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2026秋人教九上数学AI赋能完全备课【导学案】
第28章 旋转
28.1 图形的旋转
第 1 课时 旋转的概念与性质
【学习目标】
学习目标：1.掌握旋转的有关概念及基本性质.
2.能够根据旋转的基本性质解决实际问题.
重点：掌握旋转的有关概念及基本性质.
难点：探索旋转的性质并能运用旋转的性质解决实际问题.
【复习导入】
观察下列图形，说一说上列图形的变换方式是什么？一般研究它们的哪些方面呢？
问题1：对于平移和轴对称，我们是从哪些方面学习的？
问题2：说一说，平移和轴对称的定义. 它们是如何得出的呢？
【合作探究】
探究点1：旋转的概念
观察上面的动图，它们有什么特点？
合作探究
活动：
准备素材：砝码，塑料绳等.
操作步骤：
(1) 将砝码系在塑料绳一端；
(2) 用手握住塑料绳的另一端，自然悬吊；
(3) 推动砝码使其转动.
观察并思考：
(1) 旋转中拿住细绳一端的是否改变过位置
(2) 旋转过程中细绳的长度是否发生改变
(3) 砝码向哪个方向旋转
(4) 砝码旋转的角度是什么
追问：怎样来定义这类变换呢？请类比平移的定义给出旋转的定义.
归纳总结：把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫作图形的旋转，点O叫作旋转中心，转动的角叫作旋转角.如果图形上的点P经过旋转后变为点P'，那么这两个点叫作这个旋转的对应点.温馨提示：旋转的范围是“平面内”，其中“旋转中心、旋转角、旋转方向”称为旋转的三要素.
[例题精析]
例1 下列物体的运动是旋转的有 .
①电梯的升降运动； ②行驶中的汽车车轮；
③方向盘的转动； ④骑自行车的人；
总结：判断一种运动是否属于旋转，先看图形是否在同一平面内运动，其次要看是否有旋转中心、旋转角、旋转方向，还要注意判断前后图形大小是否发生了变化。
例2 钟表的指针在不停地转动，从3时到5时，时针转动了______°，则旋转中心是_____，旋转角是_________，旋转角等于____°，
其中的对应点有_______.
总结：确定一次图形的旋转时，必须明确：旋转中心、旋转角、旋转方向。
温馨提示：旋转的范围是“平面内”，其中“旋转中心，旋转角，旋转方向”称为旋转的三要素。
探究点2：旋转的性质
【操作】
如图，利用以下方法或信息技术工具，将△ABC 绕点 O 旋转一个角度，得到△A'B'C'.
(1) 在硬纸板上，先挖一个三角形洞，再另扎一个点 O 作为旋转中心
(2) 硬纸板下面放一张白纸，先在纸上描出挖掉的三角形图案(△ABC )，然后围绕旋转中心 O 转动硬纸板，再描出这个挖掉的三角形(△A′B′C′ )，移开硬纸板.
①OA与OA'，OB与OB'，OC与OC'分别有何关系？
②∠AOA'，∠BOB'，∠COC'之间有何关系？
③ △ABC 与 △A′B′C′ 有何关系？
思考：你能归纳出旋转的性质吗？
[归纳总结]
1.旋转前、后的图形全等；
2.对应点到旋转中心的距离相等；
3.对应点与旋转中心所连线段所成的角相等，都等于旋转角.
例3 如图，将△ABC绕点C顺时针旋转35°，得到△A'B'C，若∠BCA'＝100°，求∠B'CA的度数.
[练一练]
1. 如图，将△ABC 绕点 A 逆时针旋转 150°，得到△ADE，这时点 B，C，D 恰好在同一直线上，求∠B 的度数。
[链接中考]
1. 如图，在直角坐标系中，线段 AB 是将△ABC 绕着点P(3，2) 逆时针旋转一定角度后得到的△A1B1C1的一部分，则点 C 的对应点 C1 的坐标是( )
A. (-2，3)
B. (-3，2)
C. (-2，4)
D. (-3，3)
[归纳总结]
方法点拨：利用旋转的性质解决问题时应抓住以下几点：
(1)明确旋转中的“变”与“不变”；
(2)找准旋转前后的“对应关系”；
(3)充分挖掘旋转过程中的相等关系.
[想一想]
如图，将△ABC 逆时针旋转得到△DEF，如何确定它们的旋转中心位置？
[练一练]
2.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(1，2)、B(-2，2)、C(-1，0)．若将△ABC以某点为旋转中心，顺时针旋转 90°得到△DEF，则旋转中心的坐标是(　　)
(0，0)
(1，0)
(1，－1)
(2.5，0.5)
当堂反馈
1.下列运动属于旋转的是（　　）
A.篮球的滚动 B.钟表的钟摆的摆动
C.气球升空的运动 D.一个图形沿某直线对折的过程
2.如图，把Rt△ABC绕点C逆时针旋转90°得到△EDC.若AC＝7，BC＝3，则AD的长为　　.
第2题图 第3题图 第4题图
3.如图，点P是等边三角形ABC内的一点，连接PB，PC.将△PBC绕点B逆时针旋转到△P'BA的位置，则∠PBP'的度数是　　.
4.如图，△ABC的边AB绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜180°）得到线段AD，点B的对应点D落在线段BC的延长线上.若∠D＝40°，则α的度数为　　.
5.如图，在△ABC中，∠B＝10°，∠ACB＝20°，AB＝4cm，△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，且点C恰好成为AD的中点.
（1）指出旋转中心，并求出旋转的度数；
（2）求出∠BAE的度数和AE的长.
参考答案
【合作探究】
探究点1：旋转的概念
例题精析
例1 答案：②③
例2 答案：60；点 O（钟表中心）；∠POP′；60；P 与 P′。
探究点2：旋转的性质
【操作】
①分别相等.
②∠AOA'＝∠BOB'＝∠COC'.
③ △ABC≌△A′B′C′
例3.解：由旋转的性质可知，∠BCB'＝∠ACA'＝35°.
又因为∠BCB'＋∠B'CA＋∠ACA'＝∠BCA'＝100°，
所以∠B'CA＝30°.
练一练
1. 解：∵将△ABC 绕点 A 逆时针旋转 150°，得到△ADE，
∴∠BAD＝150°，AB＝AD。
∴∠B＝(180°－150°)/2＝15°。
答案：∠B＝15°。
链接中考
1. 答案：A. (－2，3)
想一想
练一练
2.答案：C
当堂反馈
1.　B　 2.　4. 3.　60°　. 4.　100°　.
5.
解：（1）∵△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，A为顶点，∴旋转中心是点A；根据旋转的性质可知∠CAE＝∠BAD＝180°－∠B－∠ACB＝150°，∴旋转角度是150°.
（2）由（1）可知∠BAE＝360°－150°×2＝60°，由旋转可知△ABC≌△ADE，∴AB＝AD，AC＝AE.
又∵C为AD的中点，∴AC＝AE＝AD＝AB＝×4＝2（cm）.
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