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2026秋人教九上数学AI赋能完全备课【导学案】
第30章 直线与圆的位置关系
30.3 正多边形和圆
【学习目标】
1.了解正多边形与圆的关系，了解正多边形的半径和边长、边心距、中心、中心角等概念，会应用正多边形的有关知识解决圆的有关计算问题，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法.
2.结合生活中的正多边形形状的图案，发现正多边形和圆的关系，会用圆的有关知识，解决正多边形的问题.
学习重点：理解、掌握正多边形的半径、中心角、边心距、边等定义及其中的关系.
学习难点：探索正多边形与圆的关系.
【情境导入】
下图的这些图案，都是我们在日常生活中经常看到的. 你能从这些图案中找出基本的几何图形吗
【合作探究】
探究点1：圆的内接正多边形
问题 下面图形统称为什么图形，各边和各内角什么特点呢？怎么样由圆得到这种图形呢？
【知识要点】
只要把一个圆分成相等的一些弧，以各分点为顶点的多边形就是这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆；
例如，图中的多边形是的内接正九边形.
经过各分点作圆的切线，相邻切线的交点为顶点的多边形就是这个圆的外切正多边形，这个圆就是这个正多边形的内切圆.
例如，图中的多边形是⊙O 的外切正六边形.
下面以圆内接正五边形为例进行证明作法的正确性.
[知识要点]
圆的内接正多边形
正多边形的外接圆的圆心，叫作正多边形的中心
外接圆的半径叫作正多边形的半径
正多边形每一条边所对的圆心角，叫作正多边形的中心角
中心到正多边形的一边的距离叫作正多边形的边心距
想一想：所有的正多边形是不是都有一个外接圆和一个内切圆？
练一练 完成下面表格：
正多边形边数 内角 中心角 外角
3
4
6
n
填一填
正多边形的边数 边长 半径 边心距 周长 面积
3 2
4 2
6 2
[典例精析]
例1 延安宝塔是革命圣地延安的标志和象征，它是一个八角九层楼阁式砖塔，其塔基的形状是半径为 6 m 的正八边形. 求塔基的面积 (结果保留小数点后一位).
练一练
1. 如图，正六边形ABCDEF 内接于 ⊙O ，点 M 在 上，则 ∠CME 的度数为 ( )
A.30° B.36°
C.45° D.60°
例2 如图，已知 的周长等于 ，则该圆内接正六边形 的边心距 为 （ ）
A. B. C. D.
归纳总结：
圆内接正多边形的辅助线：
1. 连半径，得中心角；
2. 作边心距，构造直角三角形.
探究点 2：正多边形作图
合作探究
请探索其他等分圆周的方法作任意的正 n 边形.
量角器等分圆周 正三角形为例.
动手实践
你能用以上方法画出正四边形、正五边形、正六边形吗？
旋转作图等分圆周 正三角形为例.
当堂反馈
1.一个正多边形的中心角是36°，那么这个正多边形的边数是(　　)
A.12 B.10 C.8 D.6
2.如图，点O是正五边形ABCDE的中心，则∠BAO的度数为　　.
第2题图
3.如图，正六边形ABCDEF内接于☉O，☉O的半径为6，则这个正六边形的边心距OM的长为　　.
第3题图
4.如图，AB为☉O的内接正多边形的一边，已知∠OAB＝70°，则这个正多边形的内角和为　　.
第4题图
5.(用等分圆周的方法画出下面的图案：
参考答案
【合作探究】
探究点1：圆的内接正多边形
问题 各边相等、各内角相等→正多边形.
把一个圆分成相等的一些弧，以各分点为顶点，顺次连接得到.
证明：如图，把☉O分成相等的5段弧，依次连接各分点得到正五边形ABCDE.
∵＝＝＝＝，∴AB＝BC＝CD＝DE＝EA，＝3＝.∴∠A＝∠B.同理∠B＝∠C＝∠D＝∠E.又∵五边形ABCDE的顶点都在☉O上，∴五边形ABCDE是☉O的内接正五边形，☉O是五边形ABCDE的外接圆.
想一想：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，且圆心相同.
练一练
正多边形边数 内角 中心角 外角
3 60° 120° 120°
4 90° 90° 90°
6 120° 60° 60°
n
填一填
正多边形边数 边长 半径 边心距 周长 面积
3 2 6
4 2 1 8 4
6 2 2 2
例1 解：如图，连接，，作，垂足为。
八边形是半径为的正八边形，
，。
又为直角三角形，
。 。
在中，由勾股定理，得
。。
因此，塔基的面积
。
练一练1. D
例2
探究点 2：正多边形作图
正三角形为例.
正四边形、正五边形、正六边形:
正三角形为例：
当堂反馈
1.　B　
2.　54°　.
3.　3　
4.　1260°　
5.
解：如图，先把☉O四等分，
再分别以四等分点A，B，C，D为圆心，
AO长为半径画圆即可得图案.
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