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第二十五章　一元二次方程（第1课时）　一元二次方程
【学习目标】
① 理解一元二次方程的概念，能判别一个方程是否为一元二次方程；
② 会将一元二次方程化为一般形式 a＋bx＋c＝0 （a≠0），并指出二次项系数、一次项系数和常数项；
③ 理解一元二次方程的解（根）的概念，能检验一个未知数的值是否是方程的根。
【学习重难点】
重点：一元二次方程的概念及一般形式。　难点：理解一般形式中 a≠0 的条件；将实际问题抽象为一元二次方程。
【知识链接】（复习）
1. 我们学过哪些方程？请判断下列方程是什么方程：
（1）x＋5＝3；这是______方程。
（2）2x＋y＝7；这是______方程。
（3）－1＝2；这是______方程。
【自主探究】
探究1　一元二次方程的概念
（1）相邻两个自然数的乘积为72，设较小的数为x，则可列方程为　x（x＋1）＝72　；
（2）长方形的长比宽多3，面积为40，设宽为x，则可列方程为　x（x＋3）＝40　。
归纳：只含有 ________ 个未知数，并且未知数的最高次数是 ________ 的 ________ 方程，叫作一元二次方程。
一元二次方程都可以化成 a＋bx＋c＝0 （a，b，c为常数，a≠0） 的形式。
　
探究2　一元二次方程的一般形式
一般形式：a＋bx＋c＝0 （a≠0），其中 a、bx、c 分别称为二次项系数、一次项系数和常数项，a、b 分别称为二次项系数和一次项系数。
注意：二次项系数不能等于0，但一次项系数和常数项都可以为0，因此一元二次方程有三种特殊形式：a＋c＝0，a＋bx＝0，a＝0（其中 a≠0）。
　
探究3　一元二次方程的解（根）
使方程左右两边相等的未知数的值，叫作一元二次方程的解（根）。
思考：方程 ＋x－12＝0 的根是______？将你的答案代入方程验证。
　
探究4　根据实际问题列一元二次方程
（1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，设正方形边长为x，则方程为　4＝25　，即　4－25＝0　；
（2）一个矩形的长比宽多2，面积是100，设矩形的长为x，则宽为（x-2），可列方程为　x（x－2）＝100　，即　－2x－100＝0　。
　
【合作交流】
例1　下列方程中一定是一元二次方程的是______。（填序号）
① ＝2；② ＋2x＝1；③ －x＝x（x＋4）；④ ＋2y＝1；⑤ a＋bx＋c＝0。
　
例2　将方程 3x（x－1）＝5（x＋2） 化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项。
　
　
例3　方程 ＋x－12＝0 的根是（　　）
A. 3，4　B. -3，-4　C. -3，4　D. 3，-4
　
例4　根据下列问题，列出关于x的方程，并化成一元二次方程的一般形式：
（1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x；
　
（2）一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长x。
　
　
【当堂检测】
1. 若方程 （m－4）＋3x－1＝0 是一元二次方程，则（　　）
A. m=4，n=2　B. m≠4，n≠2　C. m=4，n≠2　D. m≠4，n=2
2. 把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出各项系数：
方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项
3＝5x－1
（x＋2）（x－1）＝6
4－7＝0
3－5x＋1＝0
3. 已知关于x的方程 （a－3）＋x－1＝0 是一元二次方程，则a的值是（　　）
A. 3　B. -3　C. 3或-3　D. 2
4. 已知关于x的一元二次方程 （a－1）－2x＋－1＝0 有一个根为x=0，则a＝______。
5. 如果2是方程 －c＝0 的一个根，则常数c＝______，这个方程的其他根为______。
6. 若m是方程 ＋3x－5＝0 的一个根，则 2026－2－6m 的值为______。
【学习小结】
① 一元二次方程要满足三个条件：（1）一元（一个未知数）；（2）二次（最高次数为2）；（3）整式方程。
② 一元二次方程的一般形式要满足两个条件：（1）等号左边为降幂排列；（2）等号右边为0（即 a＋bx＋c＝0， a≠0）。
③ 使方程两边相等的未知数的值叫方程的根；已知一根时，可将根代入原方程求待定系数（整体代入思想）。
【拓展延伸】（选做）
从例4第（2）问出发思考：若矩形面积为定值S、长宽差为d，所列方程一般形式是否总为 －dx－S＝0？试举一个实际例子验证你的结论。
参考答案与解析
【知识链接】
（1）一元一次方程；（2）二元一次方程；（3）分式方程。
【自主探究】
探究1 归纳：只含有 1 个未知数，最高次数是 2 的 整式 方程。
探究3 思考：x=3 或 x=-4（代入：3 +3-12=0；(-4) -4-12=0，均成立）。
【合作交流】
例1 答案：①。理由：①含一个未知数且最高次为2的整式方程；②分母含未知数；③化简后为一元一次方程；④含两个未知数；⑤未限定 a≠0。
例2 解：
去括号，得 3－3x＝5x＋10；
移项，合并同类项，得 3－8x－10＝0。
二次项系数为 3，一次项系数为 -8，常数项为 -10。
例3 答案：D。检验：x=3 时 9+3-12=0；x=-4 时 16-4-12=0，均成立。
例4 解：
（1）根据题意，得 4＝25，即 4－25＝0。
（2）宽为 x－2，可列方程 x（x－2）＝100，即 －2x－100＝0。
【当堂检测】
1. D　2.
方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项
3＝5x－1 3－5x＋1＝0 3 -5 1
（x＋2）（x－1）＝6 ＋x－8＝0 1 1 -8
4－7＝0 7－4＝0 7 0 -4
3－5x＋1＝0 3－5x＋1＝0 3 -5 1
　3. B　4. -1　5. c=4，其他根为 x=-2　6. 2016

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