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第二十六章　二次函数　26.2 二次函数的图象与性质　26.2.3 二次函数 y＝ax ＋bx＋c 的图象与性质（第1课时）——用配方法求顶点式
【学习目标】
① 掌握用配方法将二次函数 y＝ax ＋bx＋c（a≠0）化为顶点式 y＝a(x－h) ＋k；
② 能由顶点式直接写出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标与最值；
③ 能根据配方结果，解决与抛物线平移、增减性及函数值大小比较有关的简单问题。
【学习重难点】
重点：用配方法把一般式 y＝ax ＋bx＋c 化为顶点式 y＝a(x－h) ＋k；由顶点式直接读顶点(h,k)、对称轴 x＝h 及最值。
难点：a≠1 时先提取系数 a 再配方，过程中的恒等变形与符号处理；结合图象讨论增减性与最值。
【知识链接】（旧知回顾）
1. 二次函数 y＝a(x－h) ＋k 的图象是一条抛物线，其对称轴是直线 x＝________，顶点坐标是（________，________）。
2. 当 a>0 时，抛物线开口向________，有最________值；当 a<0 时，开口向________，有最________值。
3. 完全平方公式：(x＋p) ＝x ＋________x＋________。反过来，对 x ＋bx 配方，要加上一次项系数一半的平方，即加上（________） ，再减去同样的数，保持恒等。
【自主探究】
探究1　a＝1 时的配方（y＝x ＋bx＋c）
【例1】用配方法将下列函数化为 y＝a(x－h) ＋k 的形式，并指出开口方向、对称轴和顶点坐标。
(1) y＝x ＋6x＋8
　　＝x ＋6x＋________＋________＋8　　　（加上并减去一次项系数一半的平方）
　　＝(x＋________) ＋________
　　因为 a＝1>0，开口向________；对称轴 x＝________；顶点坐标（________）。
(2) y＝x －8x
　　＝x －8x＋________－________
　　＝(x－________) －________
　　因为 a＝1>0，开口向________；对称轴 x＝________；顶点坐标（________）。
【变式1】(1) y＝x －2x－4 化为顶点式，并写出顶点坐标与对称轴：
　　y＝x －2x＋________－________－4＝(x－________) －________
　　顶点坐标（________），对称轴 x＝________。
　　(2) y＝x ＋3x－1，求当 x 取何值时 y 有最小值，最小值是多少。
　　y＝x ＋3x＋（________） －（________） －1＝(x＋________) －________
　　当 x＝________时，y 有最________值，为________。
小结（a＝1 时的配方步骤）：把二次项和一次项结合，加上并减去（________） ，凑成完全平方，得 y＝(x＋________) ＋________。
　　通用结论：y＝x ＋bx＋c＝(x＋________) ＋________。
探究2　a≠1 时的配方（y＝ax ＋bx＋c，a≠0）
【例2】用配方法化为顶点式，并指出开口方向、对称轴、顶点坐标。
(1) y＝－3x －6x＋2
　　＝－3(x ＋________x)＋2
　　＝－3[x ＋________x＋（________） －（________） ]＋2
　　＝－3(x＋________) ＋________
　　开口向下；对称轴 x＝________；顶点坐标（________）。
(2) y＝ x －4x＋3
　　＝ (x －________x)＋3
　　＝ [x －________x＋（________） －（________） ]＋3
　　＝ (x－________) ＋________
　　开口向上；对称轴 x＝________；顶点坐标（________）。
【变式2】(1) y＝2x －8x－6：y＝2(x －________x)－6＝2(x－________) －________
　　开口方向________；对称轴 x＝________；顶点坐标（________）。
　　(2) y＝－ x ＋8x－2：y＝－ (x －________x)－2＝－ (x－________) ＋________
　　开口方向________；顶点坐标（________）；对称轴 x＝________。
小结（a≠1 时的配方步骤）：① 提取________（二次项系数 a）；② 括号内对 x 的二次式配方；③ ________常数项；④ 乘回 a 并化简。
　　通用结论：y＝ax ＋bx＋c＝a(x＋________) ＋________。
【合作交流】（典型例题，先独立完成后师生共研）
【练习1】抛物线 y＝x ＋4x＋2 的对称轴是直线 x＝________。（配方得 y＝(x＋2) －2）
【练习2】抛物线 y＝－x ＋6x＋1 的最大值是________。（配方得 y＝－(x－3) ＋10）
【练习3】将 y＝－2x ＋8x－8 配方为 y＝－2(x－________) ；再把它的图象向左平移 2 个单位、向上平移 3 个单位，得到 y＝________。
【练习4】抛物线 y＝－2x ＋4x＋6＝－2(x－1) ＋8，开口向下，对称轴 x＝________，顶点（________）；当 x>1 时 y 随 x 增大而________；若 x >x >1，则 y ________y （填＜或＞）。
【当堂检测】
1. 抛物线 y＝x ＋4x＋2 的对称轴是直线（　　）。A.x＝－2　B.x＝2　C.x＝－4　D.x＝4
2. 二次函数 y＝－x ＋6x＋1 的最大值是________。
3. 将抛物线 y＝－2x ＋8x－8 配方得 y＝________；把它的图象向左平移 2 个单位、向上平移 3 个单位，得到 y＝________。
4. 已知 y＝－2x ＋4x＋6＝－2(x－1) ＋8，若 x >x >1，则 y ________y （填＜或＞）。
【学习小结】
1. a＝1 配方：加上并减去（________） ，得 y＝(x＋________) ＋________。
2. a≠1 配方四步：________→________→________→________。
3. 顶点式 y＝a(x－h) ＋k 中，对称轴为 x＝________，顶点坐标为（________，________）；当 a>0 时 y 有最________值，当 a<0 时 y 有最________值。
【拓展延伸】
配方法本质上是通过恒等变形把一般式化为顶点式；其顶点横坐标 h＝－，与后续“公式法/顶点坐标公式”的结果一致。
思考：能否直接由系数 a、b、c 写出顶点坐标？________（提示：横坐标 x＝________，纵坐标 y＝________）
【参考答案与解析】
（以下为重点模块参考答案，供教师备课与学生自纠使用；前面各模块作答区不含答案）
一、知识链接
1. h；h，k。
2. 上；小；下；大。
3. 2p；p ；(b/2)。
二、自主探究
探究1 例1：(1) 加9减9；(x+3) -1；开口向上；对称轴x=-3；顶点(-3,-1)。
　　(2) 加16减16；(x-4) -16；开口向上；对称轴x=4；顶点(4,-16)。
变式1：(1) (x-1) -5；顶点(1,-5)；对称轴x=1。(2) (x+3/2) -13/4；当x=-3/2时取最小值-13/4。
小结：加(b/2) 减(b/2) ；(x+b/2) +(4c-b )/4。通用：y=(x+b/2) +(4c-b )/4。
探究2 例2：(1) -3(x+1) +5；向下；对称轴x=-1；顶点(-1,5)。(2) (x-4) -5；向上；对称轴x=4；顶点(4,-5)。
变式2：(1) 2(x-2) -14；向上；对称轴x=2；顶点(2,-14)。(2) - (x-6) +22；向下；顶点(6,22)；对称轴x=6。
小结：① 提取 a；③ 合并常数项；④ 乘回 a。通用：y=a(x+b/(2a)) +(4ac-b )/(4a)。
三、合作交流
练习1：对称轴 x=-2（选A）。
练习2：最大值为 10。
练习3：配方得 y=-2(x-2) ；左移2上移3得 y=-2x +3。
练习4：对称轴x=1；顶点(1,8)；减小；y 四、当堂检测
1. A（对称轴 x=-2）。
2. 最大值为 10。
3. y=-2(x-2) ；平移后 y=-2x +3（左2上3）。
4. y 五、学习小结
1. (b/2)；b/2；(4c-b )/4。
2. 提取a→配方→合并→乘a。
3. h；h，k；小；大。
六、拓展延伸
能；横坐标 x=-b/(2a)，纵坐标 y=(4ac-b )/(4a)。配方法与公式法（顶点坐标公式）结果一致。

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