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第二十五章　一元二次方程　25.3 一元二次方程的应用（第1课时）——面积问题
【学习目标】
① 能根据几何图形（边框、小路、围墙等）中的面积条件，找出等量关系，列出一元二次方程；
② 掌握“设未知数→列面积方程→求解→检验取舍”的实际问题解题步骤；
③ 体会数学建模思想，理解实际问题中对方程根的合理性检验（舍去不符合实际意义的根）。
【学习重难点】
重点：根据图形面积关系列出一元二次方程。
难点：用含未知数的代数式表示相关边长；解出根后结合几何意义（边长须为正、平行墙边长≤墙长、有门时计入门宽）分类检验取舍。
【知识链接】（旧知回顾）
1. 矩形的面积＝________；矩形的周长＝________。
2. 三角形的面积＝________；梯形的面积＝________。
3. 已知矩形长 3、宽 2，则其面积＝________，周长＝________；已知梯形上底 2、下底 3、高 4，则其面积＝________。
【自主探究】
探究1　边框问题（照片配框、四周修路）
【例1】一张长为 8 dm、宽为 6 dm 的照片配一个相框后的面积为 80 dm ，要使相框的四条边框宽度相等，相框边的宽度应是多少？
　　解：设相框边的宽度为 x dm，则配框后长为（8＋________）dm，宽为（6＋________）dm，
　　根据题意，得 （8＋2x）（6＋2x）＝80，
　　整理，得 ________＝0，解得 x ＝________（不符合题意，舍去），x ＝________。
　　答：相框边的宽度应是________dm。
【变式1】在长为 12 m、宽为 5 m 的矩形地面内四周修筑同样宽的道路，余下铺草坪，要使草坪面积为 30 m ，道路的宽应为多少？
　　解：设道路的宽为 x m，则草坪的长为（12－________）m，宽为（5－________）m，
　　根据题意，得 （12－2x）（5－2x）＝30，
　　整理，得 ________＝0，解得 x＝________ 或 x＝________（不符合题意，舍去）。答：道路的宽应为________m。
探究2　小路、通道问题
【例2】在宽为 20 m、长为 30 m 的矩形地面上修建两条宽均为 x m 的小路（阴影），余下部分作为草地，草地面积为 551 m ，求小路宽 x 的值。
　　解：草地长为（30－________）m，宽为（20－________）m，
　　根据题意，得 （30－x）（20－x）＝551，
　　整理，得 ________＝0，解得 x ＝________，x ＝________。
　　检验：当 x＝49 时，20－x＝________＜0，不合题意，舍去；∴ x＝________。
　　答：小路宽 x 的值为________m。
【变式2】在一块长为 32 m、宽为 20 m 的矩形地面上，修建同样宽的三条道路（图中阴影），剩余部分种草坪，要使草坪面积为 570 m ，求道路的宽。
　　解：设道路的宽为 x m，则草坪的长为（32－________）m，宽为（20－________）m，
　　根据题意，得 （32－2x）（20－x）＝570，
　　整理，得 ________＝0，解得 x ＝________，x ＝________（不符合题意，舍去）。答：道路的宽为________m。
探究3　围墙问题
【例3】利用一围墙（墙长为 9 m），另三边用 20 m 长的篱笆围成一个面积为 48 m 的矩形花园 ABCD。
　　(1) 设垂直于墙的一边 AB 长为 x m，则平行于墙的一边长为________m；（用含 x 的代数式表示）
　　(2) 求 x 的值。
　　解：(2) 根据题意，得 x·________＝48，
　　整理，得 ________＝0，解得 x ＝________，x ＝________。
　　检验：当 x＝4 时，20－2x＝________＞9，不符合题意，舍去；
　　当 x＝6 时，20－2x＝________＜9，符合题意。则 x 的值为________。
【变式3】有长为 30 m 的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为 10 m），围成中间隔有一道篱笆（平行于 AB）的矩形花圃。如果要围成面积为 63 m 的花圃，AB 的长是多少？
　　解：设 AB 的长为 x m，则平行于墙的一边长为（________）m，
　　根据题意，得 x·________＝63，整理，得－3x ＋30x＝63，
　　整理，得 ________＝0，解得 x ＝________，x ＝________。
　　检验：当 x＝7 时，30－3x＝________＜10，符合题意；
　　当 x＝3 时，30－3x＝________＞10，不符合题意，舍去。答：AB 的长为________m。
【合作交流】（典型例题，先独立完成后师生共研）
例A：用长为 16 m 的篱笆围成一个面积为 15 m 的矩形养鸡场，若养鸡场的长为 x m，则宽表示为________，可列方程为________。
例B：用一张长为 11 cm、宽为 7 cm 的矩形纸板制作一个底面积为 21 cm 的无盖纸盒，将四个角各剪去一个边长为 x cm 的正方形，则可列出关于 x 的方程为________。
　
【当堂检测】
1. 用长为 16 m 的篱笆围成一个面积为 15 m 的矩形养鸡场，若养鸡场的长为 x m，则宽表示为________，可列方程为________。
2. 用长为 11 cm、宽为 7 cm 的矩形纸板制作底面积为 21 cm 的无盖纸盒（四角各剪去边长 x cm 的正方形），则可列方程为________。
3. 某农户准备建一个长方形养鸡场，一边靠墙，墙长为 18 m，墙对面有一个 2 m 宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长 33 m。
　　(1) 要围成面积为 150 m 的养鸡场，则养鸡场的长和宽各为多少？
　　(2) 围成养鸡场的面积能否达到 200 m ？请说明理由。
【学习小结】
1. 列面积方程的关键：用含________的代数式表示相关边长，再利用面积公式列方程。
2. 围墙问题解出方程的两个根后一定要分类讨论验根，平行于墙的边长必须________墙长。
3. 若边上有门，则表示边长时要________门的宽度。
【拓展延伸】
思考：边框问题中，除了“配框后总面积＝照片面积＋相框面积”的等量关系，能否用“总面积－照片面积＝相框（道路）面积”另列方程？比较两种设法的异同，并各写一道对应方程。
【参考答案与解析】
（以下为重点模块参考答案，供教师备课与学生自纠使用；前面各模块作答区不含答案）
一、知识链接
1. 长×宽；2×(长＋宽)。
2. 底×高÷2；(上底＋下底)×高÷2。
3. 6；10；10。
二、自主探究
探究1 例1：2x，2x；－8，1；1。
　　 变式1：2x，2x；；1。
探究2 例2：x，x；－29；1；1。
　　 变式2：2x，x；35；1。
探究3 例3：(1) 20－2x；(2) (20－2x)；12，8；6。
　　 变式3：(30－3x)；30－3x；9，21；7。
三、合作交流
例A：宽＝(8－x)m（半周长为 8），方程 x（8－x）＝15。
例B：（11－2x）（7－2x）＝21。
四、当堂检测
1. 宽＝(8－x)m，方程 x（8－x）＝15。
2. （11－2x）（7－2x）＝21。
3. (1) 设养鸡场宽为 x m，则长＝33－2x＋2＝(35－2x)m；x（35－2x）＝150 2x －35x＋150＝0 x＝10 或 7.5；
　　当 x＝10 时，长＝15＜18，符合；当 x＝7.5 时，长＝20＞18，舍去。故长为 15 m，宽为 10 m。
　 (2) 不能。设宽为 x m，则 x（35－2x）＝200 2x －35x＋200＝0，
　　Δ＝(－35) －4×2×200＝1225－1600＝－375＜0，方程无实数根，故面积不能达到 200 m 。
五、学习小结
1. 所设未知数（或字母）。
2. 小于或等于（≤）。
3. 考虑（计入）。
六、拓展延伸（开放题，鼓励自主探究，略）

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