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人教版九上数学AI赋能完全备课 教学课件
29.2 圆的有关性质
第二十九章 圆
29.2.3 圆周角
第1课时 圆周角定理及其推论
1. 理解圆周角的定义，会区分圆周角和圆心角.
(重点)
2.掌握圆周角定理及其两个推论，并能在证明或计算中熟练应用.(难点)
C
A
E
D
B
思考： 回想足球射门的过程，图中过球门 A、E 两点画圆，球员射中球门的难易程度与他所处的位置 B、C、D 有关(张开的角度大小)、仅从数学的角度考虑，球员应选择从哪一点的位置射门更有利？
为什么呢？
探究点 1：圆周角的定义
问题1：∠BAC 有什么特点？它与 ∠BOC 有何异同？
问题2：你能仿照圆心角的定义给 ∠ACB 取一个名字并下定义吗？
B
C
O
A
如图，把圆心角∠BOC 的顶点 O 拉到圆上，得到∠BAC.
顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫作圆周角.
例如：∠ACB.
A
B
O
C
【知识要点】
圆心角 圆周角
区别
联系 顶点在圆心
顶点在圆上
在同圆中，一条弧所对的圆心角是唯一的
在同圆中，一条弧所对的圆周角有无数个
角的两边都与圆相交
探究点 1：圆周角的定义
·
C
O
A
B
·
C
O
B
·
C
O
B
A
A
·
C
O
A
B
·
C
O
B
·
C
O
B
A
A
【练一练】1.下列各图中的∠BAC 是否为圆周角？
顶点 A 不在圆上
顶点 A 不在圆上
边 AC 没有和圆相交
√
√
√
探究点 1：圆周角的定义
探究点 2：圆周角定理及其推论
图中圆周角∠ACB 和圆心角∠AOB 有怎样的关系？
A
B
O
C
【合作探究】
先猜一猜，再用量角器量一量.
圆心 O 在∠BAC 的内部
圆心 O 在
∠BAC 的一边上
圆心 O 在
∠BAC 的外部
推导论证圆周角∠ACB 和圆心角∠AOB 之间的数量关系.
探究点 2：圆周角定理及其推论
情况一：圆心 O 在∠BAC 的一边上 (特殊情形)
OA = OC
∠A = ∠C
∠BOC = ∠A + ∠C
探究点 2：圆周角定理及其推论
O
A
B
C
O
A
B
D
O
A
C
D
D
O
A
C
D
O
A
B
D
情况二：圆心 O 在∠BAC 的内部
探究点 2：圆周角定理及其推论
O
A
B
D
O
C
A
D
O
A
B
D
C
O
A
D
C
O
A
B
D
C
O
A
D
O
A
B
D
情况三：圆心 O 在∠BAC 的外部
探究点 2：圆周角定理及其推论
圆周角定理：
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
【知识要点】
探究点 2：圆周角定理及其推论
问题1：如图，OB，OC 都是⊙O 的半径，点 A ，D 是圆上任意两点，连接 AB，AC，BD，CD. ∠BAC 与∠BDC 相等吗？请说明理由.
D
∴∠BAC=∠BDC.
解：相等. 理由如下：
∵
探究点 2：圆周角定理及其推论
问题2：如图，若 ∠A 与∠B 相等吗？
解：相等.
想一想：反过来，如果∠A =∠B，那么 成立吗？
D
A
B
O
C
E
F
探究点 2：圆周角定理及其推论
圆周角定理的推论1
同弧或等弧所对的圆周角相等.
A1
A2
A3
【知识要点】
探究点 2：圆周角定理及其推论
解：∵ AB 是直径，点 O 是圆心，
∴∠AOB = 180°.
∵∠ACB 是直径 AB 所对的圆周角，
∴∠ACB = ∠AOB = 90°.
问题3：如图，线段 AB 是☉O 的直径，点 C 是☉O 上的任意一点 (除点 A、B 外)，那么∠ACB 就是直径 AB 所对的圆周角. 想一想，∠ACB 会是怎样的角？
·
O
A
C
B
提示：能不能直接运用圆周角定理解答？
探究点 2：圆周角定理及其推论
圆周角推论 2：
半圆（或直径）所对的圆周角是______，
90° 的圆周角所对的弦是______.
直径
直角
【知识要点】
探究点 2：圆周角定理及其推论
例1 如图，⊙O 的直径 AB 的长为 10，弦 AC 的长为 6，∠ACB 的平分线交⊙O 于点 D，求 BC，AD，BD 的长.
在 Rt△ABC 中
CD 平分∠ACB
连接 OD
∠ACD =∠BCD
∠AOD =∠BOD
AD = BD
Rt△ABD 中
探究点 2：圆周角定理及其推论
∵ CD 平分∠ACB，
∴ AD = BD.
∴∠AOD =∠BOD.
∴∠ACD =∠BCD.
又在 Rt△ABD 中，AD2 + BD2 = AB2，
解：如图，连接 OD.
在 Rt△ABC 中，AB = 10，AC = 6，
∴∠ACB =∠ADB = 90°.
∵ AB 是⊙O直径，
∴ BC = .
∵ 在⊙O 中，∠AOD = 2∠ACD，
∠BOD = 2∠BCD，
∴AD = BD = AB = 5.
探究点 2：圆周角定理及其推论
总结
解答圆周角有关问题时，若题中出现“直径”这个条件，则应考虑构造直角三角形来求解.
探究点 2：圆周角定理及其推论
1. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，∠ACD = 25°，求∠BAD 的度数.
【练一练】
解：∵ AB 是 ⊙O 的直径，
∴∠ADB = 90°.
∵相同的弧所对应的圆周角相等，且∠ACD = 25°，
∴∠B = 25°.
∴∠BAD = 90°-∠B = 65°.
探究点 2：圆周角定理及其推论
2. 如图，AB 为⊙O 的直径，弦 CD 交 AB 于点 P， ∠ACD = 60°，∠ADC = 70°. 求∠APC 的度数.
O
A
D
C
P
B
解：连接 BC，如图，则∠ACB = 90°，
∠DCB =∠ACB－∠ACD
= 90°－60° = 30°.
∴∠BAD =∠DCB = 30°.
∴∠APC =∠BAD +∠ADC = 30° + 70°= 100°.
探究点 2：圆周角定理及其推论
圆心角
类比
圆周角
圆周角定义
圆周角定理
圆周角定理的推论
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的_____.
1.同弧或等弧所对的圆周角_____. 2.半圆(或直径)所对的圆周角是_____.
90°的圆周角所对的弦是_____.
顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.
一半
相等
直角
直径
1. [高频考点]如图，已知圆心角∠BOC＝78°，则圆周角∠BAC的度数是(　C　)
A. 156° B. 78°
C. 39° D. 12°
第1题图
C
2.如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，若∠A＝30°，则∠B的度数为(　B　)
A. 75° B. 60°
C. 45° D. 15°
第2题图
B
3. [画圆心角]如图，AB，BC是☉O的弦，AB＝3，∠ACB＝30°，则☉O的半径等于(　B　)
A. 1.5 B. 3
C. 4.5 D. 6
第3题图
B
4. 如图，在☉O中，∠C为所对的圆周角，连接OA，OB. 若∠AOB＋∠C＝135°，则∠C的度
数为 .
45°　
5. 已知：如图，在☉O中，AB与CD相交于点M，AD＝CB. 求证：AM＝CM.
证明：由圆周角定理推出∠A＝∠C，∠D＝∠B，
在△ADM和△CBM中，
∴△ADM≌△CBM(ASA).
∴AM＝CM.
Thanks!
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