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26.3 二次函数与一元二次方程
素养目标
1.知道二次函数的图象与x轴的交点个数与一元二次方程的根的个数之间的关系.
2.会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解,体会数形结合思想.
3.体会函数与方程的内在联系,发展直观想象、数形结合与逻辑推理素养,提升运用代数方法解决函数问题的能力.
重点
二次函数的图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系.
【自主预习】
预学思考
知识点一 利用一元二次方程解决二次函数问题
　　阅读课本26.3第1课时的内容,补全下列新知要点:
1.如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点,公共点的横坐标是x0,那么当x=x0时,函数值是 ,因此x= 是方程ax2+bx+c=0的一个根.
2.可通过根的判别式的情况确定二次函数的图象与x轴的公共点情况:
当Δ>0时,二次函数的图象与x轴有 个公共点;
当Δ=0时,二次函数的图象与x轴有 个公共点;
当Δ<0时,二次函数的图象与x轴 公共点.
知识点二 利用二次函数解决一元二次方程问题
　　阅读课本26.3第2课时的内容,补全下列新知要点:
利用二次函数的图象与x轴公共点的位置确定一元二次方程的根的近似值的方法如下:
1.作出二次函数y=ax2+bx+c的图象.
2.找到两个点(x1,y1),(x2,y2),一般x1,x2都为整数.若y1y2<0,则方程ax2+bx+c=0在 之间有根.
3.取xm= ,计算它对应的函数值ym.若y1ym<0,则方程ax2+bx+c=0在 之间有根;若ymy2<0,则方程ax2+bx+c=0在 之间有根.
4.不断重复上述步骤,直到找到满足精确度要求的根的近似值为止.
自学检测
1.二次函数y=x2-3x的图象与x轴的两个公共点的坐标分别为 ( )
A.(0,0),(0,3)　　　　 B.(0,0),(3,0)
C.(0,0),(-3,0)　　　　 D.(0,0),(0,-3)
2.根据表中二次函数y=x2-2x-2的自变量x与函数值y的对应值估算一元二次方程x2-2x-2=0的一个根x的范围是 ( )
x -0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5
y=x2-2x-2 0.61 0.24 -0.11 -0.44 -0.75
A.-0.9C.-0.7【合作探究】
题型精讲
题型1 抛物线与x轴公共点的横坐标与一元二次方程根的关系
例1　已知二次函数y=x2-4x+m(m为常数)的图象与x轴的一个公共点为(1,0),则关于x的一元二次方程x2-4x+m=0的两实数根是 ( )
A.x1=1,x2=-1　　　　 B.x1=1,x2=2
C.x1=1,x2=0　　　　 D.x1=1,x2=3
题型2 抛物线与x轴的公共点的个数与b2-4ac的关系
例2　已知函数y=x2-mx+m-2.
(1)求证:不论m为何实数,此二次函数的图象与x轴都有两个不同的公共点.
(2)若m=2,求函数与x轴的公共点的坐标.
题型3 根据表格信息或图象信息判断方程的近似解
例3　根据下表中的对应值判断:
x 3.23 3.24 3.25 3.26
ax2+bx+c -0.06 -0.02 0.03 0.09
方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)的一个根x的取值范围是 ( )
A.3C.3.24题型4 直线与抛物线相交问题
例4　如图,直线y=-x+3与x轴交于点C,与y轴交于点B,抛物线y=ax2+x+c经过B,C两点.
(1)求抛物线的解析式.
(2)如图,E是抛物线上的一动点(不与B,C两点重合),△BEC的面积记为S,当S取何值时,对应的点E有且只有三个
课堂检测
1.若抛物线y=x2+bx的对称轴是直线x=2,则关于x的方程x2+bx=0的根为 ( )
A.x1=0,x2=2　　　　 B.x1=0,x2=4
C.x1=2,x2=4　　　　 D.x1=0,x2=-4
2.已知一次函数y=-2x与二次函数y=x2+bx+c的图象在第二象限内有两个公共点,则函数y=x2+(b+2)x+c的图象可能是 ( )
A. B. C. D.
参考答案
【自主预习】
预学思考
知识点一
1.0　x0
2.2　1　没有
知识点二
2.x1,x2
3.　x1,xm　xm,x2
自学检测
1.B　2.B
【合作探究】
题型精讲
题型1
例1　D
题型2
例2
解:(1)证明:∵b2-4ac=m2-4(m-2)=(m-2)2+4>0,
∴二次函数的图象与x轴恒有2个不同的公共点.
(2)当m=2时,y=x2-2x,与x轴的公共点为(0,0),(2,0).
题型3
例3　C
题型4
例4
解:(1)当x=0时,y=-x+3=3,则B(0,3),
当y=0时,-x+3=0,解得x=4,则C(4,0),
把B(0,3),C(4,0)代入y=ax2+x+c得
所以该抛物线的解析式为y=-x2+x+3.
(2)当点E在直线BC下方的抛物线上时,一定有两个对应的点E满足△BEC的面积为S,
所以当E点在直线BC上方的抛物线上时,只能有一个对应的E点满足△BEC的面积为S,
即此时过E点的直线与抛物线只有一个公共点,
设此时直线解析式为y=-x+b,
方程组只有一组解,
方程-x2+x+3=-x+b有两个相等的实数解,
则Δ=122-4×3×(-24+8b)=0,解得b=,解方程得x1=x2=2,
所以点E的坐标为(2,3),
此时S△BEC=×4×(3-)=3,
所以当S=3时,对应的点E有且只有三个.
课堂检测
1.B　2.B

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