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第二十五章　一元二次方程　25.2 解一元二次方程（第4课时）——因式分解法
【学习目标】
① 理解并掌握用因式分解法解一元二次方程的原理：若两个因式乘积为 0，则 ab＝0 a＝0 或 b＝0；
② 会根据方程特点，选用提公因式、平方差公式等方法将左边因式分解，把一元二次方程转化为两个一元一次方程求解；
③ 体会“降次”与“转化”的数学思想，能灵活选择适当方法解一元二次方程。
【学习重难点】
重点：用因式分解法解一元二次方程（右边化为 0、左边因式分解、化归为一次方程）。
难点：根据方程特征选择恰当的因式分解方法；移项变形与符号处理（如提取公因式时的变号）。
【知识链接】（旧知回顾）
1. 若 ab＝0，则 a＝________ 或 b＝________。
2. 方程 （x－1）（x－2）＝0 的两个根分别是 ＝________，＝________。
3. 用提公因式法分解因式：
　　(1) －5x ＝ x·________－5·________ ＝________；
　　(2) x（x＋1）－2（x＋1） ＝ (x＋1)·(________－________) ＝________。
【自主探究】
探究1　解形如 a＋bx＝0 的方程（先移项，再提公因式）
【例1】解下列方程：
(1) －5x＝0：
　　解：提公因式，得 ________＝0，
　　∴ x＝0，或 ________＝0，
　　∴ ＝________，＝________。
(2) 5＝4x：
　　解：移项，得 ________＝0，
　　提公因式，得 ________＝0，
　　∴ x＝0，或 ________＝0，
　　∴ ＝________，＝________。
【变式1】解下列方程：
(1) －2x＝0：
　　解：提公因式，得 ________＝0，
　　∴ ＝________，＝________。
(2) ＝6x：
　　解：移项，得 ________＝0，
　　提公因式，得 ________＝0，
　　∴ ＝________，＝________。
探究2　解含有公因式 （x＋m） 的方程（整体提取公因式）
【例2】解下列方程：
(1) x（x＋1）－2（x＋1）＝0：
　　解：把 (x＋1) 看作公因式，提公因式得 ________＝0，
　　∴ x－2＝0，或 ________＝0，
　　∴ ＝________，＝________。
(2) （2x－3＝2x－3：
　　解：移项，得 （2x－3－________＝0，
　　提公因式 (2x－3)，得 ________＝0，
　　∴ 2x－3＝0，或 ________＝0，
　　∴ ＝________，＝________。
【变式2】解下列方程：
(1) x（x－3）－2（3－x）＝0：
　　提示：3－x＝－(x－3)，原式＝x(x－3)＋________(x－3)＝0，
　　解得 ＝________，＝________。
(2) 3y(y－1)＝2y－2：
　　解：化为 3y(y－1)＝2(y－1)，移项，得 ________＝0，
　　提公因式，得 ________＝0，
　　∴ ＝________，＝________。
探究3　利用平方差公式 －＝（a＋b）（a－b） 解方程
【例3】解下列方程：
(1) 4－121＝0：
　　解：因为 4＝(2x) ，121＝11 ，用平方差分解，得 ________＝0，
　　∴ 2x＋11＝0，或 ________＝0，
　　∴ ＝________，＝________。
(2) （2x－1＝（3－x：
　　解：移项，得 （2x－1－________＝0，
　　用平方差公式，得 [(2x－1)＋(3－x)][(2x－1)－(3－x)]＝0，
　　化简得 ________＝0，
　　∴ ＝________，＝________。
【变式3】解下列方程：
(1) －100＝0：
　　解：用平方差公式，得 ________＝0，
　　∴ ＝________，＝________。
(2) （x－2＝（2x＋3：
　　解：移项得 （x－2－________＝0，
　　用平方差，得 ________＝0，化简为 (3x＋1)(－x－5)＝0，
　　∴ ＝________，＝________。
【合作交流】（典型例题，先独立完成后师生共研）
例A：解方程 （2x－3＝2x－3。
　　第一步：移项，得 ________＝0；
　　第二步：提公因式，得 ________＝0，∴ ＝________，＝________。
　
例B：解方程 （x－2＝（2x＋3。
　　第一步：移项，得 ________＝0；
　　第二步：平方差分解，得 ________＝0，∴ ＝________，＝________。
　
【当堂检测】
1. 方程 ＝2x 的根是（　　）
　　A. x＝2　　　B. x＝－2　　　C. ＝0，＝2　　　D. ＝0，＝－2
2. 已知三角形的两边长分别是 3 和 7，第三边长是方程 x（x－5）－10（x－5）＝0 的一个根，则该三角形的第三边长是________。
3. 解下列方程：
　　(1) 2y(2y－1)＝3－6y；　　　(2) （3y－1＝4－12y。
4. （易错）若实数 x，y 满足 （＋＋2）（＋－1）＝0，则 ＋ 的值是________。
5. 若实数 k，b 是方程 （x－2＝6－3x 的两个根，且 k＞b，则一次函数 y＝kx＋b 的图象不经过第________象限。
　　A. 一　　B. 二　　C. 三　　D. 四
【学习小结】
1. 因式分解法的理论依据：若两个因式的乘积为 0，则______________________________。
2. 用因式分解法解一元二次方程的步骤：
　　(1) 把方程右边整理为____；
　　(2) 把方程左边______________；
　　(3) 令每个因式等于____，分别解两个一元一次方程。
3. 常用的因式分解方法有________、________（如平方差公式）等。
【拓展延伸】
思考：解一元二次方程有哪几种基本方法？对方程 －4x＝0，分别用配方法和因式分解法求解，比较哪种方法更简便，并说说因式分解法的适用条件。
【参考答案与解析】
（以下为重点模块参考答案，供教师备课与学生自纠使用；前面各模块作答区不含答案）
一、知识链接
1. 0；0
2. ＝1，＝2
3. (1) x，x，x（x－5）；(2) x，2，（x－2）（x＋1）
二、自主探究
探究1 例1　(1) x（x－5）＝0；x－5＝0；＝0，＝5
　　　　　 (2) 5－4x＝0；x（5x－4）＝0；5x－4＝0；＝0，＝
　　 变式1　(1) x（x－2）＝0；＝0，＝2
　　　　　 (2) －6x＝0；x（x－6）＝0；＝0，＝6
探究2 例2　(1) （x－2）（x＋1）＝0；x＋1＝0；＝2，＝－1
　　　　　 (2) 2x－3；（2x－3）（2x－4）＝0；2x－4＝0；＝，＝2
　　 变式2　(1) 2；（x－3）（x＋2）＝0；＝3，＝－2
　　　　　 (2) 3y（y－1）－2（y－1）＝0；（y－1）（3y－2）＝0；＝1，＝
探究3 例3　(1) （2x＋11）（2x－11）＝0；2x－11＝0；＝－，＝
　　　　　 (2) （3－x；（x＋2）（3x－4）＝0；＝－2，＝
　　 变式3　(1) （x＋10）（x－10）＝0；＝－10，＝10
　　　　　 (2) （2x＋3；[ (x-2)+(2x+3) ][ (x-2)-(2x+3) ]=0，即 （3x＋1）（－x－5）＝0；＝－，＝－5
三、合作交流
例A：解：（2x－3－（2x－3）＝0，（2x－3）（2x－4）＝0，
　　2x－3＝0 或 2x－4＝0，∴＝，＝2。
例B：解：（x－2－（2x＋3＝0，[ (x-2)+(2x+3) ][ (x-2)-(2x+3) ]=0，
　　（3x＋1）（－x－5）＝0，∴＝－，＝－5。
四、当堂检测
1. C
2. 5。解析：x（x－5）－10（x－5）＝0 （x－5）（x－10）＝0 x＝5 或 x＝10；三角形两边为 3、7，第三边需满足 7－3＜x＜7＋3，即 4＜x＜10，故第三边＝5。
3. (1) 2y(2y－1)＝3(1－2y) 2y(2y－1)＋3(2y－1)＝0 （2y－1）（2y＋3）＝0 ＝，＝－；
　 (2) （3y－1＋12y－4＝0 （3y－1）（3y－1）＋4（3y－1）＝0 （3y－1）（3y＋3）＝0 ＝，＝－1。
4. 1。解析：＋≥0，故 ＋＋2≥2＞0，只能 ＋－1＝0，∴ ＋＝1。
5. B。解析：（x－2＝6－3x －x－2＝0 （x－2）（x＋1）＝0，x＝2 或 －1；k＞b 得 k＝2，b＝－1，一次函数 y＝2x－1 的图象经过一、三、四象限，不经过第二象限。
五、学习小结
1. 至少其中一个因式为 0（即 a＝0 或 b＝0）。
2. (1) 0；(2) 进行因式分解；(3) 0。
3. 提公因式法；公式法（平方差公式）。
六、拓展延伸（开放题，鼓励自主探究，略）

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