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2026秋人教九上数学AI赋能完全备课【导学案】
第28章 旋转
28.2 中心对称
28.2.1 中心对称及其性质
【学习目标】
1.理解并掌握中心对称的有关概念.
2.会画出与已知图形成中心对称的图形.
3.在发现、探究的过程中会用直观想象、分析、归纳、概括抽象的思维完成对中心对称变换从直观到抽象、感性认识到理性认识的转变.
学习重点：能利用中心对称、对称中心、关于中心对称的点的概念解决问题.
学习难点：准确理解中心对称的概念及性质，并利用其解决实际问题
【情境导入】
神秘的“麦田怪圈”
麦田怪圈，是指在麦田或其它田地上，通过某种未知力量(大多数怪圈是人类所为)把农作物压平而产生出来的几何图案. 下面的图案是什么样的图形呢？
【合作探究】
探究点1：中心对称及有关概念
问题1：如图①，把其中一个图案绕点O旋转180°，你有什么发现？
问题2：如图②，线段AC，BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD.把△OCD绕点O旋转180°，你有什么发现？
小组交流：你能说说上述旋转变换的共同点吗？
（1）图形中旋转中心是　　.
（2）旋转角度是　　.
（3）两个图形的关系是　　.
[归纳总结]
一个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫作对称中心（简称中心）.这两个图形在旋转后能重合的点叫作对称点.
[填一填]
如图，△OCD与△OAB关于点O中心对称，则　 　是对称中心，点A与　 　是对称点，点B与　 　是对称点.
思考：两个图形成中心对称需要具备什么条件？
两个图形成中心对称须具备三个条件：
能找到一个对称中心；
旋转角为 180°；
这两个图形旋转后能完全重合。
[练一练]
下列四组图形中，左边的图形与右边的图形成中心对称的有( )
A．1 组 B．2 组 C．3 组 D．4 组
[归纳总结]
中心对称是一种特殊的旋转，其旋转角是180°；
中心对称是两个图形之间一种特殊的位置关系；成中心对称的两个图形只有一个对称中心，对称中心可能在图形的外部、内部或图形上，对称点一定在对称中心两侧或与对称中心重合.
探究点二：中心对称的性质与作图
思考：已知中心对称是一种特殊的旋转，旋转的性质符合中心对称的性质，那么和一般旋转有没有区别？
(1) 对应点到旋转中心的距离是否相等？
(2) 对应点与旋转中心所连线段的夹角是否等于旋转角？
(3) 旋转前、后的图形全等吗？
(4) 和一般旋转的区别是什么？
[归纳总结]
1.成中心对称的两个图形中，对称点所连线段经过对称中心，并且被对称中心平分（即每组对称点与对称中心三点共线）；
2.中心对称的两个图形是全等图形.
[典例精析]
例1 如图，已知△AOB与△DOC成中心对称，△AOB的面积是12，AB＝6，
则△DOC中CD边上的高为　　.
探究点3：利用中心对称的性质作图
[典例精析]
例2 (1)如图1，选择点 O 为对称中心，画出点 A 关于点 O 的对称点 A'；
(2)如图2，选择点O为对称中心，画出与△ABC关于点O对称的△A'B'C'.
[练一练]
2. 如图，已知四边形 ABCD 和点 O，试画出四边形 ABCD 关于点 O 成中心对称的图形 A′B′C′D′。
[典例精析]
例3 如图，已知 △ABC 与 △A′B′C′ 成中心对称，找出它们的对称中心 O。
[归纳总结]
确定成中心对称的两个图形的对称中心的方法：
①连接任意两组对称点，两条线段的交点就是对称中心；
②连接任意一组对称点，取这条线段的中点，这个中点就是对称中心.
[拓展提升]中心对称与轴对称的异同
轴对称 中心对称
1. 对称元素 有一条对称轴——直线 有一个对称中心——点
2. 运动方式 图形沿轴折叠（翻转 180°） 图形绕中心旋转 180°
3. 重合结果 折叠后两个图形重合 旋转后两个图形重合
当堂反馈
1.下列四组图形中成中心对称的有(　　)
A.1组 B.2组 C.3组 D.4组
2.如图，在 ABCD中，两条对角线交于点O，△AOB绕着点　　旋转180°后，能够
与　　重合，则点A的对称点是　　，△AOD与△COB关于点　　成中心对称.
第2题图
3. 如图，已知等边 △ABC 和点 O，画 △A′B′C′，使 △A′B′C′ 和 △ABC 关于点 O 成中心对称。
4. 如图，△ABO 与 △CDO 关于 O 点中心对称，点 E、F 在线段 AC 上，且 AF = CE。求证：DF = BE。
参考答案
【合作探究】
探究点1：中心对称及有关概念
问题1：两个图案能够完全重合.
问题2：两个图案能够完全重合.
小组交流：（1）　点O　.（2）　180°　.（3）　完全重合　.
[填一填]
　点O　，　点C　，　点D
[链接中考] 1.C
探究点二：中心对称的性质与作图
思考：(1) 答：相等。即 OA = OA′、OB = OB′、OC = OC′。
(2) 答：相等。即 ∠AOA′ = ∠BOB′ = ∠COC′ = 180°。
(3) 答：全等。即 △ABC ≌ △A′B′C′。
(4) 答：线段 AA′、BB′、CC′ 相交于点 O，并且点 O 是各线段的中点。
[典例精析]
例1 　4　.
探究点3：利用中心对称的性质作图
[典例精析]
例2 作法：(1) 如图1，连接 AO 并延长到 A′，使 OA′ = OA，即可得到点 A 的对称点 A′；
(2) 如图2，作出 A、B、C 三点关于点 O 的对称点 A′、B′、C′，顺次连接 A′B′、B′C′、C′A′，则 △A′B′C′ 即为所作。
[练一练]
1. 分析：要画出四边形 ABCD 关于点 O 成中心对称的图形，只要画出 A、B、C、D 四点关于点 O 的对称点，再顺次连接各对称点即可。
作法：
① 连接 AO 并延长到 A′，使 OA′ = OA，得到点 A 的对称点 A′；
② 同理，可作出点 B、C、D 的对称点 B′、C′、D′；
③ 顺次连接 A′、B′、C′、D′，则四边形 A′B′C′D′ 即为所作。
[典例精析]例3 分析：根据观察，B、B′ 及 C、C′ 应是两组对称点，连接 BB′、CC′ 相交于点 O，则点 O 即为所求（如图）。
[拓展提升]
中心对称与轴对称的异同
轴对称 中心对称
1. 对称元素 有一条对称轴——直线 有一个对称中心——点
2. 运动方式 图形沿轴折叠（翻转 180°） 图形绕中心旋转 180°
3. 重合结果 折叠后两个图形重合 旋转后两个图形重合
当堂反馈
1.　C　
2.　O　　△COD　　点C　，　O　.
3.
4. 证明：∵ △ABO 与 △CDO 关于 O 点中心对称，
∴ BO = DO，AO = CO。
∵ AF = CE，
∴ AO - AF = CO - CE，即 FO = EO。
在 △FOD 和 △EOB 中，
FO = EO（已证），
∠FOD = ∠EOB（对顶角相等），
DO = BO（已证），
∴ △FOD ≌ △EOB（SAS）。
∴ DF = BE。
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