资源简介

(共28张PPT)
人教版 九年级数学上
25.2.2 公式法
25.2 降次——解一元二次方程
学习目标
1.知道一元二次方程根的判别式和求根公式的推导过程.
2.能运用根的判别式判断方程根的情况，能熟练地运用公式法解一元二次方程．
复习回顾
说一说用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？
一移：将常数项移到方程的右边；
二化：二次项系数化为1；
三配：方程左、右两边同时加上一次项系数一半的
平方；
四开：利用平方根的意义直接开平方；
五解：解两个一元一次方程.
探索新知
用配方法解一般形式一元二次方程：ax2+bx+c=0 (a≠0).
解：移项，得 ax2+bx = –c.
思考：对于方程①，接下来能直接开平方解吗？
探索新知
因为a≠0，所以4a2>0.式子 b2– 4ac 的值有以下三种情况：
方程有两个不相等的实数根
探索新知
因为a≠0，所以4a2>0.式子 b2– 4ac 的值有以下三种情况：
归纳总结
由上可知，一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0) 的根由方程的系数 a，b，c 确定.
当△>0 时，方程有两个不相等的实数根;
当△=0 时，方程有两个相等的实数根;
当△<0 时，方程无实数根.
b2–4ac 叫作一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示，即 Δ=b2– 4ac.
小试牛刀
一元二次方程 Δ=b2– 4ac 根的情况
x2–x–1=0 5 有两个不相等的实数根
2x2+3x+2=0 – 7 无实数根
4x2=12x–9 0 有两个相等的实数根
3x2+2=2x 0 有两个相等的实数根
探索新知
用求根公式解一元二次方程的方法叫作公式法.
注意：用公式法解一元二次方程时，首先要将方程化为一般式，然后当Δ=b2– 4ac 时，才可以用求根公式.
知识要点
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
（1）化：将一元二次方程化为一般形式 ax2+bx+c=0（a≠0）并确定 a，b，c 的值；
（2）求：求出 b2–4ac 的值；
（3）判：若 b2–4ac≥0 则利用求根公式求解；若 b2–4ac<0，则方程无实数根.
（4）代：将a，b，c的值代入求根公式，写出方程的根.
视频学习
随堂练习
1.一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根，则 b2–4ac 满足的条件是（ ）
A. b2–4ac=0 B. b2–4ac>0 C. b2–4ac<0 D. b2–4ac≥0
B
C
随堂练习
3.已知一元二次方程：①x2+2x+3=0，②x2–2x–3=0.下列说法正确的是（ ）
A.①②都有实数解
B.①无实数解，②有实数解
C.①有实数解，②无实数解
D.①②都无实数解
B
随堂练习
4. 一元二次方程x2－5x＋2＝0根的判别式的值是（　C　)
C
A. 33 B. 23
C. 17 D. 12
5. (2025·安徽中考)下列方程中，有两个不相等的实数根的是(　D　)
A. x2＋1＝0 B. x2－2x＋1＝0
C. x2＋x＋1＝0 D. x2＋x－1＝0
D
随堂练习
6. (2025·北京中考)若关于x的一元二次方程ax2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根，则实数a的值为(　C　)
C
A. －4 B. －1
C. 1 D. 4
A. a＜1 B. a＞1
C. a≤1 D. a≥1
7. (2025·新疆中考)若关于x的一元二次方程x2－2xa＝0无实数根，则实数a的取值范围是(　B　)
B
随堂练习
8. 用求根公式解方程2x2－3＝x时，a，b，c的值分别是(　B　)
B
A. a＝2，b＝1，c＝－3
B. a＝2，b＝－1，c＝－3
C. a＝2，b＝－1，c＝3
D. a＝2，b＝1，c＝3
9. (2025·内江中考)若关于x的一元二次方程(a－1)x2＋2x＋1＝0有实数根，则实数a的取值范围是(　C　)
A. a≤2 B. a＜2
C. a≤2且a≠1 D. a＜2且a≠1
C
随堂练习
10. 跨学科 物理 如图，小球悬浮于液体中(即F浮＝
G)，若F浮＝20N，小球的质量m＝(x2＋x)kg，g＝
10N/kg，已知G＝mg，则x的值为(　C　)
A. 1 B. 4
C. －2或1 D. －5或4
C
随堂练习
11. 分类讨论思想 (2026·上海宝山区月考)已知等腰
三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程x2
－5x＋k＝0的两根，则k的值为 .
随堂练习
12.用公式法解下列方程：
解：这里a＝2，b＝1，c＝－2.
∵Δ＝b2－4ac＝12－4×2×(－2)＝17，
(2)x2－3x＋3＝0；
解：这里a＝1，b＝－3，c＝3.
∵Δ＝b2－4ac＝(－3)2－4×1×3＝－3＜0，
∴原方程无实数根.
解：这里a＝1，b＝－3，c＝3.
∵Δ＝b2－4ac＝(－3)2－4×1×3＝－3＜0，
∴原方程无实数根.
随堂练习
13. 解方程：
(1)3x2＋5(2x＋1)＝0；
(2)x(2x－5)＝4x－5.
随堂练习
14. 已知 a，b，c为 △ABC 的三边长，且关于 x 的方程 (x–a)(x–b)+(x–b)(x–c)+(x–c)(x–a)=0 有两个相等的实数根，试判断 △ABC 的形状.
解：将原方程整理，得 3x2–2(a+b+c)x+ab+bc+ac=0.
因为Δ=b2–4ac=[2(a+b+c)]2–4×3(ab+bc+ac)=4(a2+b2+c2+2ab+
2ac+2bc)–12(ab+bc+ac)=4(a2+b2+c2–ab–ac–bc)
=2[(a2–2ab+b2)+(b2–2bc+c2)+(a2–2ac+c2)]=2[(a–b)2+(b–c)2+(a–c)2]
因为方程有两个相等的实数根，所以 Δ=0，
即2[(a–b)2+(b–c)2+(a–c)2]=0. 所以a–b=0， b–c=0， a–c=0.
所以a=b=c. 故△ABC为等边三角形.
随堂练习
15.(2026·上海杨浦区期中)如果关于x的方程(m＋
1)x2＋(2m－1)x＋(m－1)＝0没有实数根，试判断关
于x的方程(m－3)x2－2(m＋3)x－(m＋5)＝0的根的
情况.
方程(m＋1)x2＋(2m－1)x＋(m－1)＝0化为－3x
解：当m＝－1时，
－2＝0，
此方程有实数根，不符合题意；当m≠－1时，
∵方程(m＋1)x2＋(2m－1)x＋(m－1)＝0没有实
数根
随堂练习
16.(2026·上海杨浦区期中)如果关于x的方程(m＋
1)x2＋(2m－1)x＋(m－1)＝0没有实数根，试判断关
于x的方程(m－3)x2－2(m＋3)x－(m＋5)＝0的根的
情况.
当m＝3时，
方程(m－3)x2－2(m＋3)x－(m＋5)＝0化为－12x—8=0
Δ＝4(m＋3)2＋4(m－3)(m＋5)＝8[(m＋2)2－7]，
随堂练习
17.(2026·上海杨浦区期中)如果关于x的方程(m＋
1)x2＋(2m－1)x＋(m－1)＝0没有实数根，试判断关
于x的方程(m－3)x2－2(m＋3)x－(m＋5)＝0的根的
情况.
即Δ＞0，此时方程有两个不相等的实数根.综上可知，
当m＝3时，所求方程只有一个实数根；
所求方程有两个不相等的实数根.
课堂小结
公式法
定义
把各系数代入求根公式的解一元二次方程的方法
步骤
一化成一般形式，并写出 a，b，c 的值
二求出 b 4ac 的值
三代入求根公式 x=
四写出方程的解：，
应用
用判别式△=b -4ac 判定一元二次方程根的情况
感谢观看
Thanks!
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