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高一下学期公式背记资料
一、平面向量的坐标运算及平面向量数量积的性质
1.设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角.
(1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2.
(2)模：|a|＝＝
(3)夹角：cosθ＝.
(4)向量平行(共线)：a∥b x1y2－x2y1＝0.
(5)向量垂直：a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0.
(6)a在b上的投影为：|a|cosθ，a在b上的投影向量为：|a|cosθ （ 是与b方向相同的单位向量）
2. 距离公式及中点坐标公式
设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是平面中任意两点，则P1P2＝||＝.
P1P2中点坐标是().
二、正弦定理和余弦定理
1.正弦定理: ＝＝＝2R．(R为△ABC外接圆半径)
2.余弦定理：a2＝b2＋c2－2bc·cosA b2＝c2＋a2－2ca·cosB c2＝a2＋b2－2ab·cosC
推论：cos A＝ cos B＝ cos C＝
3.三角形常用面积公式：S＝ab sin C＝ac sin B＝bc sin A＝＝(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)；
在△ABC中，(1) sin (A＋B)＝sin C； (2) cos (A＋B)＝－cos C．
4．判断三角形的形状时，经常用到以下结论
(1)若a2>b2＋c2，则cos A＝<0，角A为钝角，△ABC为钝角三角形；
(2)若a2＝b2＋c2，则cos A＝＝0，角A为直角，△ABC为直角三角形；
(3)若a20，cos B＝>0，cos C＝>0，
角A、角B、角C都是锐角，△ABC为锐角三角形．
(4)若sin 2A＝sin 2B，则A＝B或A＋B＝.
三、复数
1. 复数z＝a＋bi的实部为a，虚部为b，i是虚数单位，i2＝－1
2.若b＝0，则a＋bi为实数； 若b≠0，则a＋bi为虚数； 若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数
3. 复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R).
4. 复数相等的充要条件：若a＋bi＝c＋di a＝c且b＝d，a＋bi＝0 a＝b＝0.
5. 共轭复数：复数z的共轭复数用表示，即如果z＝a＋bi，那么＝a－bi.（实部相等，虚部互为相反数）
6. 复数的模: |z|＝|a＋bi|＝.
7. 复数的四则运算
(1)(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
(2)(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
(3) (c＋di≠0).
四、空间几何体
1. 直观图
空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：
(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴、y′轴所在平面垂直.
(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴.
(3)平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半.
(4)原图形与直观图面积关系：＝．
2. 圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积
图形 表面积公式 体积
旋转体 圆柱 底面积：S底＝2πr2 侧面积：S侧＝2πrl 表面积：S＝2πr(r＋l) V圆柱＝Sh＝πr2h
圆锥 底面积：S底＝πr2 侧面积：S侧＝πrl 表面积：S＝πr(r＋l) V圆锥＝Sh＝πr2h
圆台 上底面面积：S上底＝πr′2 下底面面积：S下底＝πr2 侧面积：S侧＝π(r′l＋rl) 表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl) V圆台＝(S＋＋S′)h ＝π(r2＋rr′＋r′2)h
球 表面积公式S＝4πR2(R为球的半径) V球＝πR3
3.与球有关的内切、外接问题
(1)正方体的棱长为a，则该正方体的内切球直径为a，外接球直径为a．
(2)长方体的长为a，宽为b，高为c，则该长方体外接球直径为．（长方体的体对角线）
高一下学期公式默写资料
一、平面向量数量积的性质及其坐标表示
1. 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角.
(1)数量积：a·b＝ ＝ .
(2)模：|a|＝ ＝ .
(3)夹角：cosθ＝ ＝ .
(4)向量平行(共线)：a∥b .
(5)向量垂直：a⊥b .
(6)a在b上的投影为： ，a在b上的投影向量为： ，
2. 距离公式及中点坐标公式
设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是平面中任意两点，则P1P2＝||＝ .
P1P2中点坐标是 .
二、正弦定理和余弦定理
1．正弦定理: ＝ ＝ ＝ .
2．余弦定理:a2＝ ；b2＝ ；c2＝ .
推论：cos A＝＝ ；cosB＝ ；cosC＝ .
3．三角形面积：S△ABC＝ ＝ ＝ ＝ ＝ .
在△ABC中，(1) sin (A＋B)＝ ； (2) cos (A＋B)＝ ．
4．判断三角形的形状时，经常用到以下结论
(1)若a2>b2＋c2，则cos A 0，角A为 ，△ABC为 ；
(2)若a2＝b2＋c2，则cos A 0，角A为 ，△ABC为 ；
(3)若a2(4)若sin 2A＝sin 2B，则 ．
三、复数
1. 复数z＝a＋bi的实部为 ，虚部为 ，i是 ，i2＝ .
2. 若 ，则a＋bi为实数；若 ，则a＋bi为虚数；若 ，则a＋bi为纯虚数.
2. 复数z＝a＋bi复平面内的点 (a，b∈R).
4. 复数相等的充要条件：若a＋bi＝c＋di ，a＋bi＝0 .
5. 共轭复数：复数z的共轭复数用 表示，即如果z＝a＋bi，那么＝ .（实部 ，虚部 ）
6. 复数的模: |z|＝|a＋bi|＝ .
7. 复数的四则运算
(1)(a＋bi)＋(c＋di)＝ ；(a＋bi)－(c＋di)＝ ；
(2)(a＋bi)·(c＋di)＝ ；
(3) ＝ (c＋di≠0).
四、空间几何体
1. 直观图
空间几何体的直观图常用 来画，其规则是：
(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为 ，z′轴与x′轴、y′轴所在平面 .
(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中 .
(3)平行于x轴和z轴的线段在直观图中 ，平行于y轴的线段长度在直观图中 .
(4)原图形与直观图面积关系： ．
2. 圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积
图形 表面积公式 体积
旋转体 圆柱 侧面积： 表面积： V圆柱＝ ＝
圆锥 侧面积： 表面积： V圆锥＝ ＝
圆台 侧面积： 表面积： V圆台＝ ＝
球 表面积： V球＝
3.与球有关的内切、外接问题
(1)正方体的棱长为a，则该正方体的内切球直径为 ，外接球直径为 ．
(2)长方体的长为a，宽为b，高为c，则该长方体外接球直径为 ．（长方体的体对角线）
4. 距离公式及中点坐标公式
(1)设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是平面中任意两点，则P1P2＝||＝ .
P1P2中点坐标是 .
(2)设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，则P1P2＝||＝ .
P1P2中点坐标是 .高一下学期公式背记资料
一、平面向量的坐标运算及平面向量数量积的性质
1.设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角.
(1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2.
(2)模：|a|＝＝
(3)夹角：cosθ＝.
(4)向量平行(共线)：a∥b x1y2－x2y1＝0.
(5)向量垂直：a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0.
(6)a在b上的投影为：|a|cosθ，a在b上的投影向量为：|a|cosθ （ 是与b方向相同的单位向量）
2. 距离公式及中点坐标公式
设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是平面中任意两点，则P1P2＝||＝.
P1P2中点坐标是().
二、正弦定理和余弦定理
1.正弦定理: ＝＝＝2R．(R为△ABC外接圆半径)
2.余弦定理：a2＝b2＋c2－2bc·cosA b2＝c2＋a2－2ca·cosB c2＝a2＋b2－2ab·cosC
推论：cos A＝ cos B＝ cos C＝
3.三角形常用面积公式：S＝ab sin C＝ac sin B＝bc sin A＝＝(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)；
在△ABC中，(1) sin (A＋B)＝sin C； (2) cos (A＋B)＝－cos C．
4．判断三角形的形状时，经常用到以下结论
(1)若a2>b2＋c2，则cos A＝<0，角A为钝角，△ABC为钝角三角形；
(2)若a2＝b2＋c2，则cos A＝＝0，角A为直角，△ABC为直角三角形；
(3)若a20，cos B＝>0，cos C＝>0，
角A、角B、角C都是锐角，△ABC为锐角三角形．
(4)若sin 2A＝sin 2B，则A＝B或A＋B＝.
三、复数
1. 复数z＝a＋bi的实部为a，虚部为b，i是虚数单位，i2＝－1
2.若b＝0，则a＋bi为实数； 若b≠0，则a＋bi为虚数； 若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数
3. 复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R).
4. 复数相等的充要条件：若a＋bi＝c＋di a＝c且b＝d，a＋bi＝0 a＝b＝0.
5. 共轭复数：复数z的共轭复数用表示，即如果z＝a＋bi，那么＝a－bi.（实部相等，虚部互为相反数）
6. 复数的模: |z|＝|a＋bi|＝.
7. 复数的四则运算
(1)(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
(2)(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
(3) (c＋di≠0).
四、空间几何体
1. 直观图
空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：
(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴、y′轴所在平面垂直.
(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴.
(3)平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半.
(4)原图形与直观图面积关系：＝．
2. 棱台的体积公式：，其中、S分别为棱台的上、下底面积，为棱台的高。
棱台的高是指两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作垂线，这点与垂足之间的距离。
3. 圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积
图形 表面积公式 体积
旋转体 圆柱 底面积：S底＝2πr2 侧面积：S侧＝2πrl 表面积：S＝2πr(r＋l) V圆柱＝Sh＝πr2h
圆锥 底面积：S底＝πr2 侧面积：S侧＝πrl 表面积：S＝πr(r＋l) V圆锥＝Sh＝πr2h
圆台 上底面面积：S上底＝πr′2 下底面面积：S下底＝πr2 侧面积：S侧＝π(r′l＋rl) 表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl) V圆台＝(S＋＋S′)h ＝π(r2＋rr′＋r′2)h
球 表面积公式S＝4πR2(R为球的半径) V球＝πR3
4.与球有关的内切、外接问题
(1)正方体的棱长为a，则该正方体的内切球直径为a，棱切球直径为a，外接球直径为a．
(2)长方体的长为a，宽为b，高为c，则该长方体外接球直径为．（长方体的体对角线）
五、空间直线、平面的平行
1. 基本事实4:平行于同一直线的两条直线平行（平行线的传递性）。
2. 直线与平面平行的判定定理和性质定理
文字语言 图形表示 符号表示
判定定理 平面外一条直线平行平面内一条直线，则该直线平行于此平面 a α，b α，a∥b a∥α
性质定理 一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行 a∥α，a β，α∩β＝b a∥b
3. 平面与平面平行判定定理与性质定理
文字语言 图形表示 符号表示
判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 α∥β
性质定理 两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面 α∥β，a α a∥β
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b a∥b
4. 直线与平面垂直
(1)定义：如果一条直线l垂直平面α内的所有直线，则直线l与平面α互相垂直.
(2)判定定理与性质定理
文字语言 图形表示 符号表示
判定定理 一条直线垂直一个平面内的两条相交直线，则该直线与此平面垂直 l⊥a，l⊥b，a α，b α，a∩b＝P l⊥α
性质定理 两直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行 a∥b
5.平面与平面垂直判定定理与性质定理
文字语言 图形表示 符号表示
判定定理 一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直 α⊥β
性质定理 如果两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面 l⊥α
六、统计与概率
1．数据的极差、平均数、方差、标准差、四分位数
(1)平均数：
(2)极差：极差＝最大值－最小值
(3)方差：如果x1，x2，…，xn的平均数为，则方差s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]＝
(4)标准差：（标准差是方差的算术平方根）
(5)四分位数：把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数。
2．分层抽样的平均数与方差
(1)平均数：已知总体分为n层，第一层平均数是x1，第二层平均数是x2，…,第n层平均数是xn；第一层占总体的比例是p1，第二层占总体的比例是p2，…,第n层占总体的比例是pn；总体平均数是
(2)方差：以分两层为例：已知总体分为两层，各层的样本量，平均数，方差分别为m，，；n，，，
记总的样本平均数和样本方差为，，则
3．概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1；必然事件的概率是1；不可能事件的概率是0.
(2)如果事件A与事件B不可能同时发生，则事件A与事件B互斥，则P(A∩B)＝0；P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
(3)若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B是必然事件，P(A∪B)＝1，P(A)＝1－P(B)．
(4)对于任意事件A与事件B都有：P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．
4．事件的相互独立性
(1)定义法：如果事件A与否不影响事件B发生的概率，则事件A与B事件相互独立
(2)公式法：如果P(AB)＝P(A)P(B)时，则事件A与B事件相互独立
5．古典概型
(1)特点：①有限性：在一次试验中所有可能出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事件．
②等可能性：每个基本事件出现的可能性是均等的．
(2)计算公式：＝
高一下学期公式默写资料
一、平面向量数量积的性质及其坐标表示
1. 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角.
(1)数量积：a·b＝ ＝ .
(2)模：|a|＝ ＝ .
(3)夹角：cosθ＝ ＝ .
(4)向量平行(共线)：a∥b .
(5)向量垂直：a⊥b .
(6)a在b上的投影为： ，a在b上的投影向量为： ，
2. 距离公式及中点坐标公式
设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是平面中任意两点，则P1P2＝||＝ .P1P2中点坐标是 .
二、正弦定理和余弦定理
1．正弦定理: ＝ ＝ ＝ .
2．余弦定理:a2＝ ；b2＝ ；c2＝ .
推论：cos A＝＝ ；cosB＝ ；cosC＝ .
3．三角形面积：S△ABC＝ ＝ ＝ ＝ ＝ .
在△ABC中，(1) sin (A＋B)＝ ； (2) cos (A＋B)＝ ．
4．判断三角形的形状时，经常用到以下结论
(1)若a2>b2＋c2，则cos A 0，角A为 ，△ABC为 ；
(2)若a2＝b2＋c2，则cos A 0，角A为 ，△ABC为 ；
(3)若a2(4)若sin 2A＝sin 2B，则 ．
三、复数
1. 复数z＝a＋bi的实部为 ，虚部为 ，i是 ，i2＝ .
2. 若 ，则a＋bi为实数；若 ，则a＋bi为虚数；若 ，则a＋bi为纯虚数.
2. 复数z＝a＋bi复平面内的点 (a，b∈R).
4. 复数相等的充要条件：若a＋bi＝c＋di ，a＋bi＝0 .
5. 共轭复数：复数z的共轭复数用 表示，即如果z＝a＋bi，那么＝ .（实部 ，虚部 ）
6. 复数的模: |z|＝|a＋bi|＝ .
7. 复数的加法运算： (1)(a＋bi)＋(c＋di)＝ ；(a＋bi)－(c＋di)＝ ；
四、空间几何体
1. 直观图
空间几何体的直观图常用 来画，其规则是：
(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为 ，z′轴与x′轴、y′轴所在平面 .
(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中 .
(3)平行于x轴和z轴的线段在直观图中 ，平行于y轴的线段长度在直观图中 .
(4)原图形与直观图面积关系： ．
2. 棱台的体积公式：，其中、S分别为棱台的上、下底面积，为棱台的高。
3. 圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积
图形 表面积公式 体积
旋转体 圆柱 侧面积： 表面积： V圆柱＝ ＝
圆锥 侧面积： 表面积： V圆锥＝ ＝
圆台 侧面积： 表面积： V圆台＝ ＝
球 表面积： V球＝
4.与球有关的内切、外接问题
(1)正方体的棱长为a，则该正方体的内切球直径为 ，棱切球直径为 ，外接球直径为 ．
(2)长方体的长为a，宽为b，高为c，则该长方体外接球直径为 ．（长方体的体对角线）
五、空间直线、平面的平行
1. 直线与平面平行的判定定理和性质定理
文字语言 图形表示 符号表示
判定定理
性质定理
2. 平面与平面平行判定定理与性质定理
文字语言 图形表示 符号表示
判定定理
性质定理
3. 直线与平面垂直
(1)定义：
(2)判定定理与性质定理
文字语言 图形表示 符号表示
判定定理 l⊥a，l⊥b，a α，b α，a∩b＝P l⊥α
性质定理 a∥b
4.平面与平面垂直判定定理与性质定理
文字语言 图形表示 符号表示
判定定理 α⊥β
性质定理 l⊥α
六、统计与概率
1．数据的极差、平均数、方差、标准差、百分位数
(1)平均数： (2)极差：极差＝
(3)方差：如果x1，x2，…，xn的平均数为，则方差s2＝
2．分层抽样的平均数与方差
(1)平均数：已知总体分为n层，第一层平均数是x1，第二层平均数是x2，…,第n层平均数是xn；第一层占总体的比
例是p1，第二层占总体的比例是p2，…,第n层占总体的比例是pn；总体平均数是
(1)方差：以分两层为例：已知总体分为两层，各层的样本量，平均数，方差分别为m，，；n，，，
记总的样本平均数和样本方差为，，则s2＝
3．概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围： ；必然事件的概率为 ；不可能事件的概率为 .
(2)如果事件A与事件B ，则事件A与事件B互斥，则P(A∩B)＝ ；P(A∪B)＝ ．
(3)若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为 ，P(A∪B)＝ ，P(A)＝ ．
(4)对于任意事件A与事件B都有：P(A∪B)＝
4．事件的相互独立性
(1)定义法： ，则事件A与B事件相互独立
(2)公式法：如果 ，则事件A与B事件相互独立
5．古典概型
(1)特点：①有限性：在一次试验中所有可能出现的结果只有有限个，即 ．
②等可能性：每个基本事件出现的可能性是 的．
(2)计算公式：＝

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