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27.1 反比例函数的概念
【学习目标】
① 能从实际问题（面积、路程等）中抽象出反比例函数关系，理解反比例函数的意义；
② 掌握反比例函数的三种等价表达形式 y＝k/x、xy＝k、y＝kx （k为常数，k≠0），会判断一个函数是否为反比例函数；
③ 会用待定系数法求反比例函数的解析式，并能根据解析式求函数值或自变量的值。
【学习重难点】
重点：反比例函数的概念与三种形式；待定系数法求解析式。
难点：
准确识别反比例函数（排除 、、 等形式），理解“y与x＋a成反比例”的复合形式。
【预习导学】
问题引入.
1. 某住宅小区要种植一块面积为 1000 m 的矩形草坪，草坪的长 y（单位：m）随宽 x（单位：m）的变化而变化，则 y 与 x 的关系式为________________。
2. 甲、乙两地相距 500 km，某列车的平均速度 v（单位：km/h）随时间 t（单位：h）的变化而变化，则 v 与 t 的关系式为________________。
知识预习
3. 形如 y＝（k为常数，k≠0）的函数，叫作反比例函数，自变量 x 的取值范围是________________。
4. 反比例函数的三种解析式：y＝，xy＝k，y＝k（k为常数，k≠0）。
【自主探究】
探究1　反比例函数的概念辨析
【例1】下列 y 是 x 的反比例函数吗？如果是，请写出对应的比例系数 k；如果不是，请在横线上画“×”。
(1) y＝：________；　(2) xy＝8：________；　(3) y＝：________；
(4) y＝：________；　(5) y＝：________；　(6) y＝：________。
【变式1】(1) 下列函数中，y 是 x 的反比例函数的是（　 　）
A. y＝　B. y＝　C. y＝－　D. y＝－；
　　　(2) 如果函数 y＝5是反比例函数，那么 k 的值是________。
探究2　用待定系数法求反比例函数解析式
【例2】已知 y 是 x 的反比例函数，当 x＝2 时，y＝6。
(1) 写出 y 关于 x 的函数解析式：________________；
(2) 当 x＝4 时，求 y 的值：________________。
【变式2】已知 y 是 x 的反比例函数，当 x＝－2 时，y＝6。
(1) 求这个反比例函数的解析式：________________；
(2) 当 y＝4 时，求 x 的值：________________。
【合作交流】（典型例题，先独立完成后师生共研）
识别反比例函数的关键：
① 解析式能化为形如 y＝ 的形式（k 为常数，k≠0），或写成 xy＝________，或写成 y＝k（指数为－1）；
② 比例系数 k________0；
③ 自变量________。
注意与正比例函数 y＝kx（k≠0，指数为________）的区别。
【当堂检测】
1. 下列函数中，y 是 x 的反比例函数的是（　 　）
A. y＝　B. y＝6x　C. x＋y＝6　D. y＝。
2. 反比例函数 y＝－的比例系数 k 是（　 　）
A. －3　B. －　C. 　D. －。
3. 一个圆锥的体积是 100 cm ，则它的底面积 S（单位：cm ）与高 h（单位：cm）之间的函数关系式为 S＝________________。
4. 已知函数 y＝(a－2)，若 y 是 x 的反比例函数，则 a 的值为________________。
5. 已知反比例函数 y＝，当 x＝2 时，y＝3。
(1) k＝________________；
(2) 当 x＝－3 时，y＝________________。
6. 如图，△ABC 的面积为 6 cm ，BC＝x cm，高 AD＝y cm。
(1) y 与 x 的函数关系式：y＝________________；
(2) 当 x＝4 时，AD 的长为________________ cm。
7. 面积为定值的一组菱形中，当菱形的一条对角线长为 4 cm 时，它的另一条对角线长为 6 cm。
(1) 设两条对角线的长分别为 x（cm）、y（cm），则 y 关于 x 的函数解析式为________________，这个函数是________________函数，比例系数是________________；
(2) 若其中一个菱形的一条对角线长为 8 cm，则这个菱形的边长为________________ cm。
8. 已知 y 与 x＋2 成反比例，当 x＝2 时，y＝3。
(1) 求 y 关于 x 的函数解析式：________________；
(2) 当 x＝－4 时，求 y 的值：________________。
【学习小结】
1. 反比例函数三种形式：y＝、xy＝k、y＝k（k≠0，x≠0）。
2. “y 与 x＋a 成反比例”应设 y＝（k≠0），不能直接写 y＝k/x。
3. 待定系数法：由一组 x、y 的值得 k＝xy，再写出解析式。
【拓展延伸】
思考：① 反比例函数 k 的几何意义（后续学习：过图象上一点作坐标轴垂线，所围矩形面积＝|k|）；② 与正比例函数 y＝kx（指数为 1）的本质区别——自变量指数一个是－1、一个是 1。
【参考答案与解析】
一、知识链接
1. ；。
2. 自变量 x 的取值范围是 x≠0。
3. k；k。
二、自主探究
探究1 例1：(1) ×（为常数函数，不含 x 的倒数）；(2) k＝8；(3) k＝；(4) k＝；(5) ×（正比例函数）；(6) ×（不是 x 的－1 次幂形式）。
变式1：(1) C（只有 C 是 y＝ 形式）；(2) k－3＝－1 → k＝2。
探究2 例2：(1) 设 y＝，k＝2×6＝12，故 y＝；(2) x＝4 时 y＝＝3。
变式2：(1) k＝－2×6＝－12，故 y＝－；(2) 由 －＝4 得 x＝－3。
三、合作交流
k；k；≠；x≠0；1。
四、当堂检测
1. D（y＝ 为反比例函数）。
2. D（化为 y＝－·，k＝－）。
3. 由 V＝Sh＝100 得 S＝。
4. 3－a ＝－1 且 a－2≠0 → a ＝4 → a＝±2，又 a≠2，故 a＝－2。
5. (1) k－1＝2×3＝6 → k＝7；(2) 解析式为 y＝，x＝－3 时 y＝＝－2。
6. (1) 由 xy＝6 得 y＝；(2) x＝4 时 y＝＝3，即 AD＝3 cm。
7. (1) 面积 xy＝×4×6＝12，故 y＝，是反比例函数，k＝24；(2) x＝8 时 y＝3，边长＝＝ cm。
8. (1) 设 y＝，k＝(2＋2)×3＝12，故 y＝；(2) x＝－4 时 y＝＝－6。
五、学习小结
见正文三点。
六、拓展延伸
略。

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