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第二十五章　一元二次方程　25.3 一元二次方程的应用（第2课时）——增长率问题
【学习目标】
① 掌握平均增长率（下降率）问题中的等量关系：经过两次变化，新量＝原量×（1±x，能根据题意列出一元二次方程；
② 掌握病毒传染、信息分支等“两轮传播”类问题的数量关系：最终总数＝原量×（1＋x，会列出方程；
③ 会解出方程后结合实际问题对根进行合理性检验与取舍，并能进行后续预测（突破某值、达到某量）。
【学习重难点】
重点：根据“增长率/下降率”“传染/传播”问题中的数量关系列出一元二次方程。
难点：区分“终值”与“累计值”；正确表示两轮传播后的总数量；解出根后结合实际意义（增长率通常为正，舍去负根）检验。
【知识链接】（旧知回顾）
1. 某商店去年利润为 100 万元，若每年利润增长率为 20％，则：今年利润＝100×(1＋________)＝________ 万元，明年利润＝100×(1＋________) ＝________ 万元。
2. 牛肉一月份每千克 100 元，若每月价格的下降率为 x，则：二月份价格为 100×(1－________) 元，三月份价格为 100×(1－________) 元。
【自主探究】
探究1　平均增长率/下降率问题（已知原量与新量）
【例1】某水果店今年1月份销售利润是 2 万元，2、3月份利润均有所增长，3月份利润达到 4.5 万元。
(1) 求该水果店2、3月份销售利润的月平均增长率；
　　解：设月平均增长率为 x，根据题意，得 2（1＋x＝________，
　　解得 x＝________ 或 x＝________（不合题意，舍去）。答：月平均增长率是________％。
(2) 如果按照这个月平均增长率增长，求月销售利润首次突破 10 万元的月份；
　　解：4月份利润＝4.5×(1＋________)＝________（万元），
　　5月份利润＝4.5×(1＋________) ＝________（万元）。答：首次突破10万元的是________月份。
【变式1】某快递公司今年2月份投递快递 20 万件，4月份投递 33.8 万件，每月增长率相同。
(1) 求月平均增长率；
　　解：设月平均增长率为 x，得 20（1＋x＝________，
　　解得 x ＝________＝________％，x ＝________（舍去）。答：增长率为________％。
(2) 若增长率保持不变，5月份投递量是否达到 45 万件？
　　解：33.8×(1＋________)＝________（万件）。∵________＜45，∴________达到。
【例2】某种计算机售价由去年10月的 14000 元/台下降到12月的 11340 元/台。
(1) 求去年11、12两月平均每月降价的百分率；
　　解：设平均每月降价百分率为 x，得 14000（1－x＝________，
　　解得 x ＝________＝________％，x ＝________（舍去）。答：降价百分率为________％。
(2) 如果继续按此百分率下降，到今年2月售价是否会低于 10000 元/台？
　　解：11340×(1－________) ＝11340×________＝________（元）。∵________＜10000，∴________低于。
【变式2】某商品原价 100 元，经两次降价后价格是 64 元。
(1) 求平均每次降价的百分率；
　　解：设平均每次降价百分率为 x，得 100（1－x＝________，
　　解得 x ＝________＝________％，x ＝________（舍去）。答：降价百分率为________％。
(2) 求第一次降价后的价格；
　　解：100×(1－________)＝100×________＝________（元）。答：第一次降价后________元。
探究2　病毒传染问题
【例3】有一人患了红眼病，经过两轮传染后共有 64 人患病。
(1) 每轮传染中平均一个人传染了几个人？
　　解：设每轮平均一人传染 x 个人。
　　第一轮后患病：1＋________；第二轮后：1＋x＋x(1＋x)＝________。
　　根据题意，得 1＋x＋x（1＋x）＝64，
　　解得 x ＝________，x ＝________（舍去）。答：平均一人传染________个人。
(2) 若不及时控制，三轮传染后患病共有多少人？
　　解：64＋64×________＝________（人）。答：三轮后共________人。
【变式3】某养猪场第一天发现 3 头生猪发病，两天后发现共有 192 头发病。
(1) 每头发病生猪平均每天传染多少头生猪？
　　解：设每头每天传染 x 头，得 3＋3x＋(3＋3x)x＝________，
　　解得 x ＝________，x ＝________（舍去）。答：每头每天传染________头。
(2) 若疫情得不到有效控制，三天后发病头数会超过 1500 头吗？
　　解：192×(1＋________)＝________（头）。∵________＞1500，∴________超过。
【合作交流】（典型例题，先独立完成后师生共研）
例A：某电影首日票房约 3 亿元，以后每天按相同增长率增长，三天后累计票房达 12 亿元。若把增长率记作 x，则可列方程________。
例B：某植物主干长出若干支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支总数为 91。设每个支干长出 x 个小分支，则可列方程________。
　
【当堂检测】
1. 某电影一上映就受观众热捧，第一天票房约 3 亿元，以后每天按相同增长率增长，三天后累计票房收入达 12 亿元，若把增长率记作 x，则方程可以列为________。
2. 某居委会 3 人同时得知一则喜讯，经过两轮传递使得有 864 人的居民小区知晓率达 50％，则每轮传递中平均一人传递的人数为________。（填数字）
3. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是 91，设每个支干长出 x 个小分支，则可列方程为________。
4. 某制药厂将一种药剂价格逐年降低，2022 年价格为 200 元，2024 年为 98 元。
　　(1) 求 2022 年到 2024 年这种药剂价格的年平均下降率；
　　(2) 计划 2025 年继续降价，并要求价格不低于 73.5 元，则此次价格的下降率最多是多少？
【学习小结】
1. 均匀增长（下降）两次问题公式：原量×(1________x) ＝新量（增长用________，下降用________）。
2. 病毒传染、信息传递等“两轮传播”问题：最终总数＝原量×(1＋________) 。
3. 解这类方程通常用________法；求得的根需结合________舍去不合题意的值。
【拓展延伸】
思考：若增长率问题中已知“累计值”（如三天累计票房）而非“终值”，方程应如何列？对比“终值型”与“累计型”两种模型的等量关系差异。
【参考答案与解析】
（以下为重点模块参考答案，供教师备课与学生自纠使用；前面各模块作答区不含答案）
一、知识链接
1. 0.2；120；0.2；144。
2. x；x。
二、自主探究
探究1 例1　(1) 2（1＋x＝4.5；x＝0.5 或 －2.5（舍）；50。
　　　　　 (2) 4.5×(1＋0.5)＝6.75；4.5×(1＋0.5) ＝10.125；5月份。
　　 变式1　(1) 20（1＋x＝33.8；x ＝0.3＝30％，x ＝－2.3（舍）；30％。
　　　　　 (2) 33.8×(1＋0.3)＝43.94＜45，不能达到。
　　 例2　(1) 14000（1－x＝11340；x ＝0.1＝10％，x ＝1.9（舍）；10％。
　　　　　 (2) 11340×(1－0.1) ＝11340×0.81＝9185.4＜10000，会低于。
　　 变式2　(1) 100（1－x＝64；x ＝0.2＝20％，x ＝1.8（舍）；20％。
　　　　　 (2) 100×(1－0.2)＝100×0.8＝80（元）；第一次降价后 80 元。
探究2 例3　(1) 第一轮：1＋x；第二轮：1＋x＋x(1＋x)＝(1＋x) ＝64；x ＝7，x ＝－9（舍）；7 人。
　　　　　 (2) 64＋64×7＝512（人）；三轮后共 512 人。
　　 变式3　(1) 3＋3x＋（3＋3x）x＝192；x ＝7，x ＝－9（舍）；每头每天传染 7 头。
　　　　　 (2) 192×(1＋7)＝1536＞1500，会超过 1500 头。
三、合作交流
例A：3＋3（1＋x）＋3（1＋x＝12（累计＝首日＋次日＋第三日）。
例B：1＋x＋＝91（主干1＋支干x＋小分支x ）。
四、当堂检测
1. 3＋3（1＋x）＋3（1＋x＝12。
2. 11。（小区共 864 人，知晓率 50％ 即 432 人；3（1＋x＝432 (1＋x) ＝144 x＝11）
3. 1＋x＋＝91。
4. (1) 设年平均下降率为 x，200（1－x＝98 x ＝0.3＝30％，x ＝1.7（舍）；年平均下降率 30％。
　 (2) 设此次下降率为 y，98（1－y）≥73.5 y≤0.25，最大值为 0.25＝25％；此次下降率最多 25％。
五、学习小结
1. ±（或 ＋ / －）；＋；－。
2. x。
3. 直接开平方（直接开平方法）；实际意义（或实际背景）。
六、拓展延伸（开放题，鼓励自主探究，略）

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