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25.2.1 第1课时 直接开方法
【学习目标】
① 理解平方根的意义，能用直接开平方法解形如 ＝p （p≥0） 的一元二次方程；
② 掌握把方程化为 ＝p 或 （ax＋b＝p 的形式后用直接开方法求解的思路，体会“降次”的转化思想；
③ 能根据 p 的取值判断方程根的情况，感受分类讨论的思想。
【学习重难点】
重点：用直接开方法解形如 x ＝p（p≥0）的一元二次方程。
难点：将方程化为 x ＝p 或 (ax＋b) ＝p 的形式（移项、系数化为1）；根据 p 的符号判断方程根的情况。
【知识链接】（旧知回顾，直接填空）
1. 求平方：5 ＝________；(－5) ＝________；＝________；＝________。
2. 求平方根：25 的平方根为________；3 的平方根为________。
3. 方程的解：方程 ＝25 的解为________；方程 ＝4 的解为________。
（想一想：求一个正数的平方根，与解形如 x ＝p 的方程，有什么联系？）
【自主探究】
◆ 探究1　从“平方根”到“解方程”
（1）25 的平方根是________，方程 ＝25 的解是________。
（2）一般地，若 ＝p （p≥0），则 x＝________（即对两边直接开平方）。
（3）求方程 ＝p （p≥0） 的解，就是求________的平方根。
◆ 探究2　形如 ＝p 的方程（知识点1）
例1　用直接开方法解方程：
（1）＝9，解：x＝________；
（2）＝3，解：x＝________；
（3）＝，解：x＝________；
（4）＝，解：x＝________。
变式1　用直接开方法解方程：
（1）＝36，解：x＝________；
（2）－20＝0，解：移项，得 x ＝________，开平方，得 x＝________；
（3）＝，解：x＝________；
（4）＋4＝0，解：移项，得 x ＝________，∵________＜0，∴原方程________。
（思考：当 p＞0、p＝0、p＜0 时，方程 ＝p 的根的情况分别是________、________、________。）
◆ 探究3　形如 a＝p 的方程（知识点2）
例2　用直接开方法解方程：
（1）4＝9，解：两边同除以4，得 x ＝________，开平方，得 x＝________；
（2）2－8＝0，解：移项，得 2x ＝________，x ＝________，x＝________；
（3）＝12，解：x ＝________，x＝________。
变式2　用直接开方法解方程：
（1）4＝81，解：x ＝________，x＝________；
（2）5－1＝0，解：移项，得 5x ＝________，x ＝________，x＝________；
（3）（易错）9＋5＝1，解：∵9x ＝________＜0，∴原方程________。
◆ 探究4　形如 （ax＋b＝p 的方程（知识点3）
例3　用直接开方法解方程：
（1）2（x＋1＝200，解：（x＋1＝________，x＋1＝________，x ＝________，x ＝________；
（2）（2x－1－64＝0，解：（2x－1＝________，2x－1＝________，x ＝________，x ＝________；
（3）（x－2＝0，解：开平方，得 x－2＝________，x ＝x ＝________。
变式3　用直接开方法解方程：
（1）（x＋6－9＝0，解：（x＋6＝________，x＋6＝________，x ＝________，x ＝________；
（2）3（x－1－6＝0，解：3（x－1＝________，（x－1＝________，x－1＝________，x ＝________，x ＝________。
【合作交流】（请完整写出解题过程，完成后对照文末参考答案）
例1　解方程 2（x＋1＝200：
解：________________
________________
例2　解方程 （x－4＝（5－2x：
解：________________
________________
【当堂检测】
1.（选择题）若方程 （x－1＝a 有实数解，则 a 的取值范围是（　）
A．a≤0　　B．a≥0　　C．a＞0　　D．a＜0
2.（填空题）已知 1 是一元二次方程 ＋p＝0 的一个根，则该方程的另一个根是________。
3. 解下列方程：
（1）（2x－1－8＝0；
（2）（x－4＝（5－2x。
解：（1）________　（2）________
4.（填空题）若 （＋－3＝16，则 ＋＝________。（提示：把 ＋ 看作一个整体）
5.（应用题）一桶油漆可刷的面积为 1 500 dm ，李林用这桶油漆恰好刷完 10 个同样的正方体形状盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？
　
　
【学习小结】（补全下面的填空）
1. 解一元二次方程的基本思路：通过________（填“降次”或“升次”），把一元二次方程转化为________方程来解。
2. 用直接开方法解方程，要先把它化为 ＝p 或 （ax＋b＝p 的形式，再开平方求解：
（1）当 p＞0 时，方程 ＝p 有两个________的实数根：x ＝________，x ＝________；
（2）当 p＝0 时，方程有两个________的实数根：x ＝x ＝________；
（3）当 p________0 时，因为对任意实数 x，都有 x ≥0，所以方程无实数根。
3. 用直接开方法前常用的变形有________、________（如移项、系数化为1）；解题时要先判断________的符号。
【拓展延伸】
思考：解方程 （x＋2＝（3x－1 时，能否两边直接开平方？开平方后如何转化为一元一次方程求解？试试看。
　
　
【参考答案与解析】
【知识链接】
1. 25，25，，；　2. ±5，±；　3. x＝±5，x＝±2。
【自主探究】
探究1：（1）±5，x＝±5；　（2）x＝±；　（3）p（即 x ＝p 中的 p）。
探究2·例1：（1）x＝±3；（2）x＝±；（3）x＝±；（4）x＝±。
变式1：（1）x＝±6；（2）x ＝20，x＝±2；（3）x＝±；（4）x ＝－4，－4＜0，无实数根。
思考：两个不相等的实数根；两个相等的实数根；无实数根。
探究3·例2：（1）x ＝，x＝±；（2）2x ＝8，x ＝4，x＝±2；（3）x ＝18，x＝±3。
变式2：（1）x ＝，x＝±；（2）5x ＝1，x ＝，x＝±；（3）9x ＝－4＜0，无实数根。
探究4·例3：（1）（x＋1＝100，x＋1＝±10，x ＝9，x ＝－11；（2）（2x－1＝64，2x－1＝±8，x ＝，x ＝－；（3）x－2＝0，x ＝x ＝2。
变式3：（1）（x＋6＝9，x＋6＝±3，x ＝－3，x ＝－9；（2）3（x－1＝6，（x－1＝2，x－1＝±，x ＝1＋，x ＝1－。
【合作交流】
例1　2（x＋1＝200，（x＋1＝100，x＋1＝±10，∴x ＝9，x ＝－11。
例2　（x－4＝（5－2x，两边开平方，得 x－4＝±(5－2x)，即 x－4＝5－2x 或 x－4＝－5＋2x，解得 x ＝3，x ＝1。
【当堂检测】
1. B（因为对任意实数 x，都有 （x－1≥0，要使方程有实数解，须 a≥0。）
2. 另一个根是 －1（把 x＝1 代入，得 1＋p＝0，p＝－1，方程为 x －1＝0，解得 x＝±1。）
3.（1）（2x－1＝16，2x－1＝±4，x ＝，x ＝－；
　（2）x－4＝±(5－2x)，即 x－4＝5－2x 或 x－4＝－5＋2x，x ＝3，x ＝1。
4. 7（设 ＋＝t，则 （t－3＝16，t－3＝±4，t＝7 或 t＝－1。∵＋≥0，故舍去 －1，t＝7。）
5. 设其中一个盒子的棱长是 x dm。根据题意，得 10×6x ＝1 500，即 60x ＝1 500，x ＝25，解得 x＝±5。∵x＞0，∴x＝5。答：盒子的棱长是 5 dm。
【学习小结】
1. 降次，一元一次；　2.（1）不相等，x ＝－，x ＝；（2）相等，0；（3）＜；　3. 移项、系数化为1，p。
【拓展延伸】
能。两边直接开平方，得 x＋2＝±(3x－1)，即 x＋2＝3x－1 或 x＋2＝－3x＋1，解得 x ＝，x ＝－。当方程两边都是完全平方式时，可直接开平方，转化为两个一元一次方程。

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