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第二十五章　一元二次方程　25.2 解一元二次方程（第2课时）——配方法
【学习目标】
① 知道配方法的概念，掌握用配方法解数字系数一元二次方程的基本步骤（移项、配方、开平方）；
② 能根据方程特点将方程化为 （x＋p＝q 的形式再开平方求解，体会“转化”与“降次”的思想；
③ 理解配方时“加上一次项系数一半的平方”的算理，提高运算的准确性。
【学习重难点】
重点：用配方法解一元二次方程（移项、配方、开平方）。
难点：确定配方时加上的常数项（一次项系数一半的平方）；当二次项系数不为1时先化为1。
【知识链接】（旧知回顾，直接填空）
1. 完全平方式填空（加上“一次项系数一半的平方”）：
（1）＋10x＋________＝(x＋________) ；
（2）－12x＋________＝(x－________) ；
（3）＋5x＋________＝(x＋________) ；
（4）－x＋________＝(x－________) 。
2. 用直接开方法解方程 （x－1＝4，则 x－1＝±2，解得 x ＝________，x ＝________。
【自主探究】
◆ 探究1　配方的基础——完全平方公式
（1）＋2px＋＝(x＋________) ；－2px＋＝(x－________) 。
（2）上述公式中，所加常数项就是“一次项系数的____的平方”。请完成知识链接第1题(1)～(4)的填空，并在本行写下依据：________________。
◆ 探究2　形如 ＋bx＋c＝0（a＝1，b 为偶数）——知识点1
例1　用配方法解一元二次方程：
（1）＋10x＋9＝0，解：移项得 ＋10x＝________；配方：两边加() ＝________，得 ＋10x＋25＝________，即(x＋5) ＝________；开平方得 x＋5＝±________，∴x ＝________，x ＝________。
（2）－8x＋1＝0，解：移项得 －8x＝________；配方：两边加(________) ＝________，得(x－4) ＝________；开平方得 x－4＝±________，∴x ＝________，x ＝________。
变式1　用配方法解一元二次方程：
（1）－4x＋3＝0，配方得(x－________) ＝________，开平方得 x－2＝±________，∴x ＝________，x ＝________；
（2）＋6x＋4＝0，配方得(x＋________) ＝________，∴x ＝________，x ＝________。
◆ 探究3　形如 ＋bx＋c＝0（a＝1，b 为奇数）——知识点2
例2　解方程 －x－＝0，解：移项得 －x＝________；配方：两边加(________) ＝________，得(x－) ＝________；开平方得 x－＝±________，∴x ＝________，x ＝________。
变式2　解方程 －3x＋2＝0，配方：两边加(________) ＝________，得(x－) ＝________；开平方得 x－＝±________，∴x ＝________，x ＝________。
◆ 探究4　形如 a＋bx＋c＝0（a≠1）——知识点3
例3　解方程 2＋1＝3x，解：化为一般式 2－3x＋1＝0；两边同除以2，得 －________x＋________＝0；配方：两边加(________) ＝________，得(x－) ＝________；开平方得 x－＝±________，∴x ＝________，x ＝________。
变式3　解方程 3＋8x－3＝0，解：两边同除以3，得 ＋________x＝________；配方：两边加(________) ＝________，得(x＋) ＝________；开平方得 x＋＝±________，∴x ＝________，x ＝________。
【合作交流】（请完整写出解题过程，完成后对照文末参考答案）
例1　解方程 ＋6x＋4＝0：
解：________________
________________
例2　解方程 2＋1＝3x：
解：________________
________________
【当堂检测】
1.（填空题）将一元二次方程 －2x－＝0 化成 （x－a＝b 的形式，则 ab＝________。
2. 用配方法解下列方程：
（1）x（x＋4）＝8x＋12；　（2）（y＋3）（y－1）－12＝0。
解：（1）________　（2）________
3.（综合题）已知一个三角形的两边长分别是3和4，第三边长是一元二次方程 －8x＋15＝0 的一个根，请用配方法解此方程，并判断此三角形的形状。
　
　
4.（证明题）求证：无论 x 取任何实数，代数式 ＋10x＋30 的值总大于0。（提示：配方成 （x＋a＋k 的形式）
　
　
【学习小结】（补全填空）
1. 解一元二次方程的基本思路：通过________（填“降次”或“升次”），将一元二次方程转化为________方程来解。
2. 配方法的一般步骤：
（1）________：把常数项移到方程的右边；
（2）________：方程两边同时加上“一次项系数的____的一半的平方”；
（3）用________解方程（把左边写成完全平方式，右边开平方）。
3. 当二次项系数不为1时，要先________，把方程化为 a＝1 的情形再配方。
【拓展延伸】
用配方法求代数式 －4x＋7 的最小值，并说明当 x 取何值时取得。试试看！
　
　
【参考答案与解析】
【知识链接】
1.（1）25，5；（2）36，6；（3），；（4），。　2. 3，－1。
【自主探究】
探究1：（1）p，p；（2）一次项系数一半。
探究2·例1：（1）移项得 x ＋10x＝－9；加() ＝25，得(x＋5) ＝16；x＋5＝±4，x ＝－1，x ＝－9；
（2）移项得 x －8x＝－1；加() ＝16，得(x－4) ＝15；x－4＝±，x ＝4＋，x ＝4－。
变式1：（1）(x－2) ＝1，x－2＝±1，x ＝3，x ＝1；（2）(x＋3) ＝5，x＋3＝±，x ＝－3＋，x ＝－3－。
探究3·例2：－x＝；加() ＝，得(x－) ＝2；x－＝±，x ＝＋，x ＝－。
变式2：加() ＝，得(x－) ＝；x－＝±，x ＝2，x ＝1。
探究4·例3：化为2－3x＋1＝0；除以2得 －x＋＝0；加() ＝，得(x－) ＝；x－＝±，x ＝1，x ＝。
变式3：除以3得 ＋x＝1；加() ＝，得(x＋) ＝；x＋＝±，x ＝，x ＝－3。
【合作交流】
例1　＋6x＋4＝0，移项得 x ＋6x＝－4；加() ＝9，得(x＋3) ＝5；x＋3＝±，∴x ＝－3＋，x ＝－3－。
例2　2＋1＝3x，化为 2－3x＋1＝0；除以2得 －x＋＝0；加得(x－) ＝；x－＝±，∴x ＝1，x ＝。
【当堂检测】
1. ab＝（配方：x －2x＝，x －2x＋1＝，(x－1) ＝，故 a＝1，b＝）。
2.（1）x（x＋4）＝8x＋12，展开得 x ＋4x＝8x＋12，移项 x －4x＝12；加4得(x－2) ＝16，x－2＝±4，x ＝6，x ＝－2；
（2）（y＋3）（y－1）－12＝0，展开得 y ＋2y－3－12＝0，即 y ＋2y＝15；加1得(y＋1) ＝16，y＋1＝±4，y ＝3，y ＝－5。
3. 解：－8x＋15＝0，移项得 x －8x＝－15；加16得(x－4) ＝1，x－4＝±1，∴x ＝5，x ＝3。
　当 x ＝5 时，三边长为3、4、5，满足 3 ＋4 ＝5 ，是直角三角形；当 x ＝3 时，三边长为3、4、3，是等腰三角形。综上，三角形的形状是直角三角形或等腰三角形。
4. 证明：＋10x＋30＝x ＋10x＋25＋5＝(x＋5) ＋5。∵(x＋5) ≥0，∴(x＋5) ＋5≥5＞0。故无论 x 取何实数，该代数式的值总大于0。
【学习小结】
1. 降次，一元一次；
2.（1）移项；（2）配方，一次项系数；（3）直接开平方法；
3. 方程两边同除以二次项系数，化为 a＝1。
【拓展延伸】
－4x＋7＝x －4x＋4＋3＝(x－2) ＋3。∵(x－2) ≥0，∴(x－2) ＋3≥3，当 x＝2 时取等号。∴该代数式的最小值为 3，当 x＝2 时取得。

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