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2026秋人教九上数学AI赋能完全备课【导学案】
第30章 直线与圆的位置关系
数学活动　纸条平结和利用等分圆周设计图案
【学习目标】
1.通过纸条平结探究五边形的边、角特征，理解正五边形的性质；掌握利用等分圆周设计图案的方法，体会圆与正多边形的联系.
2.经历“操作－测量－猜想－证明”的探究过程，提升动手实践、几何推理能力；通过图案设计，发展空间想象与创新思维.
3.感受数学在传统结艺、图案设计中的应用，体会数学与生活、艺术的关联，增强文化自信与学习兴趣.
学习重点：.纸条平结得到的五边形为正五边形的探究；等分圆周设计图案的方法.
学习难点：证明纸条平结得到的五边形各边、各角相等.
【复习导入】
问题1：正五边形的定义是什么？
问题2：正五边形的内角和和每个内角的度数是多少？
【合作探究】
探究点1：纸条平结的正五边形探究
操作与测量：播放纸条平结演示视频，指导学生将矩形纸条打结、收紧压平得到五边形.发放记录单，要求小组用刻度尺、量角器测量五边形的边长与内角度数，记录数据.
猜想：“这个五边形的边、角有什么特点？”
证明：纸条的对边平行，折叠时形成的交叉部分构成菱形或等腰三角形，利用这些基本图形的性质，再结合纸条宽度相等的条件，可推导出五边形的边和角均相等.根据多边形内角和公式，五边形内角和为（5－2）×180°＝540°；若5个内角相等，则每个内角为540°÷5＝108°，与实际测量结果一致（符合正五边形的内角特征）.
证一证:
探究点二：利用等分圆周设计图案
知识回顾：如何通过等分圆周得到正多边形？
操作：以6等分圆周为例
许多图案设计都和圆有关. 图3 是北京大兴国际机场一种地砖的图案，形如展翅的凤凰. 图4 是一些利用等分圆周设计出的图案.
如图5，利用等分圆周得到的正多边形，也可以设计出一些图案.
你能画出其中的一些图案吗 请你再利用圆或正多边形设计一些图案，并与同学交流.
当堂反馈
1.用矩形纸条打平结得到的五边形为正五边形，已知该正五边形的周长为20cm，则其边长为　　cm，每个内角的度数为　　.
2.要在半径为4cm的圆内画出正六边形，需将圆周　　等分，等分后相邻两个等分点之间的弦长为　　cm.
3.若要设计以正五边形为基础的图案，需先将圆周5等分，则正五边形的中心角为　　°；请用一句话描述设计思路（可举例）：　 　.
参考答案
【复习导入】
问题1：各边相等、各内角相等的五边形.
问题2：其内角和为 ，
每个内角的度数为 .
【合作探究】
探究点1：纸条平结的正五边形探究
猜想：各边相等、各角相等
证一证:折叠平行 对角线∥边，BE∥DC 平行四边形ABCP
折叠 ∠1＝∠2 ∠1＝∠2＝∠3＝∠4 AE＝AP＝BC
AB＝BC，AB∥CE，BC∥AD 菱形ABCP
同理可得，菱形BCDF，菱形EDCF AE＝ED＝DC＝CB＝AB.
探究点二：利用等分圆周设计图案
知识回顾：
圆周等分的核心原理是“等弧对等弦”，圆上相等的弧所对的弦长度相等，因此等分圆周后连接分点，所得多边形的各边必然相等，结合圆周角定理可进一步证明各内角相等，即得到正多边形.
操作：以6等分圆周为例
第一步：用圆规画一个半径为5cm的圆，确定圆心O；
第二步：以圆上任意一点A为圆心，保持圆规半径不变，画弧交圆于B点，再以B点为圆心画弧交圆于C点，依次操作得到6个等分点；
第三步：顺次连接6个等分点，就能得到正六边形.
当堂反馈
1.4　，　108°　.
2.　6　，　4　.
3.　72　°；　将圆周5等分后顺次连接分点得到正五边形，再连接各顶点与中心画出图案　.
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