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2026秋人教九上数学AI赋能完全备课【导学案】
第30章 直线与圆的位置关系
30.2　三角形的内切圆
【学习目标】
1.了解三角形的内切圆、内心的概念，会作三角形的内切圆.
2.能准确作出三角形的内切圆，会利用内心的性质解决简单的边长、角度计算问题.
3.区分三角形“内心”与“外心”的本质差异.
学习重点：三角形内切圆、内心的定义及内心的性质；三角形内切圆的尺规作图方法.
学习难点：利用内切圆的性质解决边长计算问题.
【复习导入】
问题：什么是三角形外接圆？外心是什么？有什么性质？
想一想：是否存在与三角形的三条边都相切的圆？
【合作探究】
探究点：三角形的内切圆
思考：下图是一块三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形用料，并且所截的圆与三角形的三条边都相切？
问题1 如果最大圆存在，它与三角形三边应有怎样的位置关系？
问题2 如何求作一个圆，使它与三角形的三边都相切？
（1） 如果半径为的与的三边都相切，那么圆心应满足什么条件？
（2） 在的内部，如何找到满足条件的圆心呢？
[做一做]
如图，已知△ABC.
求作：和△ABC 的各边都相切的圆 I.
[知识要点]
与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫作这个三角形的内心，这个三角形叫作这个圆的外切三角形.
☉I 是△ABC 的内切圆，
点 I 是△ABC 的内心，
△ABC 是☉I 的外切三角形.
请类比三角形的外心，填一填.
名称 确定方法 图形 性质
外心：三角形外接圆的圆心
内心：三角形内切圆的圆心
[典例精析]
例1 如图，△ABC 的内切圆 ☉O 与 BC、CA、AB 分别相切于点 D，E，F，且
AB = 9，BC = 14，CA = 13，求 AF、BD、CE 的长.
总结：解决本题的关键是熟练运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程求解.
[练一练]
1. 设边长为 的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为 、、，则下列结论不正确的是( )
A. B.
C. D.
2. 如图，为的内切圆，，，，点，分别为，上的点，且为的切线，则的周长为 。
3. 如图，已知 △ABC 的内切圆⊙O 与 BC 边相切于点 D，连接 OB，OD.
若∠ABC = 40°，求∠BOD 的度数.
当堂反馈
1.如图，△ABC是一张三角形的纸片，☉O是它的内切圆，点D是其中的一个切点.已知AD＝10cm，小明准备用剪刀沿着与☉O相切的任意一条直线MN剪下一块三角形(△AMN)，则剪下的△AMN的周长为(　　)
A.20cm B.15cm
C.10cm D.随直线MN的变化而变化
第1题图 第2题图
2.如图，四边形ABCD是☉O的外切四边形，且AB＝10，CD＝12，☉O的半径r＝5，则四边形ABCD的面积为(　　)
A.44 B.88 C.100 D.110
3.如图，已知点O是△ABC的内心，若∠BAC＝50°，则∠BOC＝　　°.
第3题图
4.三国时期数学家刘徽用“衰分术”证明了《九章算术》中的“勾中容圆径”公式：在直角三角形中，若两直角边长分别为a，b，斜边长为c，则该直角三角形的内切圆直径
d＝，当a＝5，c＝13时，该直角三角形的内切圆半径为　　.
5.[连切点]如图，在△ABC中，AB＝AC，☉O是△ABC的内切圆，它与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F.
(1)求证：BE＝CE；
(2)若∠A＝90°，AB＝AC＝2，求☉O的半径.
参考答案
【合作探究】
探究点：三角形的内切圆
问题2 （1）圆心 I 到三角形三边的距离相等，都等于 r.
（2）圆心 I 应是三角形的三条角平分线的交点.三角形三条角平分线交于一点，这一点到三角形三边的距离相等.
[做一做]
作法：作和的平分线BM和CN，交点为I.
过点I作，垂足为D.
以I为圆心，ID为半径作圆I.就是所求的圆.
填一填
名称 确定方法 图形 性质
外心：三角形外接圆的圆心 三角形三边垂直平分线的交点 1.外心到三个顶点的距离相等； 2.外心不一定在三角形的内部
内心：三角形内切圆的圆心 三角形三条角平分线的交点 1.内心到三边的距离相等； 2.内心在三角形的内部
典例精析
例1 解：设 ，则 。
，
由 ，可得
， 解得 。
因此 ，，。
[练一练] 1. C 2. 11
3. 解： 的内切圆 与 边相切于点 ，
平分 ，.
.
.
当堂反馈
1.　A
2.　D　
3.　115　
4.2　
5.(1)证明：∵☉O是△ABC的内切圆，切点为D，E，F，
∴AD＝AF，BD＝BE，CE＝CF.
∵AB＝AC，∴AB－AD＝AC－AF，即BD＝CF.∴BE＝CE.
(2)解：如图，连接OD，OF.
∵☉O是△ABC的内切圆，切点为D，E，F，
∴∠ODA＝∠OFA＝∠A＝90°.∴四边形ODAF是矩形.
又∵OD＝OF，∴四边形ODAF是正方形.
设OD＝AD＝AF＝r，则BE＝BD＝CF＝CE＝2－r.
在△ABC中，∠A＝90°，∴BC＝＝2.
又∵BC＝BE＋CE，∴(2－r)＋(2－r)＝2，
解得r＝2－.∴☉O的半径是2－.
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