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　含弹簧的机械能守恒问题
目标要求　知道弹簧的弹性势能与哪些因素有关，会分析含弹簧的机械能守恒问题。
1.由于弹簧发生形变时会具有弹性势能，系统的总动能将发生变化，若系统除重力、弹簧弹力以外的其他力不做功，系统机械能守恒。
2.弹簧两端的物体把弹簧拉伸至最长(或压缩至最短)时，两端的物体具有相同的速度，弹性势能有最大值。
3.对同一弹簧，弹性势能的大小为Ep=kx2，弹性势能由弹簧的形变量决定，弹簧的伸长量和压缩量相等时，弹簧的弹性势能相等。
例1　如图所示，两根完全相同的轻质弹簧1、2连接着一小球，两弹簧O1端和O2端分别固定，且位于同一竖直线上。小球静止于O点时，弹簧2处于原长状态。现将小球从弹簧1的原长处C点由静止释放，已知CO的距离为h，重力加速度大小为g。若忽略空气阻力，弹簧始终处于弹性限度内，则(　　)
A.小球到达O点的速率为2
B.小球运动到最低点时加速度大小为2g
C.由C到O的过程，小球的机械能守恒
D.由C到O的过程，小球的机械能先减小后增大
答案　B
解析　小球静止于O点时，弹簧2处于原长状态，则弹簧1伸长了h且有F弹=mg，方向向上；开始小球在C点时，弹簧1处于原长状态，弹簧2伸长了h且有F弹'=mg，方向向下；可知两弹簧和小球组成的系统在C、O两点弹性势能相同，根据小球和弹簧组成的系统机械能守恒，由C到O有mgh=m，解得vO=，选项A错误；设小球在C点的加速度为a，则在C点时F弹'+mg=ma，解得a=2g，由对称性可知，小球运动到最低点时加速度大小也为2g，选项B正确；由C到O的过程，前一阶段弹簧2向下的拉力大于弹簧1向上的拉力，则弹力的合力向下做正功；后一阶段弹簧1向上的拉力大于弹簧2向下的拉力，弹力的合力向上做负功，可知该过程中小球的机械能先增大后减小，选项C、D错误。
例2　(多选)如图所示，轻弹簧一端固定在O点，另一端与一质量为m的小球相连，小球套在固定的竖直光滑杆上，P点到O点的距离为L，OP与杆垂直，杆上M、N两点与O点的距离均为2L。已知弹簧原长为L，重力加速度为g。现让小球从M处由静止释放，下列说法正确的是(　　)
A.小球从M运动到N的过程中，有三个位置小球受到的合力等于重力
B.小球从M运动到N的过程中，小球的机械能守恒
C.小球从M运动到N的过程中，弹簧弹性势能先减小后增大
D.小球通过N点时速率为2
答案　AD
解析　OM=ON=2L，OP=L，弹簧的原长为L，所以小球在MP之间某个位置时弹簧处于原长，弹簧弹力为0，小球受到的合力等于重力，同理小球在PN之间某个位置时弹簧处于原长，弹簧弹力为0，小球受到的合力等于重力，当小球经过P点时小球受到的合力等于重力，故A正确；小球从M运动到N的过程中，小球和弹簧组成的系统机械能守恒，但小球的机械能并不守恒，故B错误；小球从M运动到N的过程中，弹簧的弹性势能先减小后增大，再减小又增大，故C错误；小球在M、N两个位置时，弹簧的长度相等，所以弹簧的弹性势能相等，在整个过程中小球的重力势能全部转化为动能，有mg×2L=mv2，解得v=2，故D正确。
例3　(2025·广东省部分学校月考)某商家为了促销推出图甲所示的弹珠抽奖游戏，图乙为游戏的模型示意图，平面游戏面板与水平面成θ=30°角固定放置，面板右侧的直管道与半径为R=0.1 m的细圆管轨道平滑连接，两者固定在面板上。圆管轨道的圆心为O，顶端水平。顾客游戏时，用外力压缩面板底部连接的小弹簧将弹簧顶端的小弹珠(可视为质点)弹出，若弹珠直接打中面板底部的中奖区域，则获得相应奖励，若弹珠打中侧面挡板，则抽奖无效。已知弹珠质量m=100 g，直管道长度l=0.4 m，中奖区域AB长度d=0.5 m，其等分为如图所示的五个中奖区域，不计所有摩擦和阻力，弹簧的长度和质量忽略不计，重力加速度g取10 m/s2，求顾客获得一等奖时，弹簧初始弹性势能的取值范围。
答案　 J≤Ep≤ J或 J≤Ep≤ J
解析　根据机械能守恒有
Ep=mg(l+R)sin 30°+mv2
对类平抛运动有l+R=at2，
s=vt，a=gsin 30°
联立得Ep=mg(l+R)sin 30°+s2
顾客获得一等奖时0≤s≤0.1 m或0.4 m≤s≤0.5 m
解得 J≤Ep≤ J或 J≤Ep≤ J。
例4　(2025·广东中山市检测)如图所示，在倾角为30°的光滑固定斜面上，一劲度系数为k=200 N/m的与斜面平行的轻质弹簧一端连接在固定挡板C上，另一端连接一质量为m=4 kg 的物体A，一轻细绳绕过轻质定滑轮，一端系在物体A上，另一端与质量也为m的小球B相连，A到滑轮间的细绳与斜面平行，斜面足够长。用手托住小球B使细绳伸直且刚好没有拉力，然后由静止释放，不计一切阻力，重力加速度g取10 m/s2。求：
(1)弹簧恢复原长时细绳上的拉力大小；
(2)物体A沿斜面向上运动多远时获得最大速度；
(3)物体A的最大速度的大小。
答案　(1)30 N　(2)0.2 m　(3)1 m/s
解析　(1)弹簧恢复原长时，根据牛顿第二定律，
对B有mg-T=ma
对A有T-mgsin 30°=ma，解得T=30 N。
(2)初态弹簧压缩量x1==0.1 m
当A速度最大时，A的加速度为0，
则有mg=kx2+mgsin 30°
弹簧伸长量x2=0.1 m
所以A沿斜面上升x1+x2=0.2 m。
(3)因x1=x2，故弹簧弹性势能改变量ΔEp=0，
由系统机械能守恒有
mg(x1+x2)-mg(x1+x2)sin 30°=×2mv2
解得v=1 m/s。
1.如图所示，光滑细杆竖直固定在地面上，细杆下方穿有一劲度系数为20 N/m的轻质弹簧，弹簧底端固定在水平地面上。一中间带孔、质量为1 kg的物块穿在细杆上，从距离弹簧上端高h=0.75 m的位置由静止释放，不计空气阻力，已知弹簧弹性势能表达式Ep=kx2，其中k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的形变量，弹簧始终未超过弹性限度，重力加速度g取10 m/s2。则物块从静止释放到第一次运动到最低点的过程中，下列说法正确的是(　　)
A.物块失重下落的高度为0.75 m
B.物块超重下落的高度为1.5 m
C.弹簧的弹性势能最大值为45 J
D.物块的最大速度为2 m/s
答案　D
解析　弹簧弹力等于重力时物块的加速度为0，速度最大，此时弹簧的压缩量x1==0.5 m，所以物块失重下落的高度h1=h+x1=1.25 m，该过程中物块和弹簧组成的系统机械能守恒，有mg(h+x1)-k=mv2，解得v=2 m/s，故A错误，D正确；物块从释放到最低点的过程中，根据系统机械能守恒定律mg(h+x2)=kx2·x2，解得x2=1.5 m，所以物块超重下落的高度h2=x2-x1=1 m，故B错误；弹簧的最大弹性势能Ep=k=22.5 J，故C错误。
2.(多选)(2025·广东深圳市检测)如图所示，A、B两物块通过跨过轻质定滑轮的不可伸长的轻质细绳相连，物块A穿在固定的光滑竖直杆上，物块B、C通过轻质弹簧相连，C静止在地面上。初始时，用手托住A，使连接A的细绳水平伸直，此时细绳恰好无拉力，B、C质量均为m，释放物块A，当A沿竖直杆滑至最低点时，连接A的细绳与水平方向夹角为53°，且C对地面恰好无压力，竖直杆与定滑轮的间距为d(忽略定滑轮的大小)，重力加速度为g，cos 53°=0.6，sin 53°=0.8。下列说法正确的是(　　)
A.A下滑的过程中，A、B组成的系统机械能不守恒
B.A向下运动的过程中，会有A、B速率相等的时刻
C.弹簧的劲度系数为
D.若将A的质量增加到原来的2倍，再次滑到图示位置时，A、B两物块的动能之和为mgd
答案　ACD
解析　A下滑的过程中，对A、B组成的系统有弹簧弹力对其做功，机械能不守恒，故A正确；设绳子与竖直方向的夹角为θ，根据运动的分解可知vB=vAcos θ，可知A向下运动的过程中，不会有A、B速率相等的时刻，故B错误；从初态到末态，根据几何关系可得物块B上升的高度为hB=-d=d，根据胡克定律mg=k，解得k=，故C正确；初始时弹簧被压缩，弹簧的弹力大小等于mg，当A沿竖直杆滑至最低点时，弹簧被拉伸，弹簧的弹力大小仍等于mg，所以初、末两状态弹簧形变量相等，弹簧的弹性势能相等，A、B、弹簧组成的系统中，从初态到末态只有重力做功，系统机械能守恒，则有mAghA=mBghB，由几何关系知hA=d，hB=d，所以mA=，若将A的质量增加到原来的2倍，再次滑到图示位置时，A、B两物块的动能之和Ek总=2mAghA-mBghB=-=，故D正确。
3.某款弹射跑车玩具如图。一劲度系数为k=125 N/m的轻弹簧一端固定，另一端将质量为m=0.5 kg的小车沿光滑直轨道弹出，轨道由竖直圆形过山车轨道M和带有外侧壁的水平圆形轨道N及多段直轨道连接构成，所有轨道均光滑且M轨道半径为R=0.2 m，忽略小车的大小及其在轨道连接处的能量损失，若轻弹簧的形变量为x，其具有的弹性势能为Ep=kx2，其中k为劲度系数，重力加速度g取10 m/s2，若小车恰能沿M轨道做完整圆周运动，求初始弹簧压缩量。
答案　0.2 m
解析　小车恰能沿M轨道做完整圆周运动，则在轨道最高点有mg=m
初态至M轨道最高点，由机械能守恒得
k(Δx)2=mg·2R+m
解得Δx=0.2 m。

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