资源简介

25.2.2 公式法
素养目标
1.知道一元二次方程根的判别式和求根公式的推导过程.
2.会用根的判别式判断方程根的情况,能熟练地运用公式法求解一元二次方程.
3.发展严谨、高效的代数运算能力,强化对数学符号的理解与运用意识.
重点
用公式法求解一元二次方程.
【自主预习】
预学思考
知识点一 一元二次方程根的判别式
　　阅读课本本课时“归纳”及之前的内容,补全下列新知要点:
　　一般地,式子 叫作一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式,即Δ= .当Δ>0时,方程有 的实数根;当Δ=0时,方程有 的实数根;当Δ<0时,方程 实数根.
知识点二 用公式法解一元二次方程
　　阅读课本本课时“归纳”之后的内容,补全下列新知要点:
1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式:当b2-4ac 0时,它的根x=　　　　　　.
2.用公式法解一元二次方程的一般步骤:
(1)把方程化为 ,确定a,b,c的
值(各项系数若有分数,通常化为整数);
(2)求出 的值,根据其值的情况确定一元二次方程是否有实数根;
(3)若 ≥0,则可以将一般式中的a,b,c的值代入求根公式x= .
自学检测
1.用公式法解一元二次方程2x2-x-1=0时,a,b,c的值依次为 ( )
A.2,1,1　　　　 B.2,-1,-1
C.2,1,-1　　　　 D.-2,1,1
2.一元二次方程x2-5x+10=0的根的情况是 ( )
A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根
【合作探究】
题型精讲
题型1 根的判别式
例1　关于x的方程2x2-(4k+1)x+2k2-1=0,当k取何值时.
(1)方程有两个不相等的实数根
(2)方程有两个相等的实数根
(3)方程没有实数根
变式训练　
1.已知关于x的一元二次方程(k-1)x2-2x+1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是 .
2.已知关于x的方程x2-2mx+2m-2=0.
(1)若此方程的一个根为-3,则m的值为　　　　.
(2)求证:对于任何实数m,此方程总有两个不相等的实数根.
题型2 用公式法解一元二次方程
例2　(运算能力)用公式法解下列方程.
(1)x2+5x-6=0;(2)4x2-3x-1=x-2;
(3)x2+1-6x=0.
【方法归纳交流】用公式法解一元二次方程,先把方程化为 形式,确定a,b,c的值,如果 ≥0,那么方程的实数根可以写为　　　　　　;如果 <0,那么方程无实数根.
变式训练　
1.(逆向思维)在用公式法解一元二次方程时,代入a,b,c得到x=,则求解的一元二次方程是 ( )
A.3x2+2x-1=0　　　　 B.2x2+4x-1=0
C.x2-2x+3=0　　　　 D.3x2-2x-1=0
2.解方程:(1)3x(x-3)=2(x+1)(x-1);(2)x2-x+2=0.
课堂检测
1.一元二次方程x2+2x-1=0的根的情况是 ( )
A.无实数根
B.有两个不相等的实数根
C.有两个相等的实数根
D.不能确定
2.用公式法解一元二次方程3x2+3=-2x时,若a=3,则b的值为 ( )
A.-2　　　　　　　B.2　　　　　　　C.3　　　　　　　D.-3
3.定义两种新运算:a b=2a+b,a☆b=a2b.则方程(x+1)☆2=(3 x)-2的解是 ( )
A.x1=0.5,x2=-2
B.x1=0.5,x2=-1
C.x1=-0.5,x2=2
D.x1=-0.5,x2=1
参考答案
【自主预习】
预学思考
知识点一
b2-4ac　b2-4ac　两个不相等　两个相等　无
知识点二
1.≥　
2.(1)一般形式
(2)b2-4ac
(3)b2-4ac　
自学检测
1.B　2.D
【合作探究】
题型精讲
题型1
例1
解:Δ=b2-4ac=(4k+1)2-4×2×(2k2-1)=8k+9.
(1)∵方程有两个不相等的实数根,∴Δ>0,∴8k+9>0,解得k>-.
(2)∵方程有两个相等的实数根,∴Δ=0,∴8k+9=0,解得k=-.
(3)∵方程没有实数根,∴Δ<0,
∴8k+9<0,解得k<-.
变式训练
1.k<2且k≠1
2.解:(1)-.
提示:把x=-3代入x2-2mx+2m-2=0,得9+6m+2m-2=0,
解得m=-.
故答案为-.
(2)证明:∵Δ=(-2m)2-4(2m-2)=4(m-1)2+4,
∴对于任何实数m,总有Δ>0,
∴方程总有两个不相等的实数根.
题型2
例2
解:(1)∵a=1,b=5,c=-6,
∴Δ=b2-4ac=52-4×1×(-6)=49>0,
∴x=,∴x1=1,x2=-6.
(2)原方程可化为4x2-4x+1=0.
∵a=4,b=-4,c=1,
∴Δ=b2-4ac=0,∴x=,
∴x1=x2=.
(3)∵a=1,b=-6,c=1,
∴Δ=b2-4ac=32,∴x=,
∴x1=3+2,x2=3-2.
方法归纳交流
一般　b2-4ac　x=　b2-4ac
变式训练
1.D
2.解:(1)化为一般式为x2-9x+2=0,
解得x1=,x2=.
(2)Δ=b2-4ac=(-1)2-4××2=-23<0,
∴此方程无实数根.
课堂检测
1.B　2.B　3.A

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