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2026秋人教九上数学AI赋能完全备课【导学案】
第30章 直线与圆的位置关系
30.1 直线与圆
30.1.2　圆的切线
第1课时　切线的性质与判定
【学习目标】
1.使学生掌握圆的切线的性质和切线的判定方法.
2.能够运用切线的判定方法证明直线是圆的切线.
3.综合运用切线的判定定理和性质定理解决问题，培养学生的逻辑推理能力.
学习重点：圆的切线的识别方法和圆的切线的性质.
学习难点：掌握圆的切线问题中辅助线的添加方法.
【复习导入】
图形
直线与圆的位置关系
公共点个数
圆心到直线的距离d与半径r的关系
【合作探究】
探究点 1：切线的性质
思考：⊙O 的半径 OA 与过点 A 的切线 l 有什么关系
[知识要点]
切线的性质：
圆的切线垂直于过切点的半径.
典例精析
例1 如图，PA 是⊙O 的切线，切点为 A，PO 的延长线交⊙O 于点 B，连接 AB. 若∠B = 25°，求∠P 的度数.
练一练
1. 如图①，在中，、为半径，直线与相切于点. 若，则 .
2. 如图②，为的直径，为延长线上一点，与相切于点，. 若的半径长，则 .
探究点 2：切线的判定
问题：已知 上一点 ，怎样根据圆过点 作 的切线？
观察：（1） 圆心 到直线 的距离 和
圆的半径 有什么数量关系？
（2） 二者位置有什么关系？为什么？
[知识要点]
切线的判定定理：
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
几何语言：
∵ 为 的半径， 于，
∴ 为 的切线.
判一判
判断：(1) 过半径的外端的直线是圆的切线 ( )
(2) 与半径垂直的的直线是圆的切线 ( )
(3) 过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线 ( )
总结：利用判定定理时，要注意直线须具备以下两个条件：
（1） 直线经过半径的外端；
（2） 直线与这半径垂直.
证明切线的方法 ：
(1) 定义法(交点个数)；
(2) 数量关系法(证明 d = r)；
(3) 判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
[典例精析]
例2 如图， 是的弦， 是的切线，. 求证： 是的切线.
例3 如图，为等腰三角形，是底边的中点，腰与相切于点．求证：是的切线．
总结:
有切线时常用辅助线添加方法：
见切点，连半径，得垂直.
例4 如图，已知：直线 AB 经过⊙O 上的点 C 并且OA = OB，CA = CB.
求证：直线 AB 是⊙O 的切线.
思考：观察例3 和例4，说说这两种证明方法有什么不同.
方法总结
常见证切线作辅助线的方法：
有交点，连半径，证垂直；
无交点，作垂直，证相等(证明 d = r ).
[练一练]
2.如图，在中，的平分线交于，以为圆心， 长为半径作。求证：是的切线
3.如图，以线段 AB 为直径作 ⊙O ，交射线 AC于点 C， AD 平分∠CAB 交 ⊙O 于点 D 作直线 DE⊥AC 于点 E，交 AB 的延长线于点 F.连接 BD 并延长交 AC 于点 M. 求证：直线 DE 是⊙O 的切线.
思考：生活中常看到切线的实例，如何判断一条直线是否为切线呢？
当堂反馈
1.如图，AB与☉O相切于点B，∠AOB＝60°，则∠A的大小为(　　)
A.15° B.30° C.45° D.60°
第1题图 第2题图
2.如图，以△ABC的边AB为直径作☉O交AC于点D，过点D作DE⊥BC于点E.若要使DE是☉O的切线，则下列补充的条件不正确的是(　　)
A.AD＝CD B.OD∥BC C.∠A＝∠C D.OD＝DE
3.如图，AB与☉O相切于点B，AO的延长线交☉O于点C，连接BC.若∠A＝36°，则∠C＝　　°.
第3题图 第4题图
4.如图，CB是☉O的直径，P是CB延长线上一点，PA切☉O于点A.若☉O的半径长为3，PA＝4，则PB＝　　.
5.如图，AB为☉O的弦，C为的中点，过点C作CD∥AB，交OB的延长线于点D，连接OA.求证：CD是☉O的切线.
书写通关
证明：连接　　交　　于点E.
∵OC是☉O的半径，C为的中点，
∴　 　.
∵CD∥AB，
∴　 　.
又∵　 　，
∴CD是☉O的切线.
参考答案
【合作探究】
探究点 1：切线的性质
思考：如图，设 为直线 上不同于点 的点
因为直线 与 只有一个公共点 ，
所以点 在 外，
从而，即半径 是圆心 与
直线 上的点的最短连线.
因此，半径 与直线 垂直（可以用反证法证明 ）.
证法：反证法
理由：直径 与直线 要么垂直，要么不垂直.
证明：假设 与 不垂直，
　　　过点 作 ，垂足为 ；
　　　，
　　　与 相交，与已知条件相矛盾；
　　　假设不成立，故 与 垂直.
例1 解：如图，连接.
是的切线，
.
，
.
练一练
1. 60 2. 2
探究点 2：切线的判定
判一判(1) × (2) × (3) ×
[典例精析]
例2 证明：如图，连接 ，，。
与 相切于点 ，
，即 ，
，，，。
。。
这样， 经过 的半径 的外端点 ，
并且垂直于半径 ，所以 是 的切线。
例3 证明：如图，过 作 ，垂足为 ，
连接 ，，
与 相切于 ，．
又 为等腰三角形， 是底边 的中点，
平分．
，即 是 的半径．
这样， 经过 的半径 的
外端点 ，并且垂直于半径 ，
所以 是 的切线．
例4 证明：连接 OC (如图).
∵ OA = OB，CA = CB，
∴ AB ⊥ OC.
∴ OC 是⊙O 的半径.
∴ AB 是⊙O 的切线.
[练一练]
2.证明：如图，过作于。
，。
又平分，，
。
是的切线。
3.证明：连接 。
平分 ，
。
。
又 ，
，
即直线 是 的切线。
思考：都是沿切线方向飞出的.
当堂反馈
1.　B 2.　D　 3.　27　. 4.　2　.
5. OC AB　　OC⊥AB　OC⊥CD　OC是☉O的半径
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