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2026秋人教九上数学AI赋能完全备课【导学案】
第30章 直线与圆的位置关系
30.1 直线与圆
30.1.2 圆的切线
第2课时　切线长定理
【学习目标】
1.掌握尺规作图：过圆外一点作圆的切线.
2.掌握切线长的定义及其定理，并利用定理进行有关的计算.
3.会从数学的角度提出问题、理解问题，并会用所学的知识和技能解决问题，发展应用意识.
学习重点：切线长定理及其应用.
学习难点：与切线长定理有关的计算和证明问题.
【复习导入】
1. 直线和圆有哪些位置关系？
2. 如何判断直线和圆相切？（常用方法）
【合作探究】
探究点1：切线长定理
思考：已知和外一点，你能过点画出的切线吗？这样的直线能画几条？
[知识要点]
过圆外一点可以作出两条直线与这个圆相切.
经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长
(如图中的线段 PA，PB 的长)，叫作这点到圆的切线长.
问题1 图中的线段 PA 与 PB 有什么关系？
问题2 图中还有哪些量？猜想它们之间有什么关系？
如何验证我们的猜想是否正确？
[证一证]
已知：如图 与 是的两条切线，、 为切点.
求证：，.
[知识要点]
切线长定理：
过圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.
几何语言：
∵ PA、PB 分别切☉O 于 A、B，
∴ PA = PB，∠OPA = ∠OPB.
问题3 若连接两切点 A、B，AB 交 OP 于点 M. 又能得出什么新的结论
问题4 若延长 PO 交☉O 于点 C，连接 CA、CB，还能得出什么新的结论
典例精析
例1 如图，PA，PB 是☉O 的两条切线，A，B 是切点，连接 AB，若∠APO = 30°，
OP = 2，求△PAB 的周长.
练一练
1.如图，PA，PB 与☉O 分别相切于点 A，B，PA＝2，∠P＝60°，则 AB＝( )
2.如图，已知 为 的直径，， 是 的切线，， 为切点，。
（1） 求 的大小；
（2） 若 ，求 的长（结果保留根号）。
当堂反馈
1.如图，P为☉O外一点，PA，PB分别切☉O于A，B两点.若PA＝5，则PB的长为(　　)
A.3 B.4 C.5 D.6
第1题图 第2题图
2.如图，AB，AC，BD是☉O的切线，切点分别是P，C，D.若AB＝10，AC＝6，则BD的长是(　　)
A.3 B.4 C.5 D.6
3.如图，过点A作☉O的切线，切点分别是B，C，连接BC.过弧BC上一点D作☉O的切线，分别交AB，AC于点E，F.若∠A＝90°，△AEF的周长为2，则BC的长为　　.
第3题图 第4题图
4.如图，直线AB，BC，CD分别与☉O相切于E，F，G，且AB∥CD，OB＝6cm，OC＝8cm，则∠BOC＝　　°，BE＋CG＝　　cm.
5.足球不仅是全球最受欢迎的运动，更是一种文化纽带.它超越国界，连接人心，激发团队精神与拼搏意志，带来激情与欢乐，成为人们情感交流的桥梁.图①是一次足球比赛的奖杯，图②是从奖杯中抽象出的几何模型，PA，PB是圆的切线，A，B为切点.
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出这个圆的圆心O(不写作法，保留作图痕迹)；
(2)在(1)的条件下，延长BO交射线PA于点C，若PB＝3，PC＝5，请补全图形，并求OC的长.
参考答案
【复习导入】
1. 相离、相交、相切.
2. （1） 数量关系法（证明 ）；
（2） 判定定理：经过半径的外端且
垂直于这条半径的直线是圆的切线.
【合作探究】
探究点1：切线长定理
思考：
如图：1.连接 ，作线段 的垂直平分线 ，与 交于点 ；
2.以点 为圆心， 为半径作圆，与 相交于 ， 两点；
3.作直线 ，，即所求作的切线。
问题1 猜想：
问题2 猜想：
[证一证]证明：连接 、.
和 是 的两条切线，
，，
又 ，，
.
，.
问题3
结论：OP 垂直平分 AB.
证明：∵ PA，PB 是☉O 的切线，点 A，B 是切点，
∴ PA = PB ，∠OPA =∠OPB.
∴△PAB 是等腰三角形，PM 为顶角的平分线.
∴ OP 垂直平分 AB.
问题4 结论：CA = CB.
证明：∵ PA，PB 是☉O 的切线，
点 A，B 是切点，
∴ PA = PB ，∠OPA =∠OPB.
∴ PC = PC.
∴ △PCA≌△PCB.
∴ AC = BC.
典例精析
例1 解：如图，连接。
， 是的两条切线，A，B是切点，
，，
又，。
是等边三角形。PB
又在中，，2，
，。
的周长为。
练一练1. B
2.
解：（1） 是 的切线， 为 的直径，
。。
，
。
又 、 切 于点 、，
。 为等边三角形。
。
（2） 如图，连接 ，则 。
在 中，，。
，，。
为等边三角形。
。
。
当堂反馈
1.　C　2.　B　3.　　
4.　90　，　10　cm.
5.解：(1)圆心O如图所示.
(2)补全图形如图所示，连接AO.
∵PA，PB是圆的切线，A，B为切点，
∴∠CBP＝90°，∠OAC＝90°，PA＝PB＝3，
则AC＝PC－PA＝2.在Rt△BCP中，
由勾股定理得BC＝＝4.设OC＝x，
则BO＝OA＝4－x.在Rt△AOC中，
由勾股定理得OA2＋AC2＝OC2，即(4－x)2＋22＝x2，
解得x＝.∴OC＝.
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