧弹力做功等于弹性势能的变化，即W弹=Ep1-Ep2=-ΔEp弹。
(5)除了重力和弹簧弹力之外其他力做的总功等于物体机械能的变化，即W其他力=E机2-E机1=ΔE机。
说明：(1)动能定理可以把不同力对物体做的功联系起来。
(2)能量守恒定律可以把系统中参与变化的所有能量联系起来。若只有电场力做功，电势能与动能之和保持不变；若只有电场力和重力做功，电势能、重力势能、动能之和保持不变。
例5　(多选)(2024·广东深圳市二模)如图甲所示，在倾角为θ的足够长的绝缘光滑斜面底端，静止放置质量为m、带电荷量q(q>0)的物体。加上沿着斜面方向的电场，物体沿斜面向上运动。物体运动过程中的机械能E与其位移x的关系图像如图乙所示，其中OA为直线，AB为曲线，BC为平行于横轴的直线，重力加速度为g，不计空气阻力，则(　　)
A.0~x1过程中，电场强度的大小恒为+
B.x1~x2过程中，物体电势降低了
C.x1~x2过程中，物体加速度的大小先变小后变大
D.x2~x3过程中，电场强度为零
答案　BCD
解析　0~x1过程中，电场力做正功，机械能增大，则E1=E电qx1，解得E电=，故A错误；x1~x2过程中，电场力对带正电的物体做正功，故电势降低，可得qUAB=E2-E1，解得UAB=，故B正确；题图乙的斜率表示电场力大小，故x1~x2过程中，斜率逐渐减小到零，故电场力逐渐减小到零，物体加速度a=，可知加速度先减小到零，后沿斜面向下增大，故C正确；x2~x3过程中，此过程中机械能不变，故只有重力做功，故电场力为0，则电场强度为零，故D正确。
例6　(多选)(2024·山东卷·10)如图所示，带电量为+q的小球被绝缘棒固定在O点，右侧有固定在水平面上、倾角为30°的光滑绝缘斜面。质量为m、带电量为+q的小滑块从斜面上A点由静止释放，滑到与小球等高的B点时加速度为零，滑到C点时速度为零。已知AC间的距离为s，重力加速度大小为g，静电力常量为k，下列说法正确的是(　　)
A.OB的距离l=
B.OB的距离l=
C.从A到C，电场力对小滑块做功W=-mgs
D.AC之间的电势差UAC=-
答案　AD
解析　由题意知小滑块在B点处的加速度为零，则沿斜面方向根据受力分析有mgsin 30°=cos 30°
解得l=，故A正确，B错误；
设小滑块从A到C的过程，电场力对小滑块做的功为W，因为滑到C点时速度为零，
根据动能定理有W+mgssin 30°=0
解得W=-，故C错误；
根据电势差与电场力做功的关系可知AC之间的电势差UAC==-，故D正确。
课时精练
[分值：48分]
　[1~6题，每题4分]
1.(来自人教教材改编)(2026·广东揭阳市检测)如图甲所示，A、B是某点电荷电场中一条电场线上的两点，一个电子仅在电场力的作用下从A点运动到B点的v-t图像如图乙所示。下列说法正确的是(　　)
A.该点电荷为正电荷
B.电子在A点受到的电场力小于在B点受到的电场力
C.A点的电势高于B点的电势
D.电子在A点的电势能大于在B点的电势能
答案　D
解析　电子从A点运动到B点速度增大，则电场力做正功，电场力方向由A指向B，电场强度方向由B指向A，从A到B电子加速度减小，电子受到的电场力减小，从A到B电场强度减小，可知电子远离点电荷，说明点电荷在A点的左侧，可判断出该点电荷带负电，故A、B错误；电子所受电场力方向由A指向B，故电场线方向由B指向A，沿着电场线的方向电势逐渐降低，B点的电势高于A点的电势，故C错误；电子从A点运动到B点速度增大，则电场力做正功，电势能减小，即电子在A点的电势能大于在B点的电势能，故D正确。
2.(2025·广东省部分学校开学考)已知地球是电荷的良导体，若取地球表面电势为零，将地球视为带电的导体球，地球周围某点的电势φ随该点到球心的距离r的变化如图所示，R0为地球半径，下列说法正确的是(　　)
A.地球可能带正电
B.在0≤r≤R0时，地球内部电场强度为零
C.在r>R0时，电场强度随r的增大逐渐增大
D.负电荷在离地球越远的地方，电势能越大
答案　B
解析　电势φ随r的增大逐渐升高，地球带负电，故A错误；根据E=，可知φ-x图像的斜率表示电场强度，在0≤r≤R0时，φ-x图像斜率为零，地球内部电场强度为零，在r>R0时，φ-x图像斜率随r的增大逐渐减小，地球外部电场强度随r的增大逐渐减小，故B正确，C错误；根据电势能Ep=qφ，负电荷在离地球越远的地方，电势能越小，故D错误。
3.(多选)如图所示，竖直向上的匀强电场中，绝缘轻质弹簧竖直立于水平地面上，上面放一质量为m的带正电小球，小球与弹簧不连接，施加外力F将小球向下压至某位置静止。现撤去F，小球从静止开始运动到离开弹簧的过程中，重力、电场力对小球所做的功分别为W1和W2，小球离开弹簧时速度为v，不计空气阻力，则上述过程中(　　)
A.小球与弹簧组成的系统机械能守恒
B.小球的重力势能增加-W1
C.小球的机械能增加W1+mv2
D.小球的电势能减少W2
答案　BD
解析　由于电场力做正功，故小球与弹簧组成的系统机械能增加，机械能不守恒，故A选项错误；重力做功是重力势能变化的量度，由题意知重力做负功，重力势能增加，故B选项正确；小球增加的机械能等于重力势能的增加量与小球动能的增加量之和，即-W1+mv2，故C选项错误；根据电场力做功是电势能变化的量度，电场力做正功电势能减少，电场力做负功电势能增加，故D选项正确。
4.(2024·湖南卷·5)真空中有电荷量为+4q和-q的两个点电荷，分别固定在x轴上-1和0处。设无限远处电势为0，x正半轴上各点电势φ随x变化的图像正确的是(　　)
答案　D
解析　方法一　从电场强度方向看电势的变化
设x=x0处电场强度为0，此处E1与E2等大反向=，
得x0=1，即x=1处，E=0，
0x>1，电场强度方向向右，x增大，φ减小，故D正确。
方法二　电势叠加法
根据点电荷周围的电势公式φ=k，
设x=x'处(x'>0)的电势为0，得
k+k=0，解得x'=
故可知当0当x=时，φ=0，
当x>时，φ>0，故选D。
5.(多选)(2024·广东湛江市期末)一带负电的粒子只在电场力作用下沿x轴正向运动，其电势能Ep随位移x变化的关系如图所示，其中0~x2区间是关于直线x=x1对称的曲线，x2~x3区间是直线，在O、x1、x2、x3处电势分别为φ0、φ1、φ2、φ3，则下列说法正确的是(　　)
A.x1处电势最低
B.φ3>φ2=φ0>φ1
C.φ3<φ2=φ0<φ1
D.粒子在0~x2段先加速后减速，x2~x3段做匀变速直线运动
答案　CD
解析　根据电势能与电势的关系Ep=qφ，粒子带负电，可知x1处电势最高，且φ3<φ2=φ0<φ1，故A、B错误，C正确；根据能量守恒定律可知，粒子在0~x2段电势能先减小后增大，则动能先增大后减小，所以粒子在0~x2段先加速后减速，根据Ep-x图像斜率表示电场力，可知x2~x3段做匀变速直线运动，故D正确。
6.(多选)(2025·广东东莞市模拟)静电除尘技术广泛应用于冶金、化工等工业，用以净化气体或回收有用尘粒。其工作原理为：在强电场中空气分子被电离为正离子和电子，电子奔向阳极板的过程中遇到尘粒，使尘粒带负电吸附到阳极板上被收集。如图所示为集尘板与放电极间的电场线，若一带负电的尘粒仅在电场力的作用下由静止开始做直线运动，取该直线为x轴，起点O为坐标原点，下列关于尘粒的加速度a、尘粒的电势能Ep、尘粒的动能Ek、尘粒的速度v与位移x的关系图像合理的是(　　)
答案　BC
解析　带负电的尘粒仅在电场力的作用下，向集尘板加速运动，电场为非匀强电场，越靠近极板场强越小，则电场力越小，加速度越小，故A错误；同理速度位移关系图像斜率绝对值越大对应加速度越大，故D错误；根据电场力做功与电势能的关系可知，电场力做正功，电势能减小，动能增加，同时粒子的动能、电势能随位移变化的图像斜率绝对值表示粒子所受的电场力大小，由题图可知粒子所受的电场力越来越小，故B、C正确。
　[7~9题，每题6分]
7.(多选)(2024·广东茂名市二模)反射式速调管是常用的微波器件之一，其内部真空，有一个静电场的方向平行于x轴，其电势φ随x的分布如图所示，x=0处电势为6 V。一个带负电粒子(重力不计)从x=3 cm处由静止释放，下列说法正确的是(　　)
A.该静电场可以由两个负电荷产生
B.x=-2 cm处的电场强度小于x=2 cm处的电场强度
C.该粒子在x=0处的电势能最小
D.该粒子将沿x轴负方向运动，运动到的最远位置为x=-4.5 cm
答案　BCD
解析　φ-x图像的斜率绝对值表示电场强度大小，由题图可知-6 cm8.(多选)(2024·广东江门市一模)如图所示，O、A、B为一粗糙绝缘水平面上的三点，不计空气阻力，一电荷量为+Q(Q>0)的点电荷固定在O点，现有一质量为m、电荷量为+q(q>0)的小金属块(可视为质点)，从A点以速度v0向右运动，最后停止在B点，已知小金属块与水平面间的动摩擦因数为μ，A、B间距离为L，静电力常量为k，重力加速度为g，则下列说法正确的是(　　)
A.该过程中小金属块的电势能增大
B.A、B两点间的电势差为
C.若在A处库仑力大于摩擦力，则小金属块速度最大时距O点的距离为
D.若在A处库仑力小于摩擦力，则小金属块由A向B运动过程的平均速度大于
答案　CD
解析　依题意，该过程中库仑力对小金属块做正功，所以小金属块的电势能减小，故A错误；由动能定理可得WAB-μmgL=0-m，A、B两点间的电势差为UAB=，联立解得UAB=，故B错误；若在A处库仑力大于摩擦力，则小金属块速度最大时，其受力平衡，有μmg=k，解得x=，故C正确；若在A处库仑力小于摩擦力，由牛顿第二定律可得a=，则小金属块由A向B运动过程做加速度增大的减速运动，v-t图像如图所示，
在图中作出初速度为v0、末速度为0的匀减速直线运动的v-t图线，其平均速度为，根据平均速度公式=及v-t图线与t轴所围面积表示位移，可知小金属块由A向B运动过程的平均速度大于，故D正确。
9.如图，光滑固定斜面上方存在一沿斜面向下的匀强电场，一与斜面平行的轻弹簧一端固定在斜面的顶端，另一端与一质量为m、电荷量为+q的滑块相连，滑块恰好静止在O点。现给滑块沿斜面向上的初速度v0，下列关于滑块从O点第一次运动到最高点的过程中，系统的电势能、滑块的加速度a及动能Ek随距离变化的图像正确的是(　　)
答案　B
解析　滑块从O点第一次运动到最高点的过程中，电场力做功为W电=-qEx，根据功能关系有W电=Ep0-Ep，解得Ep=Ep0+qEx，Ep-x图像斜率为正值，故A错误；滑块在O点静止，根据平衡条件有kx0=mgsin θ+qE，滑块向上运动过程中，根据牛顿第二定律有mgsin θ+qE-k(x0-x)=ma，解得a=x，a-x图像是一条过原点的倾斜直线，故B正确；根据动能定理有-F合x=Ek-m，解得Ek=m-F合x可知，Ek-x图像中，图像上某一点的切线的斜率的绝对值表示合力大小，结合上述可知，滑块向上运动过程中，合力逐渐增大，即图像上某一点的切线的斜率的绝对值逐渐增大，故C、D错误。
[6分]
10.(多选)(2024·江西卷·10)如图所示，垂直于水平桌面固定一根轻质绝缘细直杆，质量均为m、带同种电荷的绝缘小球甲和乙穿过直杆，两小球均可视为点电荷，带电荷量分别为q和Q。在图示的坐标系中，小球乙静止在坐标原点，初始时刻小球甲从x=x0处由静止释放，开始向下运动。甲和乙两点电荷的电势能Ep=k(r为两点电荷之间的距离，k为静电力常量)。最大静摩擦力等于滑动摩擦力f，重力加速度为g。关于小球甲，下列说法正确的是(　　)
A.最低点的位置x=
B.速率达到最大值时的位置x=
C.最后停留位置x的区间是≤x≤
D.若在最低点能返回，则初始电势能Ep0<(mg-f)
答案　BD
解析　小球甲从开始运动至第一次运动到最低点的过程，根据动能定理(mg-f)(x0-x)-(k-k)=0，解得x=，故A错误；
当小球甲的加速度为零时，速率最大，则有mg=f+k，解得x1=，故B正确；
小球甲最后停留时，满足mg-f≤k≤mg+f，解得位置x2的区间≤x2≤，故C错误；
若在最低点能返回，即在最低点满足k>mg+f，结合动能定理(mg-f)(x0-x)-(k-k)=0，联立可得Ep0=<(mg-f)，故D正确。

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