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分课时学案
课题 2.4.2解直角三角形的应用 单元 第二单元 学科 数学 年级 九年级上册
学习 目标 1.知识与技能：掌握坡度、坡角、方向角的定义及相互关系，会识别方向角，能利用解直角三角形知识解决相关实际计算问题。 2.过程与方法：经历实际问题的建模求解全过程，在双直角三角形问题中体会数形结合与方程思想。 情感态度与价值观：感受数学在工程、航海中的应用价值，提升运用数学解决实际问题的兴趣与信心。
重点 1.理解坡度（坡比）、坡角的概念及其关系 ，能运用坡度知识解决山坡、斜坡等实际问题【2.4-5】。 2.理解方向角的概念，能正确识别实际问题中的方向角，并运用解直角三角形知识解决航海、定位等实际问题。
难点 难点一：学生易混淆坡度（比值）与坡角（角度），在已知坡度、斜边求高度时，完成坡度到坡角的转化并选取合适三角函数存在困难。 难点二：方向角问题需找准角度位置，通过作辅助线构造双直角三角形，依靠设元列方程解题，思维链条长，对学生作图与方程思想要求高。
教学过程
导入新课 【复习提问，温故孕新】 问题1： 在Rt△ABC中，∠C=90°，请写出∠A的正弦、余弦和正切的定义。 问题2： 在Rt△ABC中，已知一条边和一个锐角，如何求其他边？ 问题3： 在Rt△ABC中，∠C=90°，已知，你能求出∠A的度数吗？ 【引入思考】 同学们，假如我们要去爬山，从山脚到山顶有两条路AB与BD（呈现图形）。请大家观察一下，这两条路哪一条比较陡？你是怎么判断的？”
新知讲解 一、本节课研究的问题 1.情境探究问题：爬山时两条上山路径，如何用数量刻画山坡的陡峭程度，解决“哪条路更陡”的实际问题。 2.坡度、坡角探究 ①坡度是角还是比值？山坡的坡度、坡角二者存在怎样的数量关系？ ②坡度大小变化时，坡角、山坡陡峭程度如何变化？ ③已知山坡坡度与坡面长度，如何求竖直上升高度。 3.方向角实际应用探究：航海问题中，结合方向角，如何判断船只航行是否会触礁（求点到航线的最短距离），学会构造双直角三角形，借助方程思想求解实际问题。 4.建模探究：如何把工程、航海的现实问题，转化为解直角三角形的数学问题。 二、概念提炼 1.坡度（坡比）定义： 2.坡角定义： 3.坡度与坡角关系： 4.方向角： 5.解题模型思想 坡度类问题：把斜坡实物抽象成直角三角形，利用完成边角转化。 方向角航海类问题：作垂线，构造两个关联的直角三角形；设公共高为未知数，利用线段的和差建立方程求解。 通用建模流程：实际问题数学直角三角形模型数学计算求解还原解释实际问题。 易错提示： ①坡度是比值，不等于坡角； ②方向角基准是正北/正南，不是正东正西； ③双直角三角形解题关键抓住公共的高这条边。 【例题2】如图2.4 6，一山坡的坡度．小华从山脚出发，沿山坡向上到达点，已知，两点间的直线距离为，问：他从点到点高度上升了多少米？ （，，结果精确到） 解：由于坡度， 即 又，于是。 在中，，， 所以 又， 因此 答：小华从点到点高度上升了约。 【你还可以用其他方法求出吗？】 回答： 例3.如图2.4 7，一艘船以的速度向正东航行，在处测得灯塔在北偏东方向上，继续航行到达处，这时测得灯塔在北偏东方向上．已知在灯塔的内有暗礁，问这艘船继续向东航行是否安全？ 分析：这艘船继续向东航行是否安全，取决于灯塔到航线的距离是否大于。 解：作，交的延长线于点．设。 在中，因为 所以 同理，在中， 因为， 所以 解得 又， 因此，该船能继续安全地向东航行。 变式1（基础——知坡度求坡角） 已知一斜坡的坡度，求坡角α的度数。 答案： 变式2（中等——知坡角求坡度） 已知一山坡的坡角，求该山坡的坡度i。 答案： 变式3（提升——综合应用） 如图，一山坡的坡角为30°，小华从山脚沿山坡向上走了200m到达点B，求他上升的高度。
课堂练习 练习1： 一斜坡的坡角为30°，则坡度为______。 练习2： 一斜坡的坡度，则坡角为______。 练习3：一山坡的坡度，小华从山脚A出发，沿山坡向上到达点B，已知A、B两点间的水平距离为120m，求他上升的高度。
课堂小结 回顾这节课你学到了什么？
课后作业 1、如图，一艘船从A处出发，匀速向正北方向航行30海里至点B，从A处测得一礁石C在北偏西15°的方向上，从B处测得礁石C在北偏西30°的方向上．如果这艘船沿此航线继续航行，则礁石与船的最短距离是（　 　）海里． A.10 B.15 C.20 D.30
2、如图，河堤横断面迎水坡的坡比是，堤高，则坡面的长度为（ ） A.B.C.D.
3、如图大坝的横断面，斜坡AB的坡比i＝1：2，背水坡CD的坡比i＝1：1，若AB的长度为米，则斜坡CD的长度为（ 　） A.6米B.米C.米D.米
4、如图，小明在距离地面30米的P处测得A处的俯角为，B处的俯角为．若斜面坡度为，则斜坡的长是（ ）米 A. B. C. D.
5、小明去爬山，在山脚看山顶角度为30°，小明在坡比为5∶12的山坡上走1300米，此时小明看山顶的角度为60°，求山高(　 ) A. (600－250)米 B. (600－250)米C. (350＋350)米 D. 500米
6、一段公路路面的坡度为i＝1：2.4，如果某人沿着这段公路向上行走了260米，那么此人升高了 　 　米． 7、如图，一辆小车沿着坡度为的斜坡向上行驶了，则该小车上升的高度为 ． 8、为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市大力开展植树造林活动.如图，在坡度i=1∶的山坡AB上植树，要求相邻两树间的水平距离AC为2 米，则斜坡上相邻两树间AB的坡面距离为　　　　米. 9、如图，一座水库大坝的横断面为梯形ABCD，斜坡m，现将坡度为的斜坡AB改为坡度为1：2的斜坡AP．则新坡面AP＝　 　m．（结果保留根号） 10、水务部门为加强防汛工作，决定对某水库大坝进行加固，大坝的横截面是梯形．如图所示，已知迎水坡面的长为米，，背水坡面的长为米，加固后大坝的横截面为梯形，的长为米． (1)已知需加固的大坝长为米，求需要填土石方多少立方米？ (2)求加固后大坝背水坡面的坡度． 11、为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，斜面坡度i=3∶4是指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比.已知斜坡CD长度为20米，∠C=18°，求斜坡AB的长.(结果精确到0.1米，参考数据：sin 18°≈0.31，cos 18°≈0.95，tan 18°≈0.32) 12、为缓解交通拥堵，某区拟计划修建一地下通道，该通道一部分的截面如图所示(图中地面AD与通道BC平行)，通道水平宽度BC为8米，∠BCD＝135°，通道斜面CD 的长为6米，通道斜面AB的坡度i＝1∶. (1)求通道斜面AB的长为________米； (2)为增加市民行走的舒适度，拟将设计图中的通道斜面CD的坡度变缓，修改后的通道斜面DE的坡角为30°，求此时BE的长．(结果保留根号)
答案：
复习提问，温故孕新
问题1： 在Rt△ABC中，∠C=90°，请写出∠A的正弦、余弦和正切的定义。
标准答案：
，
，
。
问题2： 在Rt△ABC中，已知一条边和一个锐角，如何求其他边？
标准答案： 根据锐角三角函数的定义建立方程求解，如已知斜边和锐角A，则，。
问题3： 在Rt△ABC中，∠C=90°，已知，你能求出∠A的度数吗？
标准答案： ，查表或利用已知条件可知（因为）。
变式1（基础——知坡度求坡角）
已知一斜坡的坡度，求坡角α的度数。
答案： ，∴。
变式2（中等——知坡角求坡度）
已知一山坡的坡角，求该山坡的坡度i。
答案： ，写成。
变式3（提升——综合应用）
如图，一山坡的坡角为30°，小华从山脚沿山坡向上走了200m到达点B，求他上升的高度。
答案： ，∴（m）。
课堂练习：
练习1（基础）： 一斜坡的坡角为30°，则坡度为______。
答案：
练习2（基础）： 一斜坡的坡度，则坡角为______。
答案： 45°
练习3：一山坡的坡度，小华从山脚A出发，沿山坡向上到达点B，已知A、B两点间的水平距离为120m，求他上升的高度。
解：坡度 ，即 。
设小华上升的高度（即铅直高度）为 m，水平距离 m。
根据坡度的定义（坡度等于铅直高度与水平距离的比）：
代入数据：
解方程得：
答： 小华从点 到点 高度上升了 30 m。
作业布置：
1、如图，一艘船从A处出发，匀速向正北方向航行30海里至点B，从A处测得一礁石C在北偏西15°的方向上，从B处测得礁石C在北偏西30°的方向上．如果这艘船沿此航线继续航行，则礁石与船的最短距离是（　B　）海里．
A.10 B.15 C.20 D.30
2、如图，河堤横断面迎水坡的坡比是，堤高，则坡面的长度为（ B ）
A. B. C. D.
3、如图大坝的横断面，斜坡AB的坡比i＝1：2，背水坡CD的坡比i＝1：1，若AB的长度为米，则斜坡CD的长度为（ B　　）
A.6米 B.米 C.米 D.米
4、如图，小明在距离地面30米的P处测得A处的俯角为，B处的俯角为．若斜面坡度为，则斜坡的长是（ C ）米
A. B. C. D.
5、小明去爬山，在山脚看山顶角度为30°，小明在坡比为5∶12的山坡上走1300米，此时小明看山顶的角度为60°，求山高(　B )
A. (600－250)米 B. (600－250)米 C. (350＋350)米 D. 500米
6、一段公路路面的坡度为i＝1：2.4，如果某人沿着这段公路向上行走了260米，那么此人升高了 　100　米．
7、如图，一辆小车沿着坡度为的斜坡向上行驶了，则该小车上升的高度为 30 ．
8、为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市大力开展植树造林活动.如图，在坡度i=1∶的山坡AB上植树，要求相邻两树间的水平距离AC为2 米，则斜坡上相邻两树间AB的坡面距离为　　4　　米.
9、如图，一座水库大坝的横断面为梯形ABCD，斜坡m，现将坡度为的斜坡AB改为坡度为1：2的斜坡AP．则新坡面AP＝　 8 　m．（结果保留根号）
10、水务部门为加强防汛工作，决定对某水库大坝进行加固，大坝的横截面是梯形．如图所示，已知迎水坡面的长为米，，背水坡面的长为米，加固后大坝的横截面为梯形，的长为米．
(1)已知需加固的大坝长为米，求需要填土石方多少立方米？
(2)求加固后大坝背水坡面的坡度．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）过点作于，过点作于，
∴．
在中，（米），
∴（米）．
∴（平方米）．
∴需要填土石方体积为： ．
（2）在中，，
∴．
∴加固后大坝背水坡面的坡度．
11、为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，斜面坡度i=3∶4是指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比.已知斜坡CD长度为20米，∠C=18°，求斜坡AB的长.(结果精确到0.1米，参考数据：sin 18°≈0.31，cos 18°≈0.95，tan 18°≈0.32)
【答案】
解　如图，过点D作DE⊥BC，垂足为E，
由题意得AF⊥BC，DE=AF，
∵斜面AB的坡度i=3∶4，
∴=，
∴设AF=3x米，则BF=4x米，
在Rt△ABF中，AB===5x(米)，
在Rt△DEC中，∠C=18°，CD=20米，
∴DE=CD·sin 18°≈20×0.31=6.2(米)，
∴AF=DE=6.2米，
∴3x=6.2，
解得x=，
∴AB=5x=5×=≈10.3(米)，
∴斜坡AB的长约为10.3米.
12、为缓解交通拥堵，某区拟计划修建一地下通道，该通道一部分的截面如图所示(图中地面AD与通道BC平行)，通道水平宽度BC为8米，∠BCD＝135°，通道斜面CD 的长为6米，通道斜面AB的坡度i＝1∶.
(1)求通道斜面AB的长为____3____米；
(2)为增加市民行走的舒适度，拟将设计图中的通道斜面CD的坡度变缓，修改后的通道斜面DE的坡角为30°，求此时BE的长．(结果保留根号)
【答案】解　(1)过点A作AN⊥CB于点N，过点D作DM⊥BC于点M，∵∠BCD＝135°，∴∠DCM＝45°.
∵在Rt△CMD中，∠CMD＝90°，CD＝6，∴DM＝CM＝CD＝3，∴AN＝DM＝3，
∵通道斜面AB的坡度i＝1∶，∴tan ∠ABN＝＝，∴BN＝AN＝6，
∴AB＝＝3.即通道斜面AB的长约为3米；故答案为3；
(2)∵在Rt△MED中，∠EMD＝90°，∠DEM＝30°，DM＝3，
∴EM＝DM＝3，∴EC＝EM－CM＝3－3，
∴BE＝BC－EC＝8－(3－3)＝8＋3－3.即此时BE的长约为(8＋3－3)米．
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