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第二十五章　一元二次方程　25.3 一元二次方程的应用（第4课时）——循环问题
【学习目标】
① 理解“双循环”（互赠、互赛两场、车票：A→B 与 B→A 算两次）与“单循环”（握手、签合同、单场比赛：A 与 B 只算一次）两种模型的差别；
② 会用 x（x－1）（双循环）或 （单循环）表示总次数，列出一元二次方程；
③ 能拓展到图形规律问题（直线交点、多边形对角线数 ），解出后结合实际意义（人数、边数为正整数）检验取舍。
【学习重难点】
重点：区分双循环与单循环，正确列出对应方程。
难点：识别实际情境属于哪类循环；直线交点、多边形对角线等一般规律公式的推导；舍去不合题意的负根与非整数根。
【知识链接】（旧知回顾）
1. (1) 3 人互赠礼物，每人要送________份，共送________份；
　　(2) 4 人互赠礼物，每人要送________份，共送________份；
　　(3) x 人互赠礼物，每人要送________份，共送________份。
2. (1) 3 人两两握手，每人要握________次，共要握________次；
　　(2) 4 人两两握手，每人要握________次，共要握________次；
　　(3) x 人两两握手，每人要握________次，共要握________次。
【自主探究】
探究1　双循环问题（互赠、互赛两场、车票）
【例1】在一次会议上，参会人员互送名片，共送出 30 张名片，求参加会议的人数。
　　解：设参加会议的人数为 x 人，则每人送________张，共送________张，
　　根据题意，得 x（x－1）＝30，
　　解得 x ＝________，x ＝________（不合题意，舍去）。答：参加会议________人。
【变式1】足球联赛每两队之间都进行两场比赛，共比赛 90 场，共有多少个队参赛？
　　解：设共有 x 个队参赛，则共比赛________场，
　　根据题意，得 x（x－1）＝90，整理，得 x －x－90＝0，
　　解得 x ＝________，x ＝________（舍去）。答：共有________个队。
探究2　单循环问题（握手、签合同、单场比赛）
【例2】某班同学聚会，每两人都握一次手，所有人共握手 28 次，求参加聚会的人数。
　　解：设参加聚会的人数为 x 人，则共握手________次，
　　根据题意，得 ________＝28，
　　解得 x ＝________，x ＝________（不合题意，舍去）。答：参加聚会________人。
【变式2】商品交易会每两家公司之间都签订一份合同，共签订 45 份合同，共有多少家公司参加？
　　解：设有 x 家公司参加，则共签订________份合同，
　　根据题意，得 ________＝45，整理，得 x －x－90＝0，
　　解得 x ＝________，x ＝________（舍去）。答：共有________家公司。
【合作交流】（典型例题，先独立完成后师生共研）
例A：组织排球邀请赛，每两个队之间比赛一场，赛程 7 天、每天 4 场，应邀请多少个队？
　　解：设邀请 x 个队，则共比赛________场；列方程________＝4×7，解得 x＝________ 或 x＝________（舍去）。
例B：铁路沿线有 n 个停靠站（含北京、上海站），至少产生 30 种不同行程的火车票，求 n。
　　解：每站可开出________种行程票，列方程 n(n－1)＝________，解得 n＝________ 或 n＝________（舍去）。
　
【当堂检测】
1. 组织排球邀请赛，每两个队之间都要比赛一场；赛程计划 7 天、每天 4 场。比赛组织者应邀请多少个队参赛？
　　（设邀请 x 个队，则共比赛________场，列方程________＝4×7，解得 x＝________ 或 x＝________。）
2. （易错）北京与上海的铁路沿线沿途有多个火车停靠站（含两端），至少能产生 30 种不同行程的火车票，求共有多少个停靠站。
　　（设共有 n 个停靠站，每站可开出________种票，列方程 n(n－1)＝________，解得 n＝________ 或 n＝________。）
3. 同一平面内直线两两相交最多有交点：
　　(1) 四条直线两两相交最多有________个交点；
　　(2) 多少条直线两两相交最多有 28 个交点？
4. 多边形对角线：
　　(1) 四边形有________条对角线，五边形有________条，六边形有________条，n 边形有________条；
　　(2) 若一个多边形有 20 条对角线，求它的边数；
　　(3) 是否存在一个多边形，它有 25 条对角线？
【学习小结】
1. 双循环问题（互赠、互赛两场、车票）：总次数＝________（即 x(x－1)）。
2. 单循环问题（握手、签合同、单场比赛、直线交点）：总次数＝________（即 x(x－1)/2）。
3. n 边形对角线条数＝________（即 n(n－3)/2）。解出方程后需结合________（人数/边数为正整数）检验取舍。
【拓展延伸】
思考：双循环与单循环的数量关系相差 2 倍，本质区别是什么？若“互打电话”（A 打给 B 与 B 打给 A 算两次）和“互加好友”（A、B 互为好友只算一次）分别对应哪种模型？
【参考答案与解析】
（以下为重点模块参考答案，供教师备课与学生自纠使用；前面各模块作答区不含答案）
一、知识链接
1. (1) 2，6；(2) 3，12；(3) x－1，x(x－1)。
2. (1) 2，3；(2) 3，6；(3) x－1，。
二、自主探究
探究1 例1：每人送 x－1 张，共送 x(x－1) 张；x（x－1）＝30；x ＝6，x ＝－5（舍）。答 6 人。
　　 变式1：共比赛 x(x－1) 场；x（x－1）＝90；x ＝10，x ＝－9（舍）。答 10 个队。
探究2 例2：共握手 次；＝28；x ＝8，x ＝－7（舍）。答 8 人。
　　 变式2：共签订 份；＝45；x ＝10，x ＝－9（舍）。答 10 家。
三、合作交流
例A：共比赛 场；＝4×7；x＝8 或 －7（舍）。答 8 个队。
例B：每站开出 n－1 种票；n(n－1)＝30；n＝6 或 －5（舍）。答 6 个停靠站。
四、当堂检测
1. ＝28 x＝8 或 －7（舍）；邀请 8 个队。
2. n(n－1)＝30 n＝6 或 －5（舍）；共有 6 个停靠站。
3. (1) 6 个（＝6）；(2) 设 n 条直线，＝28 n＝8 或 －7（舍）；8 条直线。
4. (1) 2，5，9，；(2) ＝20 n －3n－40＝0 n＝8（舍负）；边数 8。
　 (3) 假设存在，＝25 m －3m－50＝0 m＝，均非正整数，∴不存在。
五、学习小结
1. 2×单循环次数（即 x(x－1)）。
2. （即 x(x－1)/2）。
3. （即 n(n－3)/2）；实际意义（正整数）。
六、拓展延伸（开放题，鼓励自主探究，略）

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