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同步探究学案
课题 26.2.1 二次函数的图象和性质 单元 第二十六章 学科 数学 年级 九年级
学习 目标 1．会用描点法画的函数图象，认识抛物线． 2．通过观察图象，掌握的开口方向、对称轴、顶点等图象特征． 3．理解参数对抛物线开口方向、开口大小的影响．
重点 会用描点法画出图象，掌握的图象与性质．
难点 从抛物线图象归纳函数增减性，理解对抛物线开口大小的影响．
探究过程
导入新课 【引入思考】 问题1：说一说二次函数的概念？ 答案：一般地，形如是常数，的函数，叫作二次函数． 问题2：研究一次函数我们采用什么样的流程？ 答案：列表、描点、连线
新知探究 本节课来研究： 本节我们借助研究一次函数的方法，研究最简单的二次函数 。 问题：仿照一次函数图象的画法，画出二次函数y＝x2的图象． 解：列表 ...-3-2-10123.........
根据表中的值在平面直角坐标系中描点， 再用平滑曲线顺次连接各点，就得到的图象. 说一说：观察所画图象，你能说一下它的形状特征吗？ 指出：可以看出，二次函数的图象是一条曲线，它的形状类似投篮或掷铅球时球在空中经过的路线，只是这条曲线开口向上. 归纳：实际上，二次函数的图象都是类似的曲线，它们的开口或者向上或者向下.我们把二次函数的图象叫作抛物线 试一试：所画出的抛物线y＝x2上分别取点（2，4），（3，9），并找到它们关于y轴的对称点，你发现了什么？ 在抛物线上任取一点，因为该点关于轴的对称点也在抛物线上，所以抛物线关于轴对称. 抛物线与其对称轴的交点叫作抛物线的顶点，它是抛物线的最低点．实际上，每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫作抛物线的顶点．顶点是抛物线的最低点或最高点． 从二次函数y＝x2的图象可以看出：在对称轴的左侧，抛物线从左到右下降；在对称轴的右侧，抛物线从左到右上升．也就是说，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大． 例：在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象. 解：分别列表，再画出它们的图象. ...-4-3-2-101234......84.520.500.524.58...
...-2-1.5-1-0.500.511.52......84.520.500.524.58...
思考：（1）函数，y＝2x2的图象与函数y＝x2的图象（图中的虚线图形）相比，有什么相同点和不同点？ 预设： 相同点： 1.抛物线的开口向上； 2.对称轴是y轴； 3.顶点是原点，顶点是抛物线的最低点； 4.当x＞0时，y随x的增大而增大；当x＜0时，y随x的增大而减小． 不同点：开口大小不同. 思考：（2）利用信息技术工具画二次函数的图象，改变的值，函数的图象也发生了改变.随着的变化，二次函数的图象有什么变化 答案：a越大，抛物线的开口越小． 归纳：一般地，当时，抛物线的开口，对称轴是轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点，越大，抛物线的开口越小. 进一步，从二次函数的图象可以看出：当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大. 探究：回顾上面研究二次函数的图象和性质的过程，你能用类似的方法研究二次函数的图象和性质吗 分析：类似于对函数的研究，可以在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，观察这些抛物线有什么共同点和不同点.也可以利用信息技术工具画二次函数的图象，改变的值，观察随着的变化，二次函数的图象的变化. 答案：相同点： 1.抛物线的开口向下； 2.对称轴是y轴； 3.顶点是原点，顶点是抛物线的最高点； 4.当x＞0时，y随x的增大而减小；当x＜0时，y随x的增大而增大． 不同点：开口大小不同. a越小，抛物线的开口越小． 归纳：一般地，当时，抛物线的开口，对称轴是，顶点是，顶点是抛物线的，越小，抛物线的开口.当时，随的增大而；当时，随的增大而. 总结：一般地，抛物线的对称轴是轴，顶点是原点.当时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点.越大，抛物线的开口越小. 从二次函数的图象可以看出：如果，那么当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大；如果，那么当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小.
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．下列各点在函数的图象上的是（ ） A． B． C． D． 答案：C 2．如图，分别对应与的函数图象，则，的大小关系______． 答案： 3．在下面给定的平面直角坐标系中，画出二次函数的图象，并回答下列问题： （1）当x取何值时，y有最小值？最小值是多少？ （2）当时，y随x的增大怎样变化？当时呢？ 解：作函数的图象如图所示． （1）根据图象可知，当时，有最小值，最小值是． （2）根据图象可判断，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小． 选做题： 4．在平面直角坐标系中，点，，的图象如下图所示，则的值可以为（ ） A．3 B．2 C． D． 答案：D 【综合拓展类练习】 5．根据条件，求下列各题中的取值或取值范围． (1)函数有最小值； (2)函数，当时，随着的增大而增大； (3)与的函数图象形状相同； (4)函数的图象是开口向下的抛物线． 解：（1）函数有最小值， ， ； （2）当时，函数的函数值随着的增大而增大， ， ； （3）与的函数图象形状相同， ， 或； （4）函数的图象是开口向下的抛物线， 且， 或， ， ．
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．抛物线的顶点坐标是（ ） A．（1，0） B．（0，1） C．（0，0） D．（1，1） 答案：C 2．已知抛物线经过第二象限，那么这条抛物线的开口方向是____________． 答案：向上 3．已知函数是关于的二次函数. (1)求满足条件的值； (2)当为何值时，此抛物线有最低点？这时，当取何值时，随的增大而减小； (3)当为何值时，此抛物线有最高点？最高点的坐标是多少？这时，当取何值时，随的增大而增大. 解：（1）∵函数是关于的二次函数， ∴， 解得：或， ∴满足条件的值为． （2）当时，函数为，开口向上，此时抛物线有最低点，当时，随的增大而减小． （3）当时，函数为，开口向下，此时抛物线有最高点，最高点坐标为，当时，随的增大而增大． 选做题： 4．已知三个二次函数的图象如图所示，那么，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 答案：D 【综合拓展类作业】 5．如图，已知点在抛物线上，过点且平行于轴的直线交抛物线于点． (1)求的值； (2)若点是抛物线上一点，且的横坐标为1，求的面积． 解：（1）把代入抛物线得： ， 解得：； （2）由（1）可知抛物线的解析式为， ∴当时，则有，解得：， 当时，则有， ∴， ∴．
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课题 26.2.1 二次函数的图象和性质 单元 第二十六章 学科 数学 年级 九年级
学习 目标 1．会用描点法画的函数图象，认识抛物线． 2．通过观察图象，掌握的开口方向、对称轴、顶点等图象特征． 3．理解参数对抛物线开口方向、开口大小的影响．
重点 会用描点法画出图象，掌握的图象与性质．
难点 从抛物线图象归纳函数增减性，理解对抛物线开口大小的影响．
探究过程
导入新课 【引入思考】 问题1：说一说二次函数的概念？ 问题2：研究一次函数我们采用什么样的流程？
新知探究 本节课来研究： 本节我们借助研究一次函数的方法，研究最简单的二次函数 。 问题：仿照一次函数图象的画法，画出二次函数y＝x2的图象． 解：列表 ...-3-2-10123.........
根据表中的值在平面直角坐标系中描点， 再用平滑曲线顺次连接各点，就得到的图象. 说一说：观察所画图象，你能说一下它的形状特征吗？ 指出：可以看出，二次函数的图象是一条__________，它的形状类似投篮或掷铅球时球在空中经过的路线，只是这条曲线开口向上. 归纳：实际上，二次函数的图象都是类似的曲线，它们的开口或者向上或者__________.我们把二次函数的图象叫作________ 试一试：所画出的抛物线y＝x2上分别取点（2，4），（3，9），并找到它们关于y轴的对称点，你发现了什么？ 在抛物线上任取一点，因为该点关于轴的对称点也在抛物线上，所以抛物线关于对称. 抛物线与其对称轴的交点叫作抛物线的__________，它是抛物线的__________．实际上，每条抛物线都有__________，抛物线与对称轴的交点叫作抛物线的__________．顶点是抛物线的__________或__________． 从二次函数y＝x2的图象可以看出：在对称轴的左侧，抛物线从左到右__________；在对称轴的右侧，抛物线从左到右__________．也就是说，当时，随的增大而__________；当时，随的增大而__________． 例：在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象. 解：分别列表，再画出它们的图象. ...-4-3-2-101234...... ...
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思考：（1）函数，y＝2x2的图象与函数y＝x2的图象（图中的虚线图形）相比，有什么相同点和不同点？ 思考：（2）利用信息技术工具画二次函数的图象，改变的值，函数的图象也发生了改变.随着的变化，二次函数的图象有什么变化 归纳：一般地，当时，抛物线的开口，对称轴是，顶点是__________，顶点是抛物线的__________，越大，抛物线的开口__________. 进一步，从二次函数的图象可以看出：当时，随的增大而__________；当时，随的增大而__________. 探究：回顾上面研究二次函数的图象和性质的过程，你能用类似的方法研究二次函数的图象和性质吗 分析：类似于对函数的研究，可以在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，观察这些抛物线有什么共同点和不同点.也可以利用信息技术工具画二次函数的图象，改变的值，观察随着的变化，二次函数的图象的变化. 归纳：一般地，当时，抛物线的开口，对称轴是，顶点是，顶点是抛物线的，越小，抛物线的开口.当时，随的增大而；当时，随的增大而. 总结：一般地，抛物线的对称轴是，顶点是__________.当时，抛物线的开口__________，顶点是抛物线的__________；当时，抛物线的开口__________，顶点是抛物线的__________.越大，抛物线的开口__________. 从二次函数的图象可以看出：如果，那么当时，随的增大而__________，当时，随的增大而__________；如果，那么当时，随的增大而__________，当时，随的增大而__________.
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．下列各点在函数的图象上的是（ ） A． B． C． D． 2．如图，分别对应与的函数图象，则，的大小关系______． 3．在下面给定的平面直角坐标系中，画出二次函数的图象，并回答下列问题： （1）当x取何值时，y有最小值？最小值是多少？ （2）当时，y随x的增大怎样变化？当时呢？ 选做题： 4．在平面直角坐标系中，点，，的图象如下图所示，则的值可以为（ ） A．3 B．2 C． D． 【综合拓展类练习】 5．根据条件，求下列各题中的取值或取值范围． (1)函数有最小值； (2)函数，当时，随着的增大而增大； (3)与的函数图象形状相同； (4)函数的图象是开口向下的抛物线．
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．抛物线的顶点坐标是（ ） A．（1，0） B．（0，1） C．（0，0） D．（1，1） 2．已知抛物线经过第二象限，那么这条抛物线的开口方向是____________． 3．已知函数是关于的二次函数. (1)求满足条件的值； (2)当为何值时，此抛物线有最低点？这时，当取何值时，随的增大而减小； (3)当为何值时，此抛物线有最高点？最高点的坐标是多少？这时，当取何值时，随的增大而增大. 选做题： 4．已知三个二次函数的图象如图所示，那么，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【综合拓展类作业】 5．如图，已知点在抛物线上，过点且平行于轴的直线交抛物线于点． (1)求的值； (2)若点是抛物线上一点，且的横坐标为1，求的面积．
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