资源简介

25.3 第1课时 几何问题
素养目标
1.能熟练找出几何问题中的等量关系,并列出一元二次方程.
2.能根据实际问题建立一元二次方程的数学模型,并运用它解决实际问题.
3.通过解决矩形面积等几何问题,体会建模思想,提升数学运算与逻辑推理素养.
重点
用一元二次方程解决几何问题.
【自主预习】
预学思考
知识点 利用一元二次方程解决几何问题
　　阅读课本本课时的内容,补全下列新知要点:
利用一元二次方程解决几何问题的步骤:
1.审题.
2.找出等量关系.
常见等量关系
3.验证根是否符合 .
自学检测
1.(五育融合·劳动教育)为加强劳动教育,增加学生实践机会,某校拟用总长为15 m的篱笆,在两边都足够长的直角围墙的一角,围出一块50 m2的矩形菜地作为实践基地,如图,设矩形的一边长为x m,根据题意可列方程为 ( )
A.x(15-x)=50　　　　　　　
B.x(15+x)=50
C.x(-x)=50　　　　
D.x(+x)=50
2.如图,在一块矩形的劳动实践基地上有三条同宽的道路,横向有一条,纵向有两条,除道路外,剩下的是种植面积.已知该矩形基地的长为34 m,宽为18 m,种植面积为480 m2,则劳动基地中的道路宽为 m.
【合作探究】
题型精讲
题型1 利用勾股定理等关系构建方程解决问题
例1　(古代数学)古算趣题:“笨人执竿要进屋,无奈门框拦住竹,横多四尺竖多二,没法急得放声哭.有个邻居聪明者,教他斜竿对两角,笨伯依言试一试,不多不少刚抵足,借问竿长多少数,谁人算出我佩服.”若设竹竿的长为x尺,则可列方程 ( )
A.(x-2)2+(x-4)2=x2
B.(x+2)2+(x-4)2=x2
C.(x-2)2+(x+4)2=x2
D.(x+2)2+(x+4)2=x2
题型2 利用几何图形面积或体积构建方程解决问题
例2　小林准备进行如下操作实验:把一根长为40 cm的铁丝剪成两段,并把每一段各围成一个正方形.
(1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm2,小林该怎么剪
(2)小峰对小林说:“这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm2.”他的说法对吗 请说明理由.
学习小助手 　设其中一个正方形的边长为x,面积可表示为 cm2;另一个正方形的边长可表示为 cm,面积可表示为 cm2.
变式训练　一个长方体木盒的高是8 cm,长比宽多4 cm,体积是480 cm3,求这个木盒的长.设这个木盒的长为x cm,则可列方程 ( )
A.4x(x-8)=480　　　　 B.4x(x+8)=480
C.8x(x-4)=480　　　　 D.8x(x+4)=480
课堂检测
1.(数学文化·矩形田地面积问题)《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作.其中有一个数学问题:“直田积八百九十一步,只云长阔共六十步,问长多阔几何 ”译文:“一块矩形田地的面积为891平方步,只知道它的长与宽共60步,问它的长比宽多多少步 ”设矩形田地的长为x步,则下列说法正确的是 ( )
A.由题意可列方程x(6-x)=891
B.由题意可列方程x(60+x)=891
C.x=32
D.长比宽多6步
2.如图,老李想用长70 m的栅栏,再借助房屋的外墙(外墙足够长)围成一个矩形羊圈ABCD,并在边BC上留一个2 m宽的门(建在EF处,另用其他材料).
(1)当羊圈的长和宽分别为多少米时,能围成一个面积为640 m2的羊圈
(2)羊圈的面积能达到650 m2吗 如果能,请你给出设计方案;如果不能,请说明理由.
参考答案
【自主预习】
预学思考
知识点一
2.勾股　面积　3.实际意义
自学检测
1.A　2.2
【合作探究】
题型精讲
题型1
例1　A
题型2
例2
学习小助手
x2　(10-x)　(10-x)2
解:(1)设其中一个正方形的边长为 x cm ,则另一个正方形的边长为(10 -x)cm.
由题意得x2+(10-x)2=58,解得x1=3,x2=7.
因为4×3=12,4×7=28,
所以小林应把绳子剪成12 cm和28 cm的两段.
(2)假设能围成.根据题意得x2+(10-x)2=48,化简得x2-10x+26=0.
因为b2-4ac=(-10)2-4×1×26=-4<0,所以此方程没有实数根,故小峰的说法是对的.
变式训练
C
课堂检测
1.D
2.解:(1)设矩形ABCD的边AB=x m,则边BC=70-2x+2=(72-2x)m.
根据题意列一元二次方程,得x(72-2x)=640,
解得x1=16,x2=20.
当x=16时,72-2x=72-32=40;
当x=20时,72-2x=72-40=32.
答:当羊圈的长为40 m,宽为16 m或长为32 m,宽为20 m时,能围成一个面积为640 m2的羊圈.
(2)不能,理由如下:
由题意列一元二次方程,得x(72-2x)=650,
整理得x2-36x+325=0.
∵Δ=(-36)2-4×325=-4<0,
∴一元二次方程没有实数根,
∴羊圈的面积不能达到650 m2.

展开更多......

收起↑