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　　　　　　第十三章
　　　　　　　　　　　交变电流　电磁振荡
电磁波　传感器
第68课时　交变电流的产生和描述
目标要求　1.理解正弦式交变电流的产生过程，能正确书写交变电流的函数表达式。2.理解并掌握交变电流图像的意义。3.理解描述交变电流的几个物理量，会计算交变电流的有效值。4.知道交流电“四值”在具体情况下的应用。
考点一　正弦式交变电流的产生及变化规律
1.产生
在匀强磁场中线圈绕垂直于磁场方向的轴匀速转动。
2.交流电产生过程中的两个特殊位置
图示
概念 中性面位置 与中性面垂直的位置
特点 B⊥S B∥S
Φ=BS，磁通量最大，磁通量变化率=0 Φ=0，磁通量最小，磁通量变化率最大
e=0 e=NBSω=NΦmω，电动势最大
感应电流i=0，方向改变 感应电流最大，方向不变
一个周期内电流方向改变两次，在中性面位置改变
3.正弦式交变电流的图像(线圈从中性面位置开始计时)
物理量 函数表达式 图像
磁通量 Φ=Φmcos ωt=BScos ωt
电动势 e=Emsin ωt=NBSωsin ωt
路端 电压 u=Umsin ωt=sin ωt (外电路为纯电阻电路)
4.描述交变电流的物理量
(1)最大值
Em=NBSω，与转轴位置无关，与线圈形状无关(后两个空均选填“有关”或“无关”)。
(2)周期和频率
①周期(T)：交变电流完成一次周期性变化所需的时间。单位是秒(s)，公式T=。
②频率(f)：交变电流在单位时间内完成周期性变化的次数。单位是赫兹(Hz)。
③周期和频率的关系：T=或f=。
例1　根据以下四种情景图的描述，从图示位置开始计时，此位置线圈平面均与磁场垂直，分别画出一个周期内线圈中产生的电流i随时间t变化的图线并说明乙、丙中电流最大值的大小关系(乙、丙中线圈相同，磁场的磁感应强度相同)。
答案　见解析
解析　
丙中的电流最大值是乙中电流最大值的2倍。
例2　为研究交变电流产生的规律，某研究小组把长60 m导线绕制成N=100匝的矩形闭合线圈，如图所示。现把线圈放到磁感应强度大小B为0.1 T、方向水平向右的匀强磁场中，线圈可以绕其对称轴OO'转动，OO'与磁场垂直。现让线圈从图示位置开始(t=0)以恒定的角速度ω=10π rad/s转动。回答下列问题：
(1)t=0时，线圈位于　　　　　　位置(选填“中性面”或“与中性面垂直”)；
(2)t=0.05 s时，感应电流　　　　　　(选填“最大”或“为0”)；
(3)0~0.05 s过程中，穿过线圈的磁通量变化率　　　　　(填“逐渐增大”或“逐渐减小”)；
(4)1 s内电流方向改变　　　　　　次；
(5)当bc=2ab时，线圈从图示位置(平行于磁场方向)开始转动，感应电动势的瞬时值表达式为　　　　。
答案　(1)与中性面垂直　(2)为0　(3)逐渐减小　(4)10　(5)e=2πcos 10πt(V)
解析　(1)t=0时，线圈位于与中性面垂直的位置。
(2)线圈转动的周期为T==0.2 s，t=0.05 s时，线圈转过90°，到达中性面位置，此时磁通量最大，感应电流为0。
(3)0~0.05 s过程中，穿过线圈的磁通量逐渐增大，磁通量变化率逐渐减小。
(4)交变电流的周期为0.2 s，所以1 s内电流方向变化10次。
(5)感应电动势最大值为Em0=NBS0ω，S0=ab·bc，N(ab+bc)×2=60 m，2ab=bc，联立可得Em0=2π V，线圈从题图位置(平行于磁场方向)开始转动，因此感应电动势的瞬时值表达式为e=2πcos 10πt(V)。
　书写交变电流瞬时值表达式的技巧
1.确定正弦式交变电流的最大值：根据已知图像读出或由公式Em=NBSω求出相应最大值。
2.明确线圈的初始位置：
(1)若线圈从中性面位置开始计时，则i-t图像为正弦函数图像，函数表达式为i=Imsin ωt。
(2)若线圈从垂直中性面位置开始计时，则i-t图像为余弦函数图像，函数表达式为i=Imcos ωt。
考点二　交变电流的四值及应用
物理量 物理含义 重要关系 适用情况及说明
瞬时值 交变电流某一时刻的值 e=Emsin ωt，i=Imsin ωt 计算线圈某时刻的受力情况
峰值 最大的瞬时值 Em=NBSω，Im= (外电路为纯电阻电路) 讨论电容器的击穿电压
平均值 交变电流图像中图线与时间轴所围的面积与时间的比值 =N= (外电路为纯电阻电路) 计算通过导线横截面的电荷量
有效值 跟交变电流的热效应等效的恒定电流的值 E=U=I= 适用于正弦式交变电流 (1)交流电流表、交流电压表的示数 (2)电气设备“铭牌”上所标的值(如额定电压、额定电流等) (3)计算与电流的热效应有关的量(如电功、电功率、电热、保险丝的熔断电流等) (4)没有特别加以说明的
例3　一个电阻为r、边长为L的正方形线圈abcd共N匝，线圈在磁感应强度为B的匀强磁场中绕垂直于磁感线的轴OO'以如图所示的角速度ω匀速转动，外电路电阻为R。
(1)写出图示时刻线圈中感应电流的方向。
(2)线圈从图示位置开始转动，线圈转动过程中感应电动势e、外电路R两端电压UR的瞬时值表达式。
(3)线圈平面与磁感线夹角为60°时的感应电动势为多大？
(4)从图示位置开始，线圈转过60°的过程中通过R的电荷量是多少？
(5)图中理想电流表和理想电压表的示数各是多少？
(6)设发电机由柴油机带动，其他能量损失不计，线圈转一周，柴油机做多少功？
答案　见解析
解析　(1)由右手定则可判定电流的方向沿adcba。
(2)感应电动势的最大值Em=NBSω=NBL2ω
感应电动势e的瞬时值表达式为E=Emcos ωt=NBL2ωcos ωt
外电路R两端电压的最大值为Um=
则外电路R两端电压的瞬时值表达式为
UR=Umcos ωt=NBL2ωcos ωt。
(3)线圈平面与磁感线成60°角时的瞬时感应电动势e=Emcos 60°=NBL2ω。
(4)通过R的电荷量
q=·Δt=·Δt=N=。
(5)理想电流表的示数
I===
理想电压表的示数U=IR=。
(6)电动势的有效值E有=Em
电流的有效值I有=
柴油机做的功转化为电能，线圈转一周，柴油机做功，W=E有I有T=。
例4　(2024·河北卷·4)R1、R2为两个完全相同的定值电阻，R1两端的电压随时间周期性变化的规律如图甲所示(三角形脉冲交流电压的峰值是有效值的倍)，R2两端的电压随时间按正弦规律变化如图乙所示，则两电阻在一个周期T内产生的热量之比Q1∶Q2为(　　)
A.2∶3 B.4∶3 C.2∶ D.5∶4
答案　B
解析　题图甲一个周期T内产生的热量Q1=×+×=T；题图乙一个周期T内产生的热量Q2=×T=T，又R1、R2为两个完全相同的定值电阻，因此Q1∶Q2=4∶3，故选B。
例5　一个U形金属线框在两匀强磁场中绕OO'轴以相同的角速度匀速转动，通过导线给同一电阻R供电，如图甲、乙所示。甲图中OO'轴右侧有磁场，乙图中整个空间均有磁场，两图中磁场的磁感应强度相同。
(1)分别画出一个周期甲、乙两种情形下感应电流随时间变化的图像(从图示位置开始计时)。
(2)甲、乙两图中理想电流表的示数之比为　　　　。
A.1∶ B.1∶2 C.1∶4 D.1∶1
答案　(1)见解析图　(2)A
解析　(1)
题图甲中OO'轴的右侧有磁场，所以线框只在半个周期内有感应电流产生，感应电流随时间变化的图像如图(a)；题图乙中整个空间均有磁场，线框中产生的感应电流随时间变化的图像如图(b)。
(2)交流电流表测的是有效值，图(a)：
由()2·R·=I2RT，
得I=
图(b)：I'=
故I∶I'=1∶A正确。
　有效值的计算
1.计算有效值时要根据电流的热效应，抓住“三同”：“相同时间”内“相同电阻”上产生“相同热量”，先分段计算热量，求和得出一个周期内产生的总热量，然后根据Q总=I2RT或Q总=T列式求解。
2.若图像部分是正弦式交变电流，其中的周期(必须是从零至最大值或从最大值至零)和周期部分可直接应用正弦式交变电流的有效值与最大值之间的关系I=、U=求解。
课时精练
[分值：48分]
　[1~5题，每题4分]
1.(2025·北京卷·4)如图所示，交流发电机中的线圈ABCD沿逆时针方向匀速转动，产生的电动势随时间变化的规律为e=10sin (100πt) V，下列说法正确的是(　　)
A.该交流电的频率为100 Hz
B.线圈转到图示位置时，产生的电动势为0
C.线圈转到图示位置时，AB边受到的安培力方向向上
D.仅线圈转速加倍，电动势的最大值变为10 V
答案　C
解析　根据题意可知，该交流电的频率为f==50 Hz，故A错误；线圈转到图示位置时，磁场与线圈平面平行，磁通量最小，磁通量变化率最大，感应电动势最大，故B错误；由右手定则可知，线圈转到图示位置时，电流由B→A，由左手定则可知，AB边受到的安培力方向向上，故C正确；由公式Em=NBSω可知，仅线圈转速加倍，电动势的最大值变为原来的2倍，为20 V，故D错误。
2.(2024·广东卷·1)将阻值为50 Ω的电阻接在正弦式交流电源上。电阻两端电压随时间的变化规律如图所示。下列说法正确的是(　　)
A.该交流电的频率为100 Hz
B.通过电阻电流的峰值为0.2 A
C.电阻在1秒内消耗的电能为1 J
D.电阻两端电压表达式为u=10sin (100πt) V
答案　D
解析　由题图可知交流电的周期为0.02 s，则频率为f==50 Hz，故A错误；
根据题图可知电压的峰值为10 V，
根据欧姆定律，电流的峰值Im===0.2 A，故B错误；
电流的有效值为I==0.2 A
所以电阻在1 s内消耗的电能W=I2Rt=0.22×50×1 J=2 J，故C错误；
根据题图可知电阻两端电压表达式为
u=Umsin ωt=Umsin(t)=10sin (100πt) V，故D正确。
3.(多选)(2025·广东广州市实验中学检测)在同一匀强磁场中，两个相同的矩形金属线圈a、b分别绕线圈平面内与磁场垂直的轴匀速转动，产生的感应电动势随时间变化的图像如图所示，则(　　)
A.线圈a的转速是b的3倍
B.线圈b产生的电动势最大值为10 V
C.t=0.01 s时，线圈a恰好经过中性面
D.t=0.03 s时，线圈b磁通量变化率为0
答案　BD
解析　由题图可知=，根据公式ω==2πf=2πn得，线圈a、b的转速之比为3∶2，故A错误；由于最大感应电动势为Em=NBSω=NBS·2πn，由题图可知，线圈a最大感应电动势为15 V，则线圈b最大感应电动势为10 V，故B正确；由题图可知，t=0.01 s时，线圈a中感应电动势最大，则此时线圈a位于垂直中性面位置，故C错误；t=0.03 s时，线圈b中感应电动势为0，磁通量变化率为0，故D正确。
4.(多选)如图甲所示，N、S是永久磁铁的两个磁极，它们的表面呈半圆柱面形状。M是圆柱形铁芯，铁芯外套有一矩形线圈，线圈绕铁芯M中心的固定转轴匀速转动。磁极与铁芯之间的缝隙中形成方向沿半径的辐向磁场；如图乙所示，空间中存在竖直向下的匀强磁场，一导体棒AB绕固定的水平轴OO'在磁场中匀速转动，且始终平行于OO'。图中能正确反映线圈中的感应电动势e随时间t的变化图像、导体棒AB两端的电势差u随时间t变化的图像的是(　　)
答案　BC
解析　甲图中，在辐向磁场中，线圈转动的圆周所在位置磁感线分布的密集程度相同，则圆周上的磁感应强度大小相等，根据E=BLv可知匀速转动过程中，感应电动势的大小一定，根据右手定则可知，线圈每次经过与图示位置垂直的平面时，感应电流方向发生改变，则感应电动势的方向发生改变，即感应电动势大小一定，方向发生周期性变化，可知B正确；乙图中，导体棒匀速转动，设速度为v，角速度为ω，则导体棒转过θ角时，导体棒AB两端的电势差为u=BLvcos θ=BLrωcos ωt，所以导体棒AB两端的电势差u随时间t变化的图像为余弦图像，C正确。
5.(2024·广东惠州市期末)二极管是常用的电子元件，具有单向导电的性质，其电路符号为“”。如图(a)所示为一个R=1 Ω定值电阻和一个理想二极管串联后连接到一正弦交流电源两端，经测量发现，通过定值电阻的电流随时间的变化关系如图(b)所示。下列说法正确的是(　　)
A.电源的频率为2 Hz
B.电源的电压有效值为5 V
C.通过电阻的电流周期为1 s
D.通过电阻的电流有效值为2.5 A
答案　D
解析　电源的周期为2 s，电源的频率为f==0.5 Hz，A错误；通过电阻的电流周期为2 s，C错误；由()2R+0=I2RT，解得电流有效值I=2.5 A，D正确；设电源的电压的有效值为U，电源的输出功率等于外电路消耗的总功率IU=I2R，解得U=2.5 V，B错误。
　[6~8题，每题6分]
6.单匝闭合矩形线框电阻为R，在匀强磁场中绕与磁感线垂直的轴匀速转动，穿过线框的磁通量Φ与时间t的关系图像如图所示。下列说法正确的是(　　)
A.时刻线框平面与中性面垂直
B.线框的感应电动势最大值为
C.线框转一周外力所做的功为
D.从t=0到t=过程中线框的平均感应电动势为
答案　C
解析　由题图可知，时刻穿过线圈的磁通量最大，但磁通量变化率为0，线框产生的感应电动势为0，线框处于中性面，故A错误；线框的感应电动势最大值为Em=BSω=Φm=，故B错误；线框的感应电动势有效值为E==，根据功能关系可知，线框转一周外力所做的功为W=T=，故C正确；从t=0到t=过程中线框的平均感应电动势为===，故D错误。
7.(多选)如图甲所示，有“海上充电宝”之称的南鲲号是一个利用海浪发电的大型海上电站，其发电原理是海浪带动浪板上下摆动，从而驱动发电机转子转动，其中浪板和转子的链接装置使转子只能单方向转动。若转子带动线圈如图乙逆时针转动，并向外输出电流，下列说法正确的是(　　)
A.线圈转动到如图所示位置时穿过线圈的磁通量最大
B.线圈转动到如图所示位置时a端电势低于b端电势
C.线圈转动到如图所示位置时其靠近N极的导线框受到的安培力方向向上
D.该发电机单位时间内能输出的最大电能与浪板面积的大小有关
答案　CD
解析　线圈转动到如图所示位置时穿过线圈的磁通量最小，故A错误；根据右手定则可知此时线圈内部电流从b到a，则线圈转动到如图所示位置时a端电势高于b端电势，故B错误；线圈转动到如图所示位置时其靠近N极的导线框的电流流向a端，则根据左手定则可知，线圈转动到如图所示位置时其靠近N极的导线框受到的安培力方向向上，故C正确；浪板面积越大，受到海浪的作用力越大，则带动线圈转动的角速度越大，则发电机单位时间内能输出的最大电能越大，故D正确。
8.(多选)(2025·广东广州市模拟)如图所示，由导体材料制成的闭合线框，曲线部分PNQ满足函数y=0.5sin (0.5πx)，其中x、y单位为m，x满足0≤x≤2 m，曲线部分电阻不计，直线部分PMQ的电阻为R=10 Ω。将线框从图示的位置开始(t=0)，以v=1 m/s的速度匀速通过宽度为d=2 m、磁感应强度B=1 T、方向垂直纸面向里的匀强有界磁场，在线框穿越磁场的过程中，下列说法正确的是(　　)
A.线框穿越磁场的过程中，线框内的电流方向不变
B.线框穿越磁场的过程中，回路中的最大电流为0.05 A
C.线框穿越磁场的过程中，感应电流变化规律为i=0.05sin (πt) A
D.线框穿越磁场的过程中，线框中产生的焦耳热为0.05 J
答案　BD
解析　线框穿越磁场的过程中，根据楞次定律得，前2 s内线圈中的电流方向为逆时针，后2 s内为顺时针，故A错误；当y最大时，线框产生的电动势最大，最大值为Em=Bymv=0.5 V，解得Im==0.05 A，故B正确；线框穿越磁场的过程中，感应电流变化规律为i===0.05sin (0.5πt) A，故C错误；线框通过磁场过程中产生正弦式交变电流，有Q=()2R=0.05 J，故D正确。
9.(10分)(2025·广东深圳市模拟)如图甲所示是某同学设计的一种振动发电装置的示意图，它的结构是一个套在辐向形永久磁铁槽中的直径为d=0.2 m、匝数N=50的线圈，磁场的磁感线均沿半径方向均匀分布(其右视图如图乙所示)。线圈所在位置的磁感应强度大小B均为 T，线圈内阻为r=1 Ω，它的引出线接有R=9 Ω的小灯泡L。外力推动线圈框架的P端，使线圈沿轴线做往复运动，便有电流通过小灯泡L。从t=0时刻开始计时，线圈运动的速度v随时间t变化的规律如图丙所示，摩擦等损耗不计，求：
(1)(7分)理想电压表的示数及该发电装置在一个周期内产生的电能；
(2)(3分)t=0.1 s时外力F的大小。
答案　(1)18 V　16 J　(2)40 N
解析　(1)由图丙可得vm=2 m/s，T=0.4 s。
根据法拉第电磁感应定律得电动势最大值Em=NBLvm=NB·πd·vm=20 V
电动势的有效值E==20 V
电流的有效值I==2 A
电压表的示数U=IR=2×9 V=18 V
在一个周期内产生的电能E电=T=16 J
(2)t=0.1 s时，根据闭合电路欧姆定律得电流i=Im==2 A
此时线圈的速度最大而加速度为零，则根据平衡条件和安培力表达式得F=F安=NBIm·πd=40 N。

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