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第二十六章　二次函数　26.2 二次函数的图象与性质　26.2.3 二次函数 y＝ax ＋bx＋c 的图象与性质（第2课时）——公式法求顶点坐标
【学习目标】
① 理解顶点公式的推导，会用公式 h＝－、k＝ 求抛物线 y＝a＋bx＋c 的顶点坐标与对称轴；
② 会用公式法或配方法求二次函数的顶点坐标、对称轴，并能由已知条件求待定系数；
③ 能结合顶点坐标判断二次函数的增减性与最值，解决函数图象与性质的综合问题。
【学习重难点】
重点：顶点公式 h＝－、k＝ 的记忆与运用；用公式法求顶点坐标与对称轴。
难点：利用顶点坐标判断图象的增减性与最值；含参数的二次函数最值与取值范围问题。
【知识链接】（复习旧知）
1. 二次函数 y＝a(x－h) ＋k 叫做顶点式，其图象的顶点坐标为（________，________），对称轴为直线 x＝________。
2. 用配方法把 y＝x －4x＋3 化为顶点式：y＝x －4x＋3＝(x －4x＋________)－________＋3＝(x－________) ＋________。
3. 配方法步骤：① 提二次项系数；② 加上并减去________的一半的平方；③ 写成________的形式。
【自主探究】
探究1　顶点公式的推导与应用
例1 用配方法求下列抛物线的顶点坐标：
(1) y＝－4x＋3＝(x －4x＋4)－4＋3＝(x－________) ＋________，抛物线开口向________，对称轴为直线 x＝________，顶点坐标为（________，________）；
(2) y＝－2x－1＝(x －4x＋4)－2－1＝(x－________) ＋________，抛物线开口向________，对称轴为直线 x＝________，顶点坐标为（________，________）。
顶点公式：对任意抛物线 y＝a＋bx＋c（a≠0），其对称轴为直线 x＝h＝－，纵坐标为 k＝，即顶点坐标为（－，）。
探究2　运用顶点公式求待定系数
例2 已知抛物线 y＝＋（m＋1）x 的对称轴为直线 x＝－2，则 m 的值为（　　）。
　解：由对称轴公式 x＝－，a＝1，b＝m＋1，得 －(m＋1)／2＝－2，解得 m＝________；
　　此时顶点横坐标为 －2，纵坐标 k＝(－2) ＋(m＋1)·(－2)＝4－2(m＋1)＝4－2×4＝________，故顶点坐标为（－2，________）。
　【变式2】已知抛物线 y＝－＋mx＋m＋1 有最大值 4，求 m 的值与对称轴。
　解：a＝－1＜0，函数有最大值，最大值为顶点纵坐标 k＝＝________＝4，整理得 m ＋4m－12＝0，解得 m＝________或________；
　　当 m＝－6 时，对称轴 x＝－＝－(－6)／(－2)＝________；当 m＝2 时，对称轴 x＝－2／(－2)＝________。
探究3　二次函数的图象与性质（增减性与最值）
例3 关于抛物线 y＝－2＋4x＋1，下列结论正确的是（　　）。
　A. 开口向上；　B. 对称轴为直线 x＝－1；　C. 顶点坐标为(－1,3)；　D. 当 x＜1 时，y 随 x 增大而增大。
　解：a＝－2＜0，开口向________；对称轴 x＝－b/(2a)＝－4／(－4)＝________，顶点纵坐标 k＝＝________，故顶点为（________，________）。故选________。
　【变式3】已知抛物线 y＝－＋2x＋c 上有三点 A(－1,y )、B(3,y )、C(5,y )，则 y 、y 、y 的大小关系是（　　）。
　解：a＝－1＜0，开口向下，对称轴为直线 x＝－b/(2a)＝－2／(－2)＝________；点 A(－1,y ) 与 B(3,y ) 关于直线 x＝1 对称，故 y ________y ；又 C(5,y ) 到对称轴的距离最________，故 y ＝y ________y 。
【合作交流】（方法归纳，师生共研）
求二次函数 y＝a＋bx＋c 的对称轴和顶点坐标，常用的两种方法：① ________（将一般式化为顶点式 y＝a(x－h) ＋k）；② ________（直接用顶点公式）。
当 a＝1 且 b 为偶数时，用________较简便；当 a≠1 时，一般用________更方便。两种方法在本质上________（填“相同”或“不同”）。
【当堂检测】
1. 抛物线 y＝－4x＋2 的对称轴是直线（　　）。A.x＝2　B.x＝3　C.x＝4　D.x＝6
2. 已知二次函数 y＝2＋bx＋c 的部分对应值如下表：
　　x　　 －3　　－2　　－1　　 0　　 1
　　y　　 3　　 －3　　－5　　－3　　________
　　由表格的对称性可知，当 x＝________时 y 取得最小值 －5，故对称轴为直线 x＝________；x＝1 与 x＝－3 关于对称轴对称，故 x＝1 时 y＝________。
3. 已知二次函数 y＝－2－4x＋2 的部分对应值如下表：
　　x　　 －3　　－2　　－1　　 0　　 1
　　y　　 －4　　 2　　 4　　 2　　－4
　　该函数在 －2＜x＜4 的取值范围是（　　）。提示：顶点横坐标 x＝－＝－(－4)／(－4)＝________，最大值为 y＝________；当 x＝4 时 y＝－2×16－16＋2＝________，故取值范围为________。
4. 二次函数 y＝－mx＋3，当 x≥1 时 y 随 x 增大而增大，则 m 的取值范围是（　　）。
　A.m≥1　B.m≤1　C.m≤2　D.m≥2
　解：a＝1＞0，开口向上，对称轴 x＝－＝－(－m)／2＝________；要使 x≥1 时 y 随 x 增大而增大，需对称轴 x≤1，即________≤1，解得 m≤2。故选________。
5. 已知点 A(0,y )、B(1,y )、C(5,y ) 在抛物线 y＝a－2ax－5（a＜0）上，则 y 、y 、y 的大小关系是（　　）。
　A.y ＞y ＞y 　B.y ＞y ＞y 　C.y ＞y ＞y 　D.y ＞y ＞y
　解：对称轴 x＝－b/(2a)＝－(－2a)／(2a)＝________；点 B 在对称轴上，y 最________；点 A 到对称轴距离为________，点 C 到对称轴距离为________，因 a＜0，离对称轴越远函数值越________，故 y ＞y ＞y 。选________。
6.（跨学科·体育运动）某投篮出手后球的高度 y（m）与水平距离 x（m）满足 y＝－0.1＋2.6x＋43。
　(1) 化为顶点式：y＝－0.1(x －26x)＋43＝－0.1(x－________) ＋________；
　(2) 当 0≤x≤13 时，y 随 x 增大而________（增强/减弱）；当 13＜x≤30 时，y 随 x 增大而________；在 x＝________时球达到最强，最强高度为________。
【学习小结】
1. 公式法：抛物线 y＝a＋bx＋c 的对称轴为直线 x＝h＝－，顶点纵坐标 k＝，顶点坐标为（h，k）。
2. 配方法（y＝a(x－h) ＋k）与公式法本质________（相同/不同），结果一致。
3. 利用顶点可求最值：a＞0 时有最________值；a＜0 时有最________值；还可判断对称轴两侧的增减性。
【拓展延伸】
思考：① 顶点公式 h＝－、k＝ 与配方法 y＝a(x－h) ＋k 本质一致，你知道为什么吗？
② 利用顶点坐标，除求最值外，还能解决哪些问题？例如判断________、求给定范围内的________等。
【参考答案与解析】
（以下为重点模块参考答案，供教师备课与学生自纠使用；前面各模块作答区不含答案）
一、知识链接
1. (h,k)；x＝h。
2. 4；－4；2；－1。
3. 一次项系数；a(x－h) ＋k（顶点式）。
二、自主探究
探究1 例1 (1) y＝(x－2) －1，开口向上，对称轴 x＝2，顶点(2,－1)；(2) y＝ (x－2) －3，开口向上，对称轴 x＝2，顶点(2,－3)。顶点公式：h＝－b/(2a)，k＝(4ac－b )/(4a)。
探究2 例2 m＝3，顶点(－2,－4)；变式2 m＝－6 或 2，当 m＝－6 时对称轴 x＝－3，当 m＝2 时对称轴 x＝1。
探究3 例3 选 D（a＝－2＜0 开口向下，对称轴 x＝1，顶点(1,3)）；变式3 A、B 关于 x＝1 对称，故 y ＝y ＞y 。
三、合作交流
两种方法：① 配方法（化为顶点式）；② 公式法。a＝1 且 b 为偶数时用配方法简便；a≠1 时用公式法；二者本质相同。
四、当堂检测
1. D（对称轴 x＝－(－4)/(2× )＝6）。
2. 当 x＝1 时 y＝3；最小值在 x＝－1 处，对称轴为直线 x＝－1。
3. 顶点横坐标 x＝－1 时 y 最大为 4；x＝4 时 y＝－46；故 －46＜y≤4。
4. C（对称轴 x＝m/2≤1，得 m≤2）。
5. D（对称轴 x＝1，y 最大；a＜0 离对称轴越远函数值越小，故 y ＞y ＞y ）。
6. (1) y＝－0.1(x－13) ＋59.9；(2) 0≤x≤13 时增强，13＜x≤30 时降低，x＝13 时最强，最强高度 59.9。
五、学习小结
1. h＝－b/(2a)，k＝(4ac－b )/(4a)。　2. 配方法（a(x－h) ＋k）与公式法本质相同。　3. a＞0 有最小值，a＜0 有最大值。
六、拓展延伸（开放题，鼓励自主探究，略）

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