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分课时学案
课题 22.1.1 成比例线段 单元 22 学科 数学 年级 九年级
学习 目标 数学抽象：从放大照片、格点矩形实例中抽象相似图形、成比例线段的数学定义； 逻辑推理：严谨证明比例基本性质、合比性质、分比性质，形成规范代数推理论证习惯； 数学运算：统一单位计算线段比值、解一元二次方程求黄金分割长度，精准完成比例变形运算；
重点 1.理解成比例线段的概念，四条线段成比例的判断方法； 2.掌握比例的基本性质和黄金分割的概念与黄金比数值。
难点 1.比例合比、分比性质的严谨代数证明； 2.判断成比例线段时 “统一单位、有序比对” 的操作规范。
教学过程
导入新课 【想一想】观察下面图片，你能发现什么？
新知讲解 探究：成比例线段 【试一试】观察下面的格点图，由格点图可知： ， 【概括】对于给定的四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度之比等于另外两条线段的长度之比，如(或a：b=c：d)，那么，这四条线段叫做成比例线段，此时也称这四条线段成比例。 注意：求两条线段的比必须选定同一长度单位，但比值与单位的大小无关. 【例1】判断下列线段a、b、c、d是不是成比例线段： a=4，b=8，c=5，d=10； (2)、、、. 对于成比例线段，其线段的长度之间有下面的结论： 如果，那么ad=bc. 如果ad=bc ，那么. 以上结论称为比例的基本性质. 请试着证明这两个结论。这两个命题之间有什么关系 由得，b≠0，d≠0 所以等式两边同时乘bd，得ad=bc. 反过来等式ad=bc两边同时除以bd得. 这两个命题互为逆命题. 【例2】已知 （1）求证： （2）求证： 【例3】如图，已知AB=1，试在线段AB上插入点P，使 ，即AP2 =AB · PB. 历史上，人们视黄金分割为“最美丽”的几何比率，广泛应用于建筑和图案设计等方面. 图中所示的框住古希腊神庙图形的长方形，它的宽与长之比就等于黄金比. 有趣的是，在自然界中也有很多黄金分割的例子，例如，蝴蝶的身长与双翅展开后的长度之比接近黄金比的近似值0.618.
巩固训练 【知识技能类作业】必做题： 1.下列各组线段中，成比例的是(　　) A．2 cm，3 cm，4 cm，5 cm　 B．2 cm，4 cm，6 cm，8 cm C．3 cm，6 cm，8 cm，12 cm D．1 cm，3 cm，5 cm，15 cm 2. 已知四条线段a，b，c，d成比例，且a＝1，b＝4，c＝2，则d的长度为( )． A．2 B．4 C．6 D . 8 3.已知四条线段a、2、6、a+1成比例，则a的值为( ). A. a=3或a=-4 B. a=3 c. a=-4 D. a=2 4. 小东在网上搜索到比例尺为1：250 000的郑州地图，若小东在地图上量得甲、乙两地之间的距离为6 cm，则两地之间的实际距离为______km. 【知识技能类作业】选做题： 5. 如图，东方明珠电视塔高468 m，如果把塔身看作一条线段AC，上面的球体看作点B，B是线段AC的黄金分割点(AB>BC)，则AB的长约为________m(精确到0.1 m)． 6. 小明所使用的课桌桌面的长为1.2 m，宽为80 cm，课桌桌面的长与宽的比是（ ）. A. 1.2：80 B. 8：12 C. 3：4 D. 3：2 【综合拓展类作业】 7.已知线段a=0.3m，b=60cm，c=12dm. (1)求线段a与线段b的比. (2)如果线段a、b、c、d成比例，求线段d的长.
作业布置 【知识技能类作业】必做题： 1.延长线段AB到点C，使得BC：AB=1：2，则AC：AB =( ). A. 2：1 B. 3：1 C. 3：2 D. 4：3 2. 已知线段d是线段a、b、c的第四比例项，其中a=2cm，b=4cm，c=5cm，则d等于( ). A.1cm B.10cm C.5cm D.8cm 【知识技能类作业】选做题： 3.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比约是0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．若小凡的身高满足此黄金分割比例，且肚脐至足底的长度为108 cm，则小凡的身高约为(　　) . A．155 cm B．165 cm C．175 cm D．185 cm 4. 我们知道，两条邻边之比等于黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，如图，已知矩形ABCD是黄金矩形，点E在边BC上，将这个矩形沿直线AE折叠，使点B落在边AD上的点F处，那么EF与CE的比值等于( ). A. B. C. D. 【综合拓展类作业】 5.已知a，b，c是△ABC的三边，且a+b+c=12，求△ABC的面积.
答案：
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.下列各组线段中，成比例的是(　D　)
A．2 cm，3 cm，4 cm，5 cm　
B．2 cm，4 cm，6 cm，8 cm
C．3 cm，6 cm，8 cm，12 cm
D．1 cm，3 cm，5 cm，15 cm
2. 已知四条线段a，b，c，d成比例，且a＝1，b＝4，c＝2，则d的长度为( D )．
A．2
B．4
C．6
D . 8
3.已知四条线段a、2、6、a+1成比例，则a的值为( B ).
A. a=3或a=-4
B. a=3
c. a=-4
D. a=2
4. 小东在网上搜索到比例尺为1：250 000的郑州地图，若小东在地图上量得甲、乙两地之间的距离为6 cm，则两地之间的实际距离为___15___km.
【知识技能类作业】选做题：
5. 如图，东方明珠电视塔高468 m，如果把塔身看作一条线段AC，上面的球体看作点B，B是线段AC的黄金分割点(AB>BC)，则AB的长约为___289.2_____m(精确到0.1 m)．
6. 小明所使用的课桌桌面的长为1.2 m，宽为80 cm，课桌桌面的长与宽的比是（ D ）.
A. 1.2：80
B. 8：12
C. 3：4
D. 3：2
【综合拓展类作业】
7.已知线段a=0.3m，b=60cm，c=12dm.
(1)求线段a与线段b的比.
解：∵ a=0.3m=30cm ; b=60cm，∴ a：b=30：60=1：2.
(2)如果线段a、b、c、d成比例，求线段d的长.
解：∵线段a、b、c、d是成比例线段，
∵c=12dm=120cm，
∴d=240cm.
作业设计
【知识技能类作业】必做题：
1.延长线段AB到点C，使得BC：AB=1：2，则AC：AB =( D ).
A. 2：1
B. 3：1
C. 3：2
D. 4：3
2. 已知线段d是线段a、b、c的第四比例项，其中a=2cm，b=4cm，c=5cm，则d等于( B ).
A.1cm
B.10cm
C.5cm
D.8cm
【知识技能类作业】选做题：
3.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比约是0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．若小凡的身高满足此黄金分割比例，且肚脐至足底的长度为108 cm，则小凡的身高约为(　C　) .
A．155 cm
B．165 cm
C．175 cm
D．185 cm
4. 我们知道，两条邻边之比等于黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，如图，已知矩形ABCD是黄金矩形，点E在边BC上，将这个矩形沿直线AE折叠，使点B落在边AD上的点F处，那么EF与CE的比值等于( A ).
A. B. C. D.
【综合拓展类作业】
5.已知a，b，c是△ABC的三边，且 a+b+c=12，求△ABC的面积.
∴a=3k-4，b=2k-3，c=4k-8，又∵a+b+c=12，
∴3k-4+2k-3+4k-8=12，∴k=3
∴a=5，b=3，c=4.
又∵a2=25，b2+c2=25，
∴a2=b2+c2，b、c为两条直角边
∴S△ABC= ×3×4=6，即△ABC的面积为6.
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