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　　　　　第四章
　　　　　　　　　　　　　　　　 曲线运动
第17课时　曲线运动　运动的合成与分解
目标要求　1.理解物体做曲线运动的条件，掌握曲线运动的特点。2.会用运动的合成与分解处理小船渡河、关联速度等问题。3.理解运动的合成与分解是处理曲线运动的一种重要思想方法。
考点一　曲线运动的条件和特征
1.速度的方向：质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向。
2.曲线运动的性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动一定是变速运动。
(1)a恒定：匀变速曲线运动；
(2)a变化：非匀变速曲线运动。
3.做曲线运动的条件：
4.速率变化的判断
例1　(来自人教教材改编)小文同学在探究物体做曲线运动的条件时，将一条形磁铁放在水平光滑桌面的不同位置，让小钢珠在水平桌面上从同一位置以相同初速度v0运动，得到不同轨迹。图中a、b、c、d为其中四条运动轨迹，磁铁放在位置A时，小钢珠的运动轨迹是　　　　(填轨迹字母代号)，磁铁放在位置B时，小钢珠的运动轨迹是　　　　(填轨迹字母代号)。实验表明，当物体所受合力的方向跟它的速度方向　　　　(填“在”或“不在”)同一直线上时，物体做曲线运动。
答案　b　c　不在
解析　因条形磁铁与小钢珠间的作用力为引力，方向沿二者的连线方向，而物体所受合力与速度共线时做直线运动，不共线时做曲线运动，且运动轨迹向合力方向的一侧弯曲，由题图知磁铁在A位置时对小钢珠的引力与v0同向，轨迹为b。当磁铁放在位置B时，小钢珠运动过程中受到磁铁的吸引，小钢珠逐渐接近磁铁，所以其运动轨迹是c；实验表明，当物体所受合力的方向跟它的速度方向不在同一直线上时，物体做曲线运动。
例2　(2023·全国乙卷·15)小车在水平地面上沿轨道从左向右运动，动能一直增加。如果用带箭头的线段表示小车在轨道上相应位置处所受合力，下列四幅图可能正确的是(　　)
答案　D
解析　小车做曲线运动，所受合力指向曲线的凹侧，故A、B错误；小车沿轨道从左向右运动，动能一直增加，故合力方向与运动方向的夹角始终为锐角，C错误，D正确。
　曲线运动中速度方向、合力方向与运动轨迹之间的关系
1.速度方向与运动轨迹相切；
2.合力方向指向曲线的“凹”侧；
3.运动轨迹一定夹在速度方向和合力方向之间。
考点二　运动的合成与分解
1.基本概念
(1)运动的合成：已知分运动求合运动。
(2)运动的分解：已知合运动求分运动。
2.遵循的法则
位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循平行四边形定则。
3.运动分解的原则
根据运动的实际效果分解，也可采用正交分解法。
4.合运动与分运动的关系
(1)等时性：合运动和分运动经历的时间相等，即同时开始、同时进行、同时停止。
(2)独立性：一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其他分运动的影响。
(3)等效性：各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果。
例3　(多选)(2024·安徽卷·9)一倾角为30°足够大的光滑斜面固定于水平地面上，在斜面上建立Oxy直角坐标系，如图甲所示。从t=0开始，将一可视为质点的物块从O点由静止释放，同时对物块施加沿x轴正方向的力F1和F2，其大小与时间t的关系如图乙所示。已知物块的质量为1.2 kg，重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力。则(　　)
A.物块始终做匀变速曲线运动
B.t=1 s时，物块的y坐标值为2.5 m
C.t=1 s时，物块的加速度大小为5 m/s2
D.t=2 s时，物块的速度大小为10 m/s
答案　BD
解析　根据题图乙可得F1=4-t(N)，F2=3t(N)，故两力的合力为Fx=4+2t(N)
物块在y轴方向受到的力不变，为mgsin 30°，x轴方向受到的力Fx在改变，合力在改变，故物块做的不是匀变速曲线运动，故A错误；
沿y轴方向物块做匀加速直线运动，加速度为
ay==gsin 30°=5 m/s2
故t=1 s时，物块的y坐标值为
y=ayt2=2.5 m，故B正确；
t=1 s时，Fx=6 N，故ax==5 m/s2
则a==5 m/s2，故C错误；
沿x轴正方向，对物块根据动量定理得
Fxt=mvx-0
由于Fx与时间t成线性关系，故可得
×2=1.2vx
解得vx=10 m/s
此时y轴方向速度大小为
vy=gsin 30°·t=5×2 m/s=10 m/s
故此时物块的速度大小为
v==10 m/s，故D正确。
　判断两个直线运动的合运动性质的方法
1.分别把两个直线运动的初速度和加速度合成，然后根据合加速度特点以及合加速度与合初速度的方向关系判断合运动的性质。
2.常见的情况：
两个互成角度的分运动 合运动的性质
两个匀速直线运动 匀速直线运动
一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动 匀变速曲线运动
两个初速度为零的匀加速直线运动 匀加速直线运动
两个初速度不为零的匀变速直线运动 如果v合与a合共线，为匀变速直线运动
如果v合与a合不共线，为匀变速曲线运动
考点三　小船渡河模型
例4　(多选)(2025·广东肇庆市期中)如图，小船以大小为5 m/s、船头与上游河岸成θ=60°角的速度v1(在静水中的速度)从A处渡河，经过一段时间正好到达正对岸B处。已知河宽d=180 m，则下列说法中正确的是(　　)
A.河中水流速度为2.5 m/s
B.小船以最短位移渡河的时间为24 s
C.小船渡河的最短时间为24 s
D.小船以最短时间渡河时到达对岸的位移大小是90 m
答案　BD
解析　河中水流速度为v2=v1cos 60°=2.5 m/s，选项A错误；小船以最短位移渡河的时间为t== s=24 s，选项B正确；当船头方向指向正对岸时渡河时间最短，则小船渡河的最短时间为tmin== s=36 s，选项C错误；小船以最短时间渡河时到达对岸沿水流方向的位移大小是x=v2tmin=2.5×36 m=90 m，则总位移大小s==90 m，选项D正确。
拓展
1.若船头正对河岸渡河时，河水速度突然增大，渡河时间变化吗？
答案　渡河时间不变，渡河时间与河水速度无关。
2.若在A处下游180 m后为危险水域，要使船安全到达对岸，船的最小速度为多少？
答案　设船恰好到达危险水域边缘，图示方向船速最小，v1'=v2sin α，tan α==，得α=30°，所以船的最小速度为v1'=v2sin 30°=1.25 m/s。
　小船渡河的两类情况
最短时间 最短航程
v船>v水 v船tmin= lmin=d，cos θ= lmin=d·，cos θ=
考点四　绳(杆)连接物的关联速度
例5　(2025·黑吉辽蒙卷·6)如图，趣味运动会的“聚力建高塔”活动中，两长度相等的细绳一端系在同一塔块上，两名同学分别握住绳的另一端，保持手在同一水平面以相同速率v相向运动。为使塔块沿竖直方向匀速下落，则v(　　)
A.一直减小 B.一直增大
C.先减小后增大 D.先增大后减小
答案　B
解析　设两边绳与竖直方向的夹角为θ，塔块沿竖直方向匀速下落的速度为v块，将v块沿绳方向和垂直绳方向分解，将v沿绳方向和垂直绳方向分解，可得v块cos θ=vsin θ，解得v=，由于塔块匀速下落时θ在减小，故可知v一直增大。故选B。
例6　(2025·广东广州市检测)如图所示，竖直平面内固定一根“L”形足够长的细杆。a球套在竖直杆上，b球套在水平杆上，a、b通过铰链用长度为L的刚性轻杆连接，开始时刚性轻杆竖直，不计一切摩擦，当a球向下滑且刚性轻杆与竖直杆夹角为30°时，a球与b球速度大小之比为(　　)
A.1∶ B.1∶1 C.∶1 D.1∶2
答案　A
解析　a、b球沿刚性轻杆的速度大小相等，可知vacos 30°=vbsin 30°，所以a球与b球速度大小之比==，故A正确，B、C、D错误。
1.题型特点
与绳(杆)相连的物体运动方向与绳(杆)不在一条直线上。
2.明确合速度与分速度
合速度→绳(杆)拉物体的实际运动速度v→平行四边形对角线
3.解题原则
把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分速度，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解，常见的模型如图所示。
课时精练
[分值：56分]
　[1~6题，每题4分]
1.(来自粤教教材改编)如图，虚线描述的是跳水运动员在10米跳台跳水时头部的运动轨迹示意图，则运动过程中与入水速度方向可能相同的点是(　　)
A.a B.b
C.c D.d
答案　C
解析　由于曲线运动的速度方向为轨迹在该点的切线方向，所以在题图中的a点速度方向水平向左，b点的速度方向斜向右下方，c点的速度方向竖直向下，d点的速度方向竖直向上，则题图中与入水速度方向可能相同的点是c，故选C。
2.(2023·辽宁卷·1)某同学在练习投篮，篮球在空中的运动轨迹如图中虚线所示，篮球所受合力F的示意图可能正确的是(　　)
答案　A
解析　篮球做曲线运动，所受合力指向运动轨迹的凹侧，故选A。
3.(2025·广东湛江市期中)一支探险队乘坐小木船过一条宽阔的河流。若探险队采用渡河时间最短的方式渡河，小木船相对静水的速度大小不变，越靠近河道中央水流速度越快，则小木船从P到Q渡河的轨迹可能是(　　)
答案　C
解析　由题意可知，小木船船头方向指向正对岸渡河，此时小木船沿船头方向做匀速直线运动，沿水流方向先做加速直线运动，后做减速直线运动，则小木船所受合力方向先水平向右，后水平向左，曲线运动合力方向指向轨迹凹的一侧。故选C。
4.如图为自动控制货品运动的智能传送带，其奥秘在于面板上蜂窝状的小正六边形部件，每个部件上有三个导向轮A、B、C，在单个方向轮子的作用下，货品可获得与导向轮同向的速度v，若此时仅控制A、C两个方向的轮子同时按图示箭头方向等速转动，则货品获得的速度大小为(　　)
A.v B.v C.v D.2v
答案　C
解析　根据题意可知，两个速度夹角为60°，根据速度合成可知，合速度为v实际=2vcos 30°=v，故选C。
5.(2025·广东广州市模拟)如图，潜艇从海水的高密度区驶入低密度区过程称为“掉深”。图(a)，某潜艇在高密度区水平向右匀速航行；t=0时，该潜艇开始“掉深”，图(b)为其竖直方向的速度—时间图像，水平速度v保持不变。若以水平向右为x轴，竖直向下为y轴，则潜艇“掉深”后的0~30 s内，能大致表示其运动轨迹的图形是(　　)
答案　B
解析　根据题意可知，潜艇在x轴方向上做匀速直线运动，y轴方向上先做匀加速直线运动，再做匀减速直线运动，则其运动轨迹的图形满足在x轴上取距离相等的连续的几段距离，时间相等，在y轴上下降的距离先增大后减小。故选B。
6.(2024·广东茂名市一模)如图所示，一根长为L的直杆一端抵在墙角，一端倚靠在物块的光滑竖直侧壁上，物块向左以速度大小v运动时，直杆绕O点做圆周运动且始终与物块间有弹力。当直杆与水平方向的夹角为θ时，则(　　)
A.A点速度大小也为v
B.A点速度大小与θ有关
C.A点速度方向与θ无关
D.A点速度方向与OA成θ角
答案　B
解析　直杆与物块接触点的实际运动即合运动vA，方向垂直于杆指向左下方，该速度沿水平方向上的速度分量等于v，即v=vAsin θ，则vA=，故选B。
　[7~9题，每题6分]
7.有一个质量为4 kg的质点在xOy平面内运动，在x方向的速度时间图像和y方向的位移时间图像分别如图甲、乙所示。下列说法正确的是(　　)
A.质点做匀变速直线运动
B.质点所受的合外力为22 N
C.t=2 s时质点的速度大小为6 m/s
D.零时刻质点的速度大小为5 m/s
答案　D
解析　由题图可知，质点在x轴方向上做匀加速直线运动，在y轴方向上做匀速直线运动，合力的方向沿x轴方向，在x轴方向上的初速度大小为3 m/s，在y轴方向上的速度大小为4 m/s，则初速度大小v0= m/s=5 m/s，初速度方向不沿x轴方向，所以质点做匀变速曲线运动，故A错误，D正确；质点在x轴方向上的加速度为ax=1.5 m/s2，y轴方向上的加速度为零，则合加速度为a=1.5 m/s2，所以合外力为F=ma=4×1.5 N=6 N，故B错误；t=2 s时质点在x轴方向上的速度大小为vx=6 m/s，在y轴方向上的速度大小为vy=4 m/s，则合速度大小为v= m/s>6 m/s，故C错误。
8.(多选)(2026·广东清远市检测)如图，一辆货车利用跨过光滑定滑轮的轻质不可伸长的缆绳提升一箱货物，已知货箱的质量为m0，货物的质量为m，货车向左做匀速直线运动，在将货物提升到图示的位置时，货箱速度为v，连接货车的缆绳与水平方向夹角为θ，重力加速度为g，不计空气阻力，下列说法正确的是(　　)
A.货车的速度等于vcos θ
B.货物处于超重状态
C.缆绳中的拉力T小于(m0+m)g
D.货车对地面的压力小于货车的重力
答案　BD
解析　把货车速度分解到绳子方向，分速度与货箱速度相等，则v=v1cos θ，即v1=，故A错误；货车匀速行驶，θ在减小，因此货箱的速度在增大，故货物在做加速运动，处于超重状态，故B正确；因为货物和货箱处于超重状态，所以T大于(m0+m)g，故C错误；货车受到绳子的拉力，故货车对地面的压力小于货车的重力，故D正确。
9.(2023·江苏卷·10)达·芬奇的手稿中描述了这样一个实验：一个罐子在空中沿水平直线向右做匀加速运动，沿途连续漏出沙子。若不计空气阻力，则下列图中能反映空中沙子排列的几何图形是(　　)
答案　D
解析　以罐子为参考系，沙子在水平方向向左做初速度为零的匀加速直线运动，在竖直方向做自由落体运动，合加速度恒定，沙子在空中排列在一条斜向左下的直线上，故选D。
10.(14分)(2025·广东深圳市检测)图(a)是我国传统农具——风鼓车，图(b)是其工作原理示意图，转动摇柄，联动风箱内的风叶，向车斗内送风，入料仓漏口H漏出的谷物经过车斗，质量大于2.0×10-5 kg的谷粒为饱粒，落入第一出料口A1B；质量为1.2×10-5~2.0×10-5 kg的谷粒为瘪粒，落入第二出料口A2B；质量小于1.2×10-5 kg的草屑被吹出出风口。已知A1、B、A2三点在同一水平线上，A1B的宽度为0.12 m；A1在H正下方，A1H的高度为0.4 m；质量为2.0×10-5 kg的谷粒从H漏出，恰好经B点落入A2B，设谷物从H漏出时速度竖直向下，大小为1 m/s；谷粒在车斗内所受水平风力恒定且相等，只考虑其所受重力和水平风力作用，重力加速度g取10 m/s2。
(1)(4分)求谷粒从H落到出料口所经历的时间；
(2)(6分)求谷粒所受水平风力的大小；
(3)(4分)若瘪粒恰好能全部落入A2B，求A2B的宽度。
答案　(1)0.2 s　(2)1.2×10-4 N　(3)0.08 m
解析　(1)谷粒从H落到出料口的过程，竖直方向是初速度为1 m/s的匀加速直线运动，
竖直方向上有h=v0t+gt2，
将h=0.4 m代入可得t=0.2 s
(2)对质量为2.0×10-5 kg的谷粒，从H漏出恰好经B点落入A2B，
水平方向有x1=at2
设风力大小为F，由牛顿第二定律F=ma
将x1=0.12 m、t=0.2 s、m=2.0×10-5 kg代入，联立可解得F=1.2×10-4 N
(3)质量等于1.2×10-5 kg的瘪粒，恰好落到A2点，设A2B宽度为x2，
则有x1+x2=a't2，F=m'a'，
联立可得x2=0.08 m。

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