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第62课时　专题强化：带电粒子在立体空间中的运动
目标要求　1.会处理带电粒子在匀强磁场和叠加场中的螺旋式运动。2.掌握解决带电粒子在立体空间中的运动问题的解题思路和处理方法。
考点一　带电粒子的螺旋式运动
空间中匀强磁场的分布是三维的，带电粒子在磁场中的运动情况可以是三维的。现在主要讨论两种情况：
(1)空间中只存在匀强磁场，当带电粒子的速度方向与磁场的方向不平行也不垂直时，带电粒子在磁场中就做螺旋线运动。这种运动可分解为平行于磁场方向的匀速直线运动和垂直于磁场平面的匀速圆周运动。
(2)空间中的匀强磁场和匀强电场(或重力场)平行时，带电粒子在一定的条件下就可以做“旋进”运动，这种运动可分解为平行于磁场方向的匀变速直线运动和垂直于磁场平面的匀速圆周运动。
例1　(1)如图甲所示，在空间中存在水平向右、沿x轴正方向的匀强磁场，磁感应强度大小为B，在原点O有一个质量为m、带电荷量为q的带正电的粒子以速度v0垂直x轴射入磁场，不计粒子的重力，分析粒子的运动情况，求粒子运动轨迹距离x轴的最远距离。
(2)如图乙所示，若粒子的速度方向与x轴夹角为θ。
①试分析粒子的运动情况；
②求粒子运动的轨迹距x轴的最远距离及轨迹与x轴相邻交点之间的距离。
(3)如图丙所示，若在空间再加上沿x轴正方向电场强度大小为E的匀强电场，粒子速度方向仍与x轴方向成θ角。
①试分析粒子的运动情况；
②求粒子离x轴的最大距离；
③求粒子第三次(起始位置为第零次)与x轴相交时的位置坐标。
答案　见解析
解析　(1)粒子在垂直x轴的平面内做匀速圆周运动，距x轴最远距离等于粒子轨迹圆的直径，
由qv0B=mD1=2R1，得D1=；
(2)①粒子速度沿x轴方向的分量v0x=v0cos θ，
在垂直于x轴方向的分量v0y=v0sin θ，
在垂直于x轴的平面内受洛伦兹力，粒子在垂直于x轴的平面内做匀速圆周运动，在平行于x轴方向做匀速直线运动，即做等距螺旋线运动。
②由qv0yB=m得D2=2R2=。
粒子做匀速圆周运动的周期T==
轨迹与x轴相邻交点之间的距离
Δx=v0cos θ·T=；
(3)①将粒子的初速度分解为沿x轴方向的分速度v0x和垂直x轴方向的分速度v0y，v0x=v0cos θ，v0y=v0sin θ
洛伦兹力方向与x轴垂直，粒子在垂直x轴的平面内做匀速圆周运动，在平行x轴方向由电场力作用下做匀加速直线运动，粒子做螺距逐渐增大的“旋进”运动。
②由qv0yB=m得粒子做圆周运动的半径
R3=R2==
粒子离x轴的最大距离D3=2R3=。
③在x轴方向，qE=ma，第三次与x轴相交时的位置坐标x=v0xt+at2，
从射出至第三次到x轴时间t=3T==
故x=(v0cos θ+)。
拓展　若电、磁场方向均沿x轴正方向，粒子射入磁场的方向与x轴垂直，如图所示，粒子与x轴的交点坐标x1、x2、x3…满足什么关系？
答案　见解析
解析　粒子做“旋进”运动，且到达x轴的时间间隔相等，在x轴方向做初速度为0的匀加速直线运动，故x1∶x2∶x3…=1∶4∶9…。
考点二　带电粒子在立体空间中的偏转
分析带电粒子在立体空间中的运动时，要发挥空间想象力，确定粒子在空间的位置关系。带电粒子依次通过不同的空间，运动过程分为不同的阶段，只要分析出每个阶段上的运动规律，再利用两个空间交界处粒子的运动状态和关联条件即可解决问题。一般情况下利用降维法，要将粒子的运动分解为两个互相垂直的分运动来求解。
例2　(2025·广东省六校联考)如图所示，三维坐标系O-xyz内存在着正四棱柱空间区域，正四棱柱的截面OPMN水平且与ACDF-IJGH的两个底面平行，其中A点的坐标为(0L，0)，C点的坐标为(0L，L)，正四棱柱ACDF-OPMN空间处于沿y轴方向的匀强电场中，OPMN-IJGH空间处于沿y轴负方向的匀强磁场中，质量为m、电荷量为+q的粒子以速度v0从A点沿AD方向射出，经电场偏转后恰好从截面OPMN的中心进入磁场区域，不计粒子的重力。
(1)求匀强电场的电场强度；
(2)若粒子恰好未从四棱柱的侧面飞出，求匀强磁场的磁感应强度B的大小。
答案　(1)方向沿y轴负方向　(2)
解析　(1)粒子在电场中做类平抛运动，沿AD方向有L=v0t
沿y轴方向有L=at2
沿y轴方向的加速度a=
解得匀强电场的电场强度大小为E=
方向沿y轴负方向。
(2)粒子到达OPMN的中心，如图甲所示，平行于正四棱柱底面的分速度大小始终为v0，带电粒子在平行于正四棱柱底面的方向上做匀速圆周运动，恰好不从四棱柱的侧面飞出，作出圆轨迹如图乙所示
由几何关系可得粒子做圆周运动的半径
r=L
由洛伦兹力提供向心力，有qv0B=m
解得B=。
课时精练
[分值：45分]
[1题4分]
1.(多选)(2024·广东佛山市二模)某兴趣小组在利用洛伦兹力演示仪(图甲)探究带电粒子在匀强磁场中运动的规律时，发现有时玻璃泡中的电子束在匀强磁场中的运动轨迹呈“螺旋”状。现将这一现象简化成如图乙所示的情景来讨论：在空间存在平行于y轴的匀强磁场，由坐标原点在xOy平面内以初速度v0沿与x轴正方向成θ角方向射入磁场的电子运动轨迹为螺旋线，其轴线平行于y轴，螺旋半径为R，螺距为Δy，螺旋周期为T，则下列说法中正确的是(　　)
A.匀强磁场的方向为沿y轴负方向
B.若仅增大励磁线圈中的电流，则螺旋半径R减小
C.若仅增大电子的加速电压，则螺距Δy将增大
D.若仅增大θ角(θ<90°)，则螺旋周期T将减小
答案　ABC
解析　将电子的速度沿着x轴和y轴分解，如图所示，vy=v0sin θ，vx=v0cos θ，电子沿着y轴正方向做匀速直线运动，在xOz面内做匀速圆周运动，根据题图乙可知电子从O点开始向上偏转，电子在O点受到的洛伦兹力沿着z轴正方向，利用左手定则可知匀强磁场的方向为沿y轴负方向，故A正确；由洛伦兹力提供向心力q(v0cos θ)B=，得R=，若仅增大励磁线圈中的电流，则磁感应强度增大，根据半径表达式可知，电子做圆周运动的半径变小，故B正确；电子在电场中加速，根据动能定理有qU=m，解得v0=，根据运动学公式有，螺距为Δy=v0sin θ·T，电子做匀速圆周运动的周期为T=，可知，周期与θ角无关，若仅增大θ角(θ<90°)，T不变，若仅增大电子的加速电压，由螺距表达式可知，螺距会更大，故C正确，D错误。
2.(12分)(2025·广东省深圳中学模底考)亥姆霍兹线圈是一对平行的完全相同的圆形线圈。如图所示，两线圈通入方向相同的恒定电流，线圈间形成平行于中心轴线O1O2的匀强磁场，沿O1O2建立x轴，一足够大的圆形探测屏垂直于x轴放置，其圆心P点位于x轴上。在线圈间加上平行于x轴的匀强电场，粒子源从x轴上的O点以垂直于x轴的方向持续发射初速度大小为v0的粒子。已知粒子质量为m，电荷量为q(q>0)，电场强度大小为E，磁感应强度大小为B，电场和磁场均沿x轴正方向，不计粒子重力和粒子间相互作用。若未加电场，粒子可以在线圈间做匀速圆周运动。
(1)(3分)若未加电场，求粒子做圆周运动的半径r；
(2)(4分)加入电场后，沿x轴方向左右调节探测屏，求粒子打在探测屏上的点距探测屏圆心P点的最远距离D；
(3)(5分)加入电场后，沿x轴方向左右调节探测屏，若要使粒子恰好打在探测屏的圆心P点，求此时P点与粒子源间的距离d。
答案　(1)　(2)　(3)(n=1，2，3…)
解析　(1)粒子在磁场中，由洛伦兹力提供向心力有qv0B=
解得粒子做圆周运动的半径为r=
(2)粒子在垂直于x轴的平面内做匀速圆周运动，在x轴方向上做匀加速运动。若粒子在垂直于x轴的平面内转过奇数个半圈，此时打到探测屏上的位置距离P点最远；根据几何关系得
D=2r=
(3)垂直于x轴的平面内，粒子在磁场中运动的周期T==
则粒子回到x轴时间为
t=nT=n(n=1，2，3…)
沿x轴方向d=at2，qE=ma
联立解得d=(n=1，2，3…)。
3.(13分)(2025·陕晋青宁卷·14)电子比荷是描述电子性质的重要物理量。在标准理想二极管中利用磁控法可测得比荷，一般其电极结构为圆筒面与中心轴线构成的圆柱体系统，结构简化如图(a)所示，足够长圆柱形筒半径为R。在圆筒中央O点有一电子源，向空间中各个方向发射速度大小为v0的电子，某时刻起筒内加大小可调节且方向沿中心轴向下的匀强磁场，筒的横截面及轴截面示意图如图(b)所示，当磁感应强度大小调至B0时，恰好没有电子落到筒壁上，不计电子间相互作用及其重力的影响。求(R、v0、B0均为已知量)：
(1)(4分)电子的比荷；
(2)(9分)当磁感应强度大小调至B0时，筒壁上落有电子的区域面积S。
答案　(1)　(2)2π2R2
解析　(1)当磁场的磁感应强度为B0时，恰好没有电子落到筒壁上。
则以速度v0垂直轴线方向射出的电子，轨迹恰好与圆筒壁相切，轨迹半径R0=
根据洛伦兹力提供向心力可得eB0v0=
联立解得=
(2)磁感应强度调整为后，当电子速度与磁场不垂直时，将电子速度沿垂直轴线和平行轴线方向进行分解，分别设vx、vy，电子将在垂直轴线方向上做匀速圆周运动，平行轴线方向上做匀速直线运动，电子击中筒壁距离粒子源的最远点时，其垂直轴线方向的圆周运动轨迹与筒壁相切，则轨迹半径仍为R0=
根据洛伦兹力提供向心力可得evx=
联立解得vx=
由射出到相切，经过半个周期，用时t==×=×==
根据速度的合成与分解可知vy==v0
平行轴线方向运动距离y=vyt=R
结合对称性，被电子击中的面积S=2×2πRy=2π2R2。
4.(16分)(2024·广东广州市三模)在三维坐标系O-xyz中长方体abcd-a'b'c'd'所在区域内存在匀强磁场，平面mnij左侧磁场B1方向为垂直于平面adjm，平面mnij右侧磁场B2方向为由m指向i方向，其中B1、B2大小均未知。现有电荷量为q(q>0)、质量为m的带电粒子以初速度v从a点沿平面adjm进入左侧磁场，经j点垂直平面mnij进入右侧磁场，最后离开长方体区域。已知长方体侧面abcd为边长L的正方形，其余边长如图中所示，sin 37°=0.6，sin 53°=0.8，不计粒子重力。
(1)(5分)求磁感应强度B1的大小及粒子从a点运动到j点的时间t；
(2)(4分)若粒子从nb'边离开磁场，求B2的大小范围；
(3)(7分)若平面mnij右侧空间磁场换成方向由j指向n且电场强度E大小可变的匀强电场(图中未画出，其余条件不变)，求粒子离开长方体区域时动能Ek与电场强度E大小的关系式。
答案　(1)　　(2)≤B2≤　(3)Ek=EqL+mv2(E≥)，Ek=+mv2(0≤E<)
解析　(1)粒子在面adjm内做匀速圆周运动，轨迹如图所示
设其半径为r1，由几何关系得=(2L)2+(r1-L)2
解得r1=L
根据洛伦兹力提供向心力有qvB1=m
解得B1=
根据几何关系可知sin α==0.8
故α=53°
运动时间为t==
(2)若粒子从b'射出，根据几何关系有
=(2L)2+(r2-L)2，r2=
若粒子从n射出，同理可得r2=L
根据洛伦兹力提供向心力qvB2=m
代入数据解得磁感应强度的范围为
≤B2≤
(3)粒子恰好从b'射出时有2L=vt1
L=a
且有qE=ma，解得E=
根据动能定理有Eq·L=Ek-mv2
若电场强度满足E≥，粒子从nb'离开长方体，则Ek=EqL+mv2
当E<
粒子从d'b'离开长方体，运动时间t2=t1，有
d=a=
根据动能定理有Eqd=Ek-mv2
解得Ek=+mv2(0≤E<)。

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