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2026秋人教九上数学AI赋能完全备课【导学案】
第28章 旋转
28.2 中心对称
28.2.3 关于原点对称的点的坐标
【学习目标】
1.掌握两点关于原点对称时，横、纵坐标的关系.
2.利用对称性质，在平面直角坐标系内作关于原点对称的图形.
3.进一步体会数形结合的思想.
4.通过观察、实际操作，使学生会用关于原点对称的点的坐标关系，作中心对称图形.
学习重点：关于原点对称的点的坐标特征及其运用.
学习难点：运用中心对称的知识推导出关于原点对称的点的坐标特征，并能运用它解决实际问题.
【复习导入】
问题：已知P(－3，2)，(1)你能说出点P关于x轴对称的点A的坐标吗？
(2)你能说出点P关于y轴对称的点B的坐标吗？
想一想：
点A与点B的位置关系是怎样的？点P与点C呢
【合作探究】
探究点1：关于原点对称的点的坐标
探究：如图①，在直角坐标系中，作出下列已知点关于原点O的对称点，并写出它们的坐标，这些坐标与已知点的坐标有什么关系？
A（4，0），B（0，－3），C（2，1），D（－1，2），E（－3，－4）.
问题 1：A' 的位置在哪？
问题 2：A' 的坐标是多少？
问题 3：那么关于 B 点的原点对称点在哪？坐标是多少？
问题 4：如果点不在坐标轴上，比如点 C(2，1)，又该如何求它关于原点的对称点 C' 坐标？那么点 D、E 关于原点的对称的点坐标是多少？
[填一填]
已知点的坐标 A(4，0) B(0，－3) C(2，1) D(－1，2) E(－3，－4)
关于原点对称的点的坐标
思考：观察上表各对对称点的坐标，你有何发现？
[归纳总结]
点 P(a，b) 关于原点对称的点的坐标为 P'(－a，－b)。
即：横坐标、纵坐标分别互为相反数。
[拓展]
点 P(a，b) 关于 x 轴对称的点的坐标为 P'(a，－b)；
点 P(a，b) 关于 y 轴对称的点的坐标为 P'(－a，b)。
简记为："关于谁，谁不变，关于原点都改变"。
[典例精析]
例1 已知点P（2a＋b，－3a）与点P'（8，b＋2）关于原点对称，求a，b的值.
总结：关于原点对称的两个点的横、纵坐标分别互为相反数，解题时可以直接根据此性质列方程（组）求解。
[链接中考]
1. 在平面直角坐标系中，将抛物线 y = x2 + 2x－1 先绕原点旋转 180°，再向下平移 5 个单位，所得到的抛物线的顶点坐标是__________.
探究点2：利用关于原点对称的点的坐标关系作图
引例 利用关于原点对称的点的坐标性质，作线段 AB 关于原点对称的图形.
例2 如图所示，利用关于原点对称的点的坐标的关系，作出与△ABC关于原点对称的图形.
[归纳总结]
作关于原点对称的图形的常用步骤：1.写出原图形顶点坐标；2.写出这些顶点关于原点的对称点的坐标；3.描点；4.顺次连接；5.写出结论.
练一练：
1. 在如图所示的平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(2，1)，
B(－3，2)，C(－1，1).
(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
(2)画出△ABC关于原点对称的△A2B2C2.
当堂反馈
1.在平面直角坐标系内，点P(－2，3)关于原点的对称点Q的坐标为(　　)
A.(2，－3) B.(2，3) C.(3，－2) D.(－2，－3)
2.在平面直角坐标系中，将点P(－1，－2)向右平移3个单位长度得到点P1，则点P1关于原点的对称点P2的坐标为　　.
3.已知点P(x，1)与点Q(－3，y)关于原点对称，则x＋y＝　　 .
4.若点P(－m，m－3)关于原点对称的点是第二象限内的点，则m的取值范围是　　.
5.[作图通关]如图，每个小方格都是边长为1的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上.画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1，并写出点A1，B1，C1的坐标.
6.(1)如图,在直角坐标系中，分别描出点A，B，C关于原点O的对称点A1，B1，C1，写出点A1，B1，C1的坐标，并分别依次连接点A，B，C和点A1，B1，C1．
（2）描述△ABC和△A1B1C1各对应顶点坐标之间的关系;
（3）△A1B1C1是由△ABC经怎样的变化得到的？
7.如图，阴影部分组成的图案，既是关于x轴成轴对称的图形又是关于坐标原点O 成中心对称的图形．若点A的坐标是(1，3)，求点M 和点N 的坐标.
参考答案
【复习导入】
1. (1)点 P 关于 x 轴对称的点的坐标为 A(－3，－2)
结论：在平面直角坐标系中，关于 x 轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数。
(2)点 P 关于 y 轴对称的点的坐标为 B(3，2)
结论：在平面直角坐标系中，关于 y 轴对称的点的纵坐标相等，横坐标互为相反数。
【合作探究】
探究点1：关于原点对称的点的坐标
探究：问题 1：答：在 x 的负半轴。
问题 2：答：A'(－4，0)。
问题 3：答：在 y 的正半轴。B'(0，3)。
问题 4：解：连接 CO，并延长 CO 至点 C'，使 CO = C'O。
易证 △CMO ≌ △C'M'O (AAS)。
由 C(2，1)，得 C'(－2，－1)。
同理，D'(1，－2)，E'(3，4)。
[填一填]
已知点的坐标 A(4，0) B(0，－3) C(2，1) D(－1，2) E(－3，－4)
关于原点对称的点的坐标 A'(－4，0) B'(0，3) C'(－2，－1) D'(1，－2) E'(3，4)
思考：横坐标、纵坐标分别互为相反数.
[典例精析]例1 解：由题意，得解得
[链接中考]1. (1，－3)
探究点2：利用关于原点对称的点的坐标关系作图
引例 解：线段AB的端点坐标为，点A(0，－1)，B(3，0).
关于原点的对称点分别为点 A′(0，1)，B′(－3，0).
连接A′B′ 就可得到线段 AB关于原点对称的线段A′B′.
例2 解：△ABC的顶点坐标为点A（－4，1），B（－1，－1），C（－3，2），
它们关于原点的对称点分别为点
A'（4，－1），B'（1，1），C'（3，－2）.
顺次连接点A'，B'，C'，△A'B'C'即为所求.
练一练：
1. 解：(1)△A1B1C1 如图所示.
(2)△A2B2C2 如图所示.
当堂反馈
1.　A　)
2.(－2，2)　.
3.　2　.
4.　m＜0　.
5.解：△A1B1C1如图所示，A1(－1，4)，B1(－5，4)，C1(－4，1).
6.(1)图略. A1(-2，-5) ，B1(-4，-2),C1(-1，-1) .
(2)△ABC和△A1B1C1各对应顶点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数.
(3)△A1B1C1是由△ABC绕着原点O旋转180°得到的．
7. M(－1,－3) N(1,－3)
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