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25.3、实际问题与一元二次方程
探究1（传染问题）
有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
分析：设每轮传染中平均一个人传染了x个人.
开始有一个人患了流感，第一轮的传染源就是这个人，他传染了x个人，用代数式表示，第一轮后共有__________人患了流感；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x个人，用代数式表示，第二轮后共有______________人患了流感.
列方程 1+x+x(1+x)=121
解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人.根据题意，列出方程
1+x+x(1+x)=121
(1+x)2=121
解方程，得 x1=10，x2=-12(不合题意，舍去)
答：每轮传染中平均一个人传染了10个人.
思考
如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少人患流感？n轮呢？
三轮传染后：121+10×121=(10+1)3=113=1331(人)
n轮传染后：11n(人)
探究2
两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1t甲种药品的成本是3000元，生产1t乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？
分析：
甲种药品成本的年平均下降额为：(5000-3000)÷2=1000(元)
乙种药品成本的年平均下降额为：(6000-3600)÷2=1200(元)
显然，乙种药品成本的年平均下降额较大.但是，年平均下降额(元)不等同于年平均下降率(百分数).
解：设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种药品成本为___________元，两年后甲种药品成本为___________元，根据题意，列出方程
5000(1-x)2=3000
解得 x1≈0.225，x2≈1.775(不合题意，舍去)
答：根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%.
算一算：乙种药品成本的年平均下降率是多少？
类似于甲种药品成本年平均下降率的计算，根据题意，列出方程 6000(1-y)2=3600
解得乙种药品成本年平均下降率约为22.5%.
比较：两种药品成本的年平均下降率.(相同)
思考
经过计算，你能得出什么结论？成本下降额大的药品，它的成本下降率一定也大吗？应怎样全面地比较几个对象的变化状况？
成本下降额大的产品，其成本下降率不一定大. 成本下降额表示绝对变化量，成本下降率表示相对变化量，两者兼顾才能全面比较对象的变化状况.
方法总结
类似地，这种增长率的问题在实际生活中普遍存在.它有一定的模式：若平均增长(或降低)百分率为x，增长(或降低)前的量是a，增长(或降低)n次后的量是b，则它们的数量关系可表示为：a(1±x)n=b (其中增长取+，降低取-)
练习1
1.在古代有一部落，15位族人外出狩猎回来，其中有5个人染上了瘟疫，经过两轮传染后部落里共有125个人染上了瘟疫，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
2.某商店6月份的利润是2.5万元，要使8月份的利润达到3.6万元，这两个月的月平均增长率是多少？
探究3 (几何图形问题)
练一练
现有长19cm，宽15cm的矩形硬纸片，将它的四角各剪去一个同样大小的正方形后，再折成一个无盖的纸盒，要使纸盒的底面积为117cm2，问剪去的小正方形的边长应是多少？
解：设剪去的小正方形的边长为xcm，则盒底的长为(19-2x)cm，宽为(15-2x)cm，依题意得
(19-2x)(15-2x)=117
整理得 x2-17x+42=0
解得 x1=3，x2=14(不合题意，舍去)
答：剪去的小正方形的边长应为3cm.
例：如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形.如果要使四周彩色的边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度(结果保留小数点后一位)？
分析：封面的长宽之比是27:21=9:7，中央的矩形的长宽之比也应是9:7.设中央矩形的长和宽分别是9a cm和7a cm，由此得上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是
(27-9a): (21-7a)=9(3-a):7(3-a)=9:7
解：设上、下边衬的宽均为9x cm，左、右边衬的宽均为7x cm，则中央的矩形的长为(27-18x)cm，宽为(21-14x)cm，根据题意，列出方程
(27-18x)(21-14x)= ×27×21
整理，得 16x2-48x+9=0
解得 x1=，x2=(不合题意，舍去)
则：9x≈1.8，7x≈1.4.
答：上、下边衬的宽约为1.8cm，左、右边衬的宽约为1.4cm.
思考
如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决上面的问题？请你试一试.
解：设中央的矩形的长、宽分别为9y cm、7y cm，根据题意，列出方程
9y·7y=×27×21
整理，得 y2=
解得 y1=，y2= (不合题意，舍去)
则：(27-9y)≈1.8， (21-7y)≈1.4.
答：上、下边衬的宽约为1.8cm，左、右边衬的宽约为1.4cm.
练习2
用22cm长的铁丝，折成一个面积是30cm2的矩形，求这个矩形的长和宽.又问：能否折成面积是32cm 2的矩形呢？为什么？
答案：
练习1
1、解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人.根据题意，列出方程
5+5x+x(5+5x)=125，整理得 5(1+x)2=125
解方程，得 x1=4，x2=-6(不合题意，舍去)
答：每轮传染中平均一个人传染了4个人.
2、解：设这两个月的月平均增长率是x.根据题意，列出方程
2.5(1+x)2=3.6
解方程，得 x1=0.2，x2=-2.2(不合题意，舍去)
答：这两个月的月平均增长率为20%.
练习2
解：设矩形的一边长为x cm，则另一边长为(11-x)㎝，依题意得
x(11-x)=30，解得 x1=6，x2=5
因此，这个矩形的长和宽分别为6cm、5cm.
不能折成面积是32cm2的矩形，理由如下：
x(11-x)=32，整理得 x2-11x+32=0
∵ b2-4ac=(-11)2-4×1×32=-7＜0
∴ 方程无实数根
∴ 不能折成面积是32cm2的矩形

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