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第二十五章　一元二次方程　25.3 一元二次方程的应用（第3课时）——销售问题
【学习目标】
① 理解销售（营销）问题的基本数量关系：单件利润＝售价－进价，总利润＝单件利润×销售量；
② 会根据“涨价/降价”对单件利润与销售量的影响列出一元二次方程并求解，能结合实际条件（让顾客实惠、减少库存、限价、盈利下限）对根进行检验取舍；
③ 体会“设涨价(降价)为 x，用(原单件利润±变化量)×(原销量 变化量)＝总利润”的建模方法。
【学习重难点】
重点：根据销售问题中的数量关系列出一元二次方程。
难点：正确表示“降价/涨价后”的单件利润与销售量（含“每降 a 元多售 b 件”的比例关系、一次函数型销量）；解出根后结合限价、盈利下限、库存等条件检验取舍。
【知识链接】（旧知回顾）
1. 利润＝________－________。
2. 总利润＝________×________。
3. (1) 某商品进价 300 元，售价 500 元，则单件利润为________元；
　　(2) 某商品利润为 3 元/件，销售量为 100 件，则总利润为________元。
【自主探究】
探究1　直接给出单件利润，求涨价或降价（知识点1）
【例1】某商店购进一批口罩，若按每个盈利 1 元销售，每天可售 200 个；若每个售价上涨 1 元，则销售量减少 20 个。问应将每个口罩涨价多少元时，让顾客得到实惠且每天利润为 480 元？
　　解：设应将每个口罩涨价 x 元，则单件利润＝1＋________，每天销售量＝200－________，
　　根据题意，得 （1＋x）（200－20x）＝480，
　　整理，得 x －9x＋14＝0，解得 x ＝________，x ＝________。
　　∵要让顾客得到实惠（涨价尽量少），∴x＝________。答：应涨价________元。
【变式1】某商店“冰墩墩”平均每天售 20 个，每个盈利 40 元；每降价 2 元，每天可多售 10 个。若每天要盈利 1440 元，则每个应降价多少元？
　　解：设每个应降价 x 元，则每天多售 (x÷2)×10＝________个，销售量＝20＋________，
　　根据题意，得 （40－x）（20＋5x）＝1440，
　　整理，得 x －36x＋128＝0，解得 x ＝________，x ＝________（不合题意，舍去）。答：应降价________元。
探究2　间接给出单件利润，求涨价或降价（知识点2）
【例2】某超市“玫瑰香”单价 8 元时每周售 400 kg，每上涨 1 元每周销量减少 20 kg；进价 6 元/kg，物价部门规定单价不超过 15 元。若每周获利 2240 元，则销售单价应上涨多少元？应定为多少元？
　　解：设销售单价应上涨 y 元，则单件利润＝8－6＋________＝________，每天销售量＝400－________，
　　根据题意，得 （2＋y）（400－20y）＝2240，
　　整理，得 y －18y＋72＝0，解得 y ＝________，y ＝________。
　　∵单价不超过 15 元，即 8＋y≤15 y≤________，∴y＝________符合题意。
　　定价＝8＋________＝________（元）。答：应上涨________元，定价________元。
【变式2】新华商场销售进货价 40 元的商品，单价 80 元时每天售 20 件；在每件盈利不少于 25 元前提下，每降价 3 元每天多售 6 件。
　　(1) 若降价 2 元，则平均每天销售数量＝20＋(2÷3)×6＝________件；
　　(2) 当每件定价多少时，平均每天利润达到 1200 元？
　　解：设每件降价 x 元，则每天销售 (20＋________) 件，单件利润＝80－40－________＝________，
　　根据题意，得 （40－x）（20＋2x）＝1200，
　　整理，得 x －30x＋200＝0，解得 x ＝________，x ＝________。
　　当 x＝________时，单件利润＝40－________＝________＜25，舍去；∴定价＝80－________＝________（元）。答：定价________元。
【合作交流】（典型例题，先独立完成后师生共研）
例A：某商品进价 30 元、售价 40 元，每天售 48 件；每降价 1 元每天多售 8 件。若要每天获利 504 元且尽快减少库存，每件应降价多少元？
　　解：设降价 m 元，则 (40－30－m)(48＋________)＝________，解得 m＝________ 或 m＝________；为减少库存取 m＝________。
例B：某纪念册进价 20 元，售价 x 元（20≤x≤28），销量 y＝－2x＋80。若每周利润 150 元，求售价。
　　解：单件利润＝________－20，销量＝________；列方程 (x－20)(－2x＋80)＝________，解得 x＝________ 或 x＝________（舍去）。
　
【当堂检测】
1. 某商场一种商品进价 30 元、售价 40 元，每天售 48 件，为减少库存决定降价促销。
　　(1) 若该商品连续两次下调相同百分率后售价降至 32.4 元，求每次下降的百分率；
　　(2) 若每降价 1 元每天可多售 8 件，每天要想获得 504 元利润，每件应降价多少元？
2. 某文具店购进纪念册，每本进价 20 元，售价不低于 20 且不高于 28 元；销售量 y(本)与售价 x(元)满足一次函数：x＝22 时 y＝36，x＝24 时 y＝32。
　　(1) 请写出 y 与 x 的函数关系式：________；
　　(2) 当每周销售利润达到 150 元时，每本纪念册的售价是多少元？
【学习小结】
1. 营销问题基本公式：单件利润×________＝________。
2. 通常设涨价(或降价)为 x 元，则总利润＝(原单件利润________变化量)×(原销量________变化量)。
3. 解出方程后需结合________（如限价、盈利下限、减少库存）对根进行检验取舍。
【拓展延伸】
思考：当销售量 y 与售价 x 成一次函数关系时，总利润如何用 x 的二次式表示？以检测第 2 题为例，写出利润关于售价 x 的函数，并说明售价定为多少时利润最大。
【参考答案与解析】
（以下为重点模块参考答案，供教师备课与学生自纠使用；前面各模块作答区不含答案）
一、知识链接
1. 售价；成本。
2. 单件利润；销售量。
3. (1) 200；(2) 300。
二、自主探究
探究1 例1：单件利润＝1＋x，销量＝200－20x；（1＋x）（200－20x）＝480；x ＝2，x ＝7；取 x＝2（实惠）。答涨价 2 元。
　　 变式1：多售 5x 个，销量＝20＋5x；（40－x）（20＋5x）＝1440；x ＝4，x ＝32（舍）。答降价 4 元。
探究2 例2：单件利润＝8－6＋y＝2＋y，销量＝400－20y；（2＋y）（400－20y）＝2240；y ＝12，y ＝6；由 8＋y≤15 得 y≤7，取 y＝6；定价＝8＋6＝14 元。答上涨 6 元，定价 14 元。
　　 变式2：(1) 销量＝20＋(2÷3)×6＝24 件；
　　　　 (2) 销量＝20＋2x，单件利润＝40－x；（40－x）（20＋2x）＝1200；x ＝10，x ＝20；x＝20 时 40－20＝20＜25 舍去；定价＝80－10＝70 元。
三、合作交流
例A：（10－m）（48＋8m）＝504；解得 m＝1 或 3；减少库存取 m＝3。答降价 3 元。
例B：单件利润＝x－20，销量＝－2x＋80；（x－20）（－2x＋80）＝150；x＝25 或 35（＞28 舍去）。答售价 25 元。
四、当堂检测
1. (1) 设每次下降百分率为 x，40（1－x＝32.4 x ＝0.1＝10％，x ＝1.9（舍）；每次下降 10％。
　 (2) 设降价 m 元，（10－m）（48＋8m）＝504 m＝1 或 3；为减少库存取 m＝3。答降价 3 元。
2. (1) y＝－2x＋80（20≤x≤28）。
　 (2) 单件利润＝x－20，销量＝－2x＋80；（x－20）（－2x＋80）＝150 x －60x＋875＝0 x ＝25，x ＝35（＞28 舍）；售价 25 元。
五、学习小结
1. 销售量；总利润。
2. ±（或 加 / 减）； （或 减 / 加）。
3. 实际条件（或实际意义）。
六、拓展延伸（开放题，鼓励自主探究，略）

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