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2026秋人教九上数学AI赋能完全备课【导学案】
第30章 直线与圆的位置关系
综合与实践：生活中的优化问题
【学习目标】
1.会用数学的眼光发现生活中的优化问题.
2.能将生活中的优化问题转化为数学模型.
3.会通过数学运算、逻辑推理等解决转化后的数学问题.
学习重点：将实际优化问题转化为数学模型，运用对应知识求解最值.
学习难点：用圆的切线性质分析最大射门角度，推导包装用料最省的排列规律.
【复习导入】
现实生活中，我们经常会遇到距离最短、角度最大、用料最省、成本最小、利润最大等问题.从数学角度看，它们均涉及数量的大小，这类求最大（小）值的问题常常被称为优化问题.
在二次函数的学习中，我们已经学习过一些求最大（小）值的问题.接下来，我们结合一些案例，进一步研究生活中的优化问题
【合作探究】
探究点1：分析快递货车标准包裹箱的数量
活动1：快递货车从 城到 城，会经过多个集散点——每个点要卸下前面各集散点发给该集散点的标准包裹箱各1个，同时装上该集散点发往后面各集散点的标准包裹箱各1个.
任务1 若 城、 城之间有10个集散点（包括A城、B城），快递货车最多可装16个标准包裹箱，这辆货车能完成这次快递任务吗？货车空车从A城出发，完成下列表格：
所在站点 卸货数量/箱 装货数量/箱 车上总包裹数/箱
集散点1
集散点2
集散点3
集散点4
集散点5
集散点6
集散点7
集散点8
集散点9
集散点10
追问：卸货数量（装货数量）随集散点序号的变化规律是什么？卸货数量与装货数量之间有何数量关系？车上总包裹数最大是多少箱？货车最少要留多少个空位？
任务2　①把任务1中的问题一般化，假设A城、B城之间有n个集散点，货车经过各集散点时，其装载的标准包裹箱数量如何变化？
②货车上至少有多少个标准包裹箱的空间才能完成快递任务？
③离开哪个集散点时，货车上的标准包裹箱的数量最多？为什么？
任务3　你还能发现和提出哪些问题？能解决你提出的问题吗？
归纳总结：快递包裹数量的优化，本质是跟踪累计量的变化——最大累计量就是货车需要的最小空间，能避免包裹装不下或空间浪费.
探究点二：寻找射门最大角度
活动2：足球场上，球员进行直线带球过程中的射门训练，射门时球员与球门两端会形成一个角度，什么时候这个射门角度最大
把这个问题简化，只考虑足球沿草坪直线运动的情况.
射门角度最大的问题可以简化为:直线上的点在什么位置时与线段两个端点的连线形成的角度最大的问题.
任务1 如图1，当球员带球行进的路线 l 与球门(线段 AB )所在的直线平行时，直线 l 上是否存在点 C，使∠ACB 最大 为什么 如果存在这样的点 C，如何确定点 C 的位置
.
任务2　如图②，若带球路线m与AB垂直，用同样的方法作图（提示：要考虑直线m与线段AB相交、与线段AB的延长线相交两种情形.当直线m与线段AB的延长线相交时，假设已知图中线段AB的长为a，点B到直线m的距离BD为b）.
任务3　如图③，当球员带球行进的路线n与球门所在的直线相交但不垂直时，直线n上是否存在点C，使∠ACB最大？为什么？如果存在这样的点C，如何确定点C的位置？（提示：假设已知图中线段AB的长为a，直线AB与n相交于点D，BD的长为b）
任务4　你还能提出类似上述问题的其他现实问题吗？
归纳总结：射门最大角度的优化，本质是利用圆的切线性质，将角度最大转化为圆与直线的相切问题.
探究点三：产品包装箱的设计
活动3： 生活中，我们会见到各种各样的产品包装箱.产品包装箱的纸张浪费和垃圾等问题，开始成为社会治理的新问题.如何用更少的包装纸来包装更多的商品，对于环境保护和商家的利益来讲都是非常重要的，接下来，我们以圆柱和长方体形状的产品包装箱任务1 当圆柱体产品单层排列时，研究使长方体包装箱表面积最小的排列方式.
为例，从数学的角度探究产品包装箱用料最小问题.
提示：要确定圆柱体产品的长方体包装箱的表面积，在知道圆柱体的底面半径和高的情况下，主要要考虑产品的排列方式：排列方式有齐排列和错排列两种(图4 是 12 个圆柱体按 2×6 方式的齐排列和错排列的底面示意图).
(1)当圆柱体产品底面半径 r = 60 mm，高 h = 123 mm，规格为 12 瓶/箱时，考虑单层排列，有几种齐排列方案 分别计算它们的包装箱表面积，哪种方案的包装箱表面积最小
知识链接：长方体表面积公式为S＝2（ab＋bc＋ac）（a，b为底面长、宽，c为高）；当体积固定时，长、宽、高越接近，表面积越小.
齐排列是指圆柱体按行列整齐排列，12个的排列方式有1×12，2×6，3×4三种.先算每种方案的长、宽、高：
(2) 对于(1)中的圆柱体产品，按照错排列的方式，有几种方案 分别计算它们的包装箱表面积，哪种方案的包装箱表面积最小
补充说明：更多行数错排会让宽度显著增大，表面积变大；
对比：.
(3) 综合比较齐排列与错排列的方式，找出最省料的包装方式.
任务2 当圆柱体产品多层排列时，研究使得长方体包装箱表面积最小的排列方式.
当圆柱体产品底面半径 r = 60 mm，高 h = 123 mm，规格为 12 瓶/箱时，考虑多层排列，有几种齐排列方案 分别计算它们的包装箱的表面积，哪种方案的包装箱表面积最小
当堂反馈
1.外卖配送车初始有8份餐，到1号点送3份、接5份，到2号点送6份、接2份.则配送车在2号点的剩余餐数是　　份，这一路程中车上最多有　　份餐.
2.要在直线l上找一点，使它与线段MN的夹角最大，可作过点M，N且与直线l　　的圆，该圆与l的公共点就是所求点.
3.用相同数量的正方体摆成长方体，摆成3×3×2的形状比摆成1×1×18的形状，表面积更　　（填“大”或“小”），原因是前者的长、宽、高更　　.
参考答案
【合作探究】
探究点一、三角形的概念及其基本要素任务1
所在站点 卸货数量/箱 装货数量/箱 车上总包裹数/箱
集散点1 　0　 　9　 　9　
集散点2 　1　 　8　 　16　
集散点3 　2　 　7　 　21　
集散点4 　3　 　6　 　24　
集散点5 　4　 　5　 　25　
集散点6 　5　 　4　 　24　
集散点7 　6　 　3　 　21　
集散点8 　7　 　2　 　16　
集散点9 　8　 　1　 　9　
集散点10 　9　 　0　 　0　
由表格可知，当货车离开集散点3时，总包裹箱的数量为21＞16，故这辆货车无法完成本次运输任务.
追问：站点越往后，卸货数量依次加1，从0慢慢增加到9（站点越往后，装货数量依次减1，从9慢慢降到0）.卸货数量＋装货数量＝9.总包裹数最大是25箱.货车最少要留25个空位.
任务2　①解：设途经第i个集散点（i＝1，2，3，…，n）.
卸货数量：i－1，依次递增；装货数量：n－i，依次递减；车上包裹总数：y＝i（n－i），这是开口向下的二次函数，整体变化：从起点开始逐渐增多，行至中途达到最大值，之后逐渐减少，到达终点清零.
②当n为偶数时，在i＝处（顶点）y最大，即货车至少要有个包裹箱空间；
当n为奇数时，在i＝或处y最大，即货车至少要有个包裹箱空间.
③当n为偶数时，离开第个集散点时数量最多；当n为奇数时，离开第或个集散点的数量相等且同为最多.两数之和固定，两数越接近，两数之积越大.
任务3　问题：起点与终点车上包裹数量为什么都是0？
解答：起点出发时，无货可卸；终点无后续站点，无货可装，最终包裹全部派送完毕，数量归零.
探究点二：寻找射门最大角度
任务1
.
作过A，B两点且与直线l相切的圆，切点即为所求的点C.
任务2　分两种情况：①m与AB相交，因为C可以无限接近交点，∠ACB可无限增大且趋近于180°，但无法取到，因此∠ACB不存在最大值.②m与AB的延长线相交.存在使∠ACB最大的点C，点C是过A，B且与直线m相切的圆的切点.
任务3　存在这样的点C使∠ACB最大.点C是过A，B且与直线n相切的圆的切点.
任务4　问题场景：街道旁有一块广告牌（上下边缘为A，B），你在对面的人行道上行走，想找到哪个位置看广告牌的视角最大（看得最清楚）.
探究点三：产品包装箱的设计
任务1 (1)1×12：长＝12×2r＝1440mm，宽＝2r＝120mm，高＝h＝123mm；
2×6：长＝6×2r＝720mm，宽＝2×2r＝240mm，高＝123mm；
3×4：长＝4×2r＝480mm，宽＝3×2r＝360mm，高＝123mm.
小组计算三种方案的表面积：
1×12：S＝2（1440×120＋120×123＋1440×123）＝729360（mm2）；
2×6：S＝2（720×240＋240×123＋720×123）＝581760（mm2）；
3×4：S＝2（480×360＋360×123＋480×123）＝552240（mm2）.
可知表面积最小的排列方案是3×4，此时长和宽最接近.
(2) 错排规律：奇数行比偶数行多1个瓶子；
相邻两行圆心竖直间距：
2行错排：上行6个，下行6个（题图形式）
长度：
箱体宽度：
3行错排：4—5—3总数12瓶：
长度：；宽度：
(3) .
单层里3行错排（4－5－3排布）最省材料.
任务2 当两层排列：2×3×4：
长=3，宽，高=123 mm.
S=2()=2×()
=320400(mm2).
当堂反馈
1.　6　，　10　.
2.　相切　
3.　小　，　接近　.
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