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浙教版（2024）八年级上册 1.6 线段垂直平分线的性质 题型专练
【题型1】用尺规作线段的垂直平分线
【典例】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB>AC.按下列步骤作图：①分别以点B和点C为圆心，大于BC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N；②作直线MN，与边AB相交于点D，连结CD.下列说法不一定正确的是(　　)
A.∠BDN＝∠CDN B.∠ADC＝2∠B C.∠ACD＝∠DCB D.2∠B＋∠ACD＝90°
【举一反三1】如图，已知线段AB＝6，利用尺规作AB的垂直平分线，步骤如下：
①分别以点A，B为圆心，以b的长为半径作弧，两弧相交于点C和D．
②作直线CD．直线CD就是线段AB的垂直平分线．
则b的长可能是（　　）
A.1 B.2 C.3 D.4
【举一反三2】如图，在△ABC中，∠B＝35°，∠C＝50°，分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，过两弧的交点作直线，交BC于点P，连结AP，则∠BAP的度数是(　　)
A.35° B.40° C.45° D.50°
【举一反三3】阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
尺规作图：作一条线段的垂直平分线．
已知：线段AB．
求作：线段AB的垂直平分线．
小红的作法如下：
如图，①分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点C；
②再分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径（不同于①中的半径）作弧，两弧相交于点D，使点D与点C在直线AB的同侧；
③作直线CD．
所以直线CD就是所求作的垂直平分线．
老师说：“小红的作法正确．”
请回答：小红的作图依据是　 　．
【举一反三4】如图，在△ABC中，作边AB的垂直平分线DE，与AB，BC分别相交于点D，E(用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法).
【举一反三5】如图，已知△ABC．
（1）按下列步骤用直尺和圆规作图
①作线段BC的垂直平分线，与线段AC交于点E；②作射线BE；③作∠DCB＝∠ABC，与射线BE交于点D．
（2）求证：△DCB≌△ABC．
【题型2】线段垂直平分线的应用
【典例】如图，△ABC三边的垂直平分线交于点P.
(1)由l1垂直平分AB，得PA＝　　　　；
(2)由l2垂直平分BC，得PB＝　　　　；
(3)由l3垂直平分AC，得PC＝　　　　；
(4)结合图形和(1)(2)(3)的答案，可得结论：
三角形三边的垂直平分线交于一点，且这个点到三角形的三个顶点的距离　　　　.
【举一反三1】在△ABC中，用直尺和圆规在边BC上确定了一点D，并连结AD.若∠C＝37°，根据作图痕迹，可求出∠ADB的度数是　　　　°.
【举一反三2】如图，A，B，C是新建的三个居民小区．现要修建一所学校，使A，B，C三个居民小区到学校的距离相等，试确定学校的位置．
【举一反三3】如图，直线m表示一条公路，A、B表示两所大学．要在公路旁修建一个车站P使到两所大学的距离相等，请在图上找出这点P．
【题型3】利用线段垂直平分线的性质证线段相等或求边长
【典例】如图，在△ABC中，AC＝10，AB的垂直平分线交AB于点M，交AC于点D，△BDC的周长为18，则BC的长为（　　）
A.4 B.6 C.8 D.10
【举一反三1】如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA＝5，则线段PB的长度为(　　)
A.6 B.5 C.4 D.3
【举一反三2】如图，在△ABC中，AB＝7，AC的垂直平分线交AB于点E，交AC于点D，△BCE的周长等于12，则BC的长度为 　 　．
【举一反三3】如图，在△ABC（AB＜AC）中，BC边上的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E，AC＝15cm，△ABE的周长为24cm，则AB的长为 　 　．
【举一反三4】如图，在△ABC中，DE是AC的中垂线，分别交AC、AB于点D、E，若△BCE的周长为8，BC＝3，求AB的长．
【题型4】利用线段垂直平分线的性质求周长
【典例】如图，在△ABC中，DE垂直平分BC分别交AC，BC边于点D，E．若AB＝3，AC＝5，则△ABD的周长为（　　）
A.6 B.7 C.8 D.10
【举一反三1】如图，△ABC中，AC边的垂直平分线分别交AC，AB于点D，E，AD＝3cm，△ABC的周长为18cm，则△BEC的周长为（　　）
A.8cm B.10cm C.12cm D.15cm
【举一反三2】如图，△ABC中边AB的垂直平分线分别交BC、AB于点D、E，AE＝3cm，△ADC的周长为9cm，则△ABC的周长是 　 　．
【举一反三3】如图，在△ABC中，点D在AC边的垂直平分线上，AC＝6，△ABC的周长为19，求△ABD的周长．
【举一反三4】△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝5cm，△CBD的周长为24cm，求△ABC的周长．
浙教版（2024）八年级上册 1.6 线段垂直平分线的性质 题型专练（参考答案）
【题型1】用尺规作线段的垂直平分线
【典例】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB>AC.按下列步骤作图：①分别以点B和点C为圆心，大于BC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N；②作直线MN，与边AB相交于点D，连结CD.下列说法不一定正确的是(　　)
A.∠BDN＝∠CDN B.∠ADC＝2∠B C.∠ACD＝∠DCB D.2∠B＋∠ACD＝90°
【答案】C
【解析】
由作图可知，MN垂直平分线段BC，
设MN与BC的交点为O(图略)，
所以DB＝DC，MN⊥BC，BO＝CO，
在△BOD和△COD中，
所以△BOD△COD(SSS)，
所以∠BDN＝∠CDN，∠DBC＝∠DCB，
所以∠ADC＝∠B＋∠DCB＝2∠B，
因为∠A＝90°，
所以∠ADC＋∠ACD＝90°，
所以2∠B＋∠ACD＝90°，
故选项A，B，D正确.
【举一反三1】如图，已知线段AB＝6，利用尺规作AB的垂直平分线，步骤如下：
①分别以点A，B为圆心，以b的长为半径作弧，两弧相交于点C和D．
②作直线CD．直线CD就是线段AB的垂直平分线．
则b的长可能是（　　）
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】D
【解析】根据题意得bAB，
即b＞3，
故选：D．
【举一反三2】如图，在△ABC中，∠B＝35°，∠C＝50°，分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，过两弧的交点作直线，交BC于点P，连结AP，则∠BAP的度数是(　　)
A.35° B.40° C.45° D.50°
【答案】C
【解析】
设AC的垂直平分线与AC的交点为D(图略)，
在△ABC中，∠B＝35°，∠C＝50°，
则∠BAC＝180°－∠B－∠C＝95°，
根据线段垂直平分线的性质，得PA＝PC，
AD＝CD，又因为PD＝PD，
所以△APD△CPD(SSS)，
所以∠PAC＝∠C＝50°，
所以∠BAP＝∠BAC－∠PAC＝95°－50°＝45°.
【举一反三3】阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
尺规作图：作一条线段的垂直平分线．
已知：线段AB．
求作：线段AB的垂直平分线．
小红的作法如下：
如图，①分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点C；
②再分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径（不同于①中的半径）作弧，两弧相交于点D，使点D与点C在直线AB的同侧；
③作直线CD．
所以直线CD就是所求作的垂直平分线．
老师说：“小红的作法正确．”
请回答：小红的作图依据是　 　．
【答案】到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线
【解析】如图，∵由作图可知，AC＝BC＝AD＝BD，
∴直线CD就是线段AB的垂直平分线．
故答案为：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线．
【举一反三4】如图，在△ABC中，作边AB的垂直平分线DE，与AB，BC分别相交于点D，E(用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法).
【答案】
解　边AB的垂直平分线DE如图所示.
【举一反三5】如图，已知△ABC．
（1）按下列步骤用直尺和圆规作图
①作线段BC的垂直平分线，与线段AC交于点E；②作射线BE；③作∠DCB＝∠ABC，与射线BE交于点D．
（2）求证：△DCB≌△ABC．
【答案】（1）解　①如图所示，直线MN即为所求；
②如图所示，射线BE即为所求；
③如图所示，∠DCB即为所求；
（2）证明　∵点E在BC的垂直平分线上，
∴EC＝EB，
∴∠EBC＝∠ECB，
在△DCB和△ABC中，
，
∴△DCB≌△ABC（ASA）．
【题型2】线段垂直平分线的应用
【典例】如图，△ABC三边的垂直平分线交于点P.
(1)由l1垂直平分AB，得PA＝　　　　；
(2)由l2垂直平分BC，得PB＝　　　　；
(3)由l3垂直平分AC，得PC＝　　　　；
(4)结合图形和(1)(2)(3)的答案，可得结论：
三角形三边的垂直平分线交于一点，且这个点到三角形的三个顶点的距离　　　　.
【答案】
(1)PB　(2)PC　(3)PA　(4)相等
【举一反三1】在△ABC中，用直尺和圆规在边BC上确定了一点D，并连结AD.若∠C＝37°，根据作图痕迹，可求出∠ADB的度数是　　　　°.
【答案】
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【举一反三2】如图，A，B，C是新建的三个居民小区．现要修建一所学校，使A，B，C三个居民小区到学校的距离相等，试确定学校的位置．
【答案】解　如图所示，点D即为学校的位置．
【举一反三3】如图，直线m表示一条公路，A、B表示两所大学．要在公路旁修建一个车站P使到两所大学的距离相等，请在图上找出这点P．
【答案】解　如图所示，点P是AB线段的垂直平分线与直线m的交点．
【题型3】利用线段垂直平分线的性质证线段相等或求边长
【典例】如图，在△ABC中，AC＝10，AB的垂直平分线交AB于点M，交AC于点D，△BDC的周长为18，则BC的长为（　　）
A.4 B.6 C.8 D.10
【答案】C
【解析】∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∴BD+CD＝AC＝10．
∴BC＝△BDC的周长﹣（BD+CD）＝18﹣10＝8，
故选：C．
【举一反三1】如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA＝5，则线段PB的长度为(　　)
A.6 B.5 C.4 D.3
【答案】B
【举一反三2】如图，在△ABC中，AB＝7，AC的垂直平分线交AB于点E，交AC于点D，△BCE的周长等于12，则BC的长度为 　 　．
【答案】5
【解析】∵DE是AC的垂直平分线，
∴AE＝CE，
∵△BCE的周长等于12，
∴BC+BE+EC＝BC+BE+AE＝BC+AB＝12，
∵AB＝7，
∴BC＝12﹣7＝5，
故答案为：5．
【举一反三3】如图，在△ABC（AB＜AC）中，BC边上的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E，AC＝15cm，△ABE的周长为24cm，则AB的长为 　 　．
【答案】9cm
【解析】∵DE是BC的垂直平分线，
∴BE＝CE，
∴△ABE的周长＝AB+AE+BE＝AB+AE+CE＝AB+AC，
∵AC＝15cm，△ABE的周长为24cm，
∴AB+15＝24，
解得AB＝9，
故答案为：9cm．
【举一反三4】如图，在△ABC中，DE是AC的中垂线，分别交AC、AB于点D、E，若△BCE的周长为8，BC＝3，求AB的长．
【答案】解　∵△BCE的周长为8，
∴CE+BE+BC＝8，
又∵BC＝3，
∴CE+BE＝5，
又∵DE是AC的中垂线，
∴EC＝EA，
∴AB＝AE+BE＝CE+BE＝5．
【题型4】利用线段垂直平分线的性质求周长
【典例】如图，在△ABC中，DE垂直平分BC分别交AC，BC边于点D，E．若AB＝3，AC＝5，则△ABD的周长为（　　）
A.6 B.7 C.8 D.10
【答案】C
【解析】∵DE是BC的垂直平分线，
∴DB＝DC，
∵AB＝3，AC＝5，
∴△ABD的周长＝AB+AD+BD
＝AB+AD+CD
＝AB+AC
＝3+5
＝8，
故选：C．
【举一反三1】如图，△ABC中，AC边的垂直平分线分别交AC，AB于点D，E，AD＝3cm，△ABC的周长为18cm，则△BEC的周长为（　　）
A.8cm B.10cm C.12cm D.15cm
【答案】C
【解析】∵AC边的垂直平分线分别交AC，AB于点D，E，
∴AE＝CE，，
∵AD＝3cm，
∴AC＝6cm，
∵△ABC的周长为18cm，
∴AB+BC＝12cm，
∴△BEC的周长为BE+CE+BC＝AB+BC＝12cm，
故选：C．
【举一反三2】如图，△ABC中边AB的垂直平分线分别交BC、AB于点D、E，AE＝3cm，△ADC的周长为9cm，则△ABC的周长是 　 　．
【答案】15cm
【解析】∵DE是线段AB的垂直平分线，AE＝3cm，
∴DA＝DB，AB＝6cm，
∵△ADC的周长为9cm，
∴AC+CD+AD＝AC+CD+DB＝AC+BC＝9cm，
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝15（cm），
故答案为：15cm．
【举一反三3】如图，在△ABC中，点D在AC边的垂直平分线上，AC＝6，△ABC的周长为19，求△ABD的周长．
【答案】解　∵点D在AC边的垂直平分线上，
∴AD＝DC，
∵AC＝6，△ABC的周长为19，
∴AB+BC＝19﹣6＝13，
∴△ABD的周长＝AB+AD+BD＝AB+BD+DC＝AB+BC＝19﹣6＝13．
【举一反三4】△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝5cm，△CBD的周长为24cm，求△ABC的周长．
【答案】解　∵DE是AC的垂直平分线
∴CD＝AD，AE＝CE，
∵AE＝5cm，
∴AC＝2AE＝10cm，
∵△CBD的周长为24cm，
∴BC+CD+BD＝24，
∴BC+AD+BD＝24，
∴BC+AB＝24，
∴△ABC的周长＝AC+AB+BC＝10+24＝34cm．

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