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第二十五章　一元二次方程　25.2 解一元二次方程（第8课时）——一元二次方程的根与系数的关系
【学习目标】
① 掌握一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：若 a＋bx＋c＝0（a≠0） 的两根为 ，，则 ＋＝－，＝（前提 Δ≥0）；
② 能运用根与系数的关系求两根和、两根积，及形如 ＋、＋、（－、（＋a）（＋a） 等代数式的值；
③ 会结合根的判别式，解决含参方程（求参数取值范围、求参数值）问题。
【学习重难点】
重点：根与系数的关系及其直接应用（求两根和/积、求代数式的值）。
难点：含参问题中与判别式 Δ 的综合（先保证有实根，再结合韦达列方程求参数并检验）。
【知识链接】（旧知回顾）
1. 一元二次方程 a＋bx＋c＝0（a≠0） 的两根满足：＋＝________，＝________（前提条件：Δ≥0）。
2. 已知方程 2－4x－1＝0，则 a＝________，b＝________，c＝________；＋＝________，＝________。
3. 完全平方变形：＋＝（a＋b－________；（a－b＝（a＋b－________。
【自主探究】
探究1　利用 ＋＝－，＝ 求两根和与两根积
【例1】求下列方程两个根 ， 的和与积：
(1) 3＋2＝1－4x：
　　解：化为一般式 3＋________+________＝0，
　　∴ ＋＝________，＝________。
(2) 7－5＝x＋8：
　　解：化为一般式 7－________-________＝0，
　　∴ ＋＝________，＝________。
【变式1】
(1) 若方程 ＋3x－1＝0 两根为 ，，则 ＋－＝________。
(2) 若矩形的长和宽分别是方程 3－12x＋10＝0 的两个根，求周长和面积：
　　解：设长为 a、宽为 b，则 a＋b＝________，ab＝________，
　　周长＝2(a＋b)＝________，面积＝ab＝________。
探究2　利用根与系数的关系求代数式的值
【例2】已知方程 2－4x－3＝0 两根为 ，，求：
(1) ＋；
　　解：＋＝________，＝________，
　　＋＝（＋－2＝________ －2×________＝________。
(2) ＋；
　　解：原式＝＝＝________÷________＝________。
【变式2】已知方程 ＋3x－2＝0 两根为 ，，求：
(1) （－；
　　解：＋＝________，＝________，
　　（－＝（＋－4＝________ －4×________＝________。
(2) （＋3）（＋3）；
　　解：原式＝＋3（＋）＋9＝________＋3×________＋9＝________。
探究3　根与系数的关系和根的判别式的综合
【例3】已知关于 x 的一元二次方程 －4x＋m＋1＝0 有两个实数根。
(1) 求 m 的取值范围；
　　解：Δ＝(－4) －4×1×(m＋1)＝________－4m－4≥0，解得 m≤________。
(2) 若该方程两根 ， 满足 ＋＝2，求 m 的值。
　　解：＋＝________，＝________，
　　∵ ＋＝2，∴ ________＝2×________，解得 m＝________（经检验成立）。
【变式3】关于 x 的一元二次方程 ＋（2k＋1）x＋－1＝0 有两个不相等的实数根 ，。
(1) 求 k 的取值范围；
　　解：Δ＝(2k＋1) －4(k －1)＝________＋4k＋1－4k ＋4＝________＞0，解得 k＞________。
(2) 当 ＝3 时，求 k 的值。
　　解：＝－1＝3，解得 k＝±________；又 k＞________，∴ k＝________。
【合作交流】（典型例题，先独立完成后师生共研）
例A：已知关于 x 的方程 ＋2x－1＝0 有两个实数根 ，，判断“＋＝6”是否正确。
　　第一步：＋＝________，＝________；
　　第二步：＋＝（＋－2＝________ －2×________＝________。结论：________。
　
例B：已知 α，β 满足 α＋β＝3，且 αβ＝2，写出一个以 α，β 为两根的一元二次方程。
　　解：方程可写为 －（α＋β）x＋αβ＝0，即 －________x＋________＝0。
　
【当堂检测】
1. 已知关于 x 的方程 ＋2x－1＝0 有两个实数根 ，，则下列等式正确的是（　　）
　　A. ＋＝2　　B. ＝－2　　C. ＝　　D. ＋＝6
2. 已知 α，β 满足 α＋β＝3，且 αβ＝2，写出一个以 α，β 为两根的一元二次方程：________。
3. 已知一元二次方程 －4x－c＝0 的一个根为 2＋，则另一个根为________，c＝________。
4. 已知关于 x 的一元二次方程 ＋3x＋k－2＝0 有实数根。
　　(1) 求 k 的取值范围；
　　(2) 设方程的两个实数根分别为 ，，若 （＋1）（＋1）＝－1，求 k 的值。
【学习小结】
1. 一元二次方程 a＋bx＋c＝0（a≠0），若两根为 ，，则 ＋＝________，＝________（前提 Δ≥0）。
2. 常用变形：＋＝（＋－________；（－＝（＋－________；＋＝（分母为________）；（＋a）（＋a）＝＋________(x_1+x_2)+a^2。
3. 含参问题：先由 ________（判别式）保证方程有实根确定参数范围，再结合韦达定理列方程求参数，最后________。
【拓展延伸】
思考：若 ， 是方程 ＋px＋q＝0 的两根，试用 p，q 表示 ＋（提示：＋＝（＋－3（＋））。
【参考答案与解析】
（以下为重点模块参考答案，供教师备课与学生自纠使用；前面各模块作答区不含答案）
一、知识链接
1. －；。
2. 2；－4；－1；2；－。
3. 2ab；4ab。
二、自主探究
探究1 例1　(1) 4x，1；＋＝－，＝。
　　　　　 (2) x，13；＋＝，＝－。
　　 变式1　(1) －2（＋＝－3，＝－1，∴ －3－(－1)＝－2）。
　　　　　 (2) a＋b＝4，ab＝；周长＝8，面积＝。
探究2 例2　(1) ＋＝2，＝－；2 －2×(－)＝4＋3＝7。
　　　　　 (2) ＝－。
　　 变式2　(1) ＋＝－3，＝－2；(－3) －4×(－2)＝9＋8＝17。
　　　　　 (2) －2＋3×（－3）＋9＝－2。
探究3 例3　(1) Δ＝16－4m－4＝12－4m≥0，解得 m≤3。
　　　　　 (2) ＋＝4，＝m＋1；4＝2(m＋1)，解得 m＝1。
　　 变式3　(1) Δ＝4k ＋4k＋1－4k ＋4＝4k＋5＞0，解得 k＞－。
　　　　　 (2) k＝±2；又 k＞－，∴ k＝2。
三、合作交流
例A：第一步 ＋＝－2，＝－1；
　　第二步 (－2) －2×(－1)＝4＋2＝6，结论：正确（选 D）。
例B：－3x＋2＝0（答案不唯一，形如 －3x＋2＝0 即可）。
四、当堂检测
1. D
2. 例如 －3x＋2＝0（答案不唯一）。
3. 另一根为 2－，c＝－1。（两根和＝4，故另一根＝4－(2＋√3)＝2－√3；两根积＝－c＝(2＋√3)(2－√3)＝1，∴ c＝－1）
4. (1) Δ＝3 －4(k－2)≥0 9－4k＋8≥0 k≤；
　 (2) ＋＝－3，＝k－2；由 (x ＋1)(x ＋1)＝－1 得 ＋（＋）＋1＝－1，
　　即 (k－2)＋(－3)＋1＝－1，解得 k＝3。
五、学习小结
1. －；；Δ。
2. 2x x ；4x x ；x x ；a。
3. Δ≥0（判别式）；检验取舍。
六、拓展延伸（开放题，鼓励自主探究，略）

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