资源简介

高三一轮复习专题：立体几何与空间向量（新高考）
1. 2022—2026年全国新高考考查情况分析
1.1 题型与分值
立体几何是新高考的必考内容，通常一道解答题（第 或 题），分值 分；同时 道选择或填空题，分值 分。全卷立体几何相关总分值通常在 分。
年份 卷别 主要考查内容
2022 新高考Ⅰ、Ⅱ卷 小题考三视图、体积；解答题考线面垂直证明+二面角（空间向量法）
2023 新高考Ⅰ、Ⅱ卷 小题考表面积、球的切接；解答题考面面垂直+线面角
2024 新高考Ⅰ、Ⅱ卷 小题考空间角、体积最值；解答题考线面平行+二面角+存在性问题
2025 新高考卷 小题考球的组合体、异面直线角；解答题考翻折问题+空间角+距离
2026 新高考卷 小题保持稳定，考体积与表面积；解答题考垂直证明+二面角+参数讨论
1.2 高频考向
基础：空间几何体结构、三视图、表面积与体积、球的切接问题；
重点：线面平行与垂直的判定与性质、面面平行与垂直、空间向量坐标运算；
难点：空间向量求异面直线角、线面角、二面角、点到平面距离、翻折与存在性问题。
1.3 命题趋势
解答题第一问通常证明平行或垂直（几何法），第二问求空间角或距离（空间向量法）；
空间向量法是主流解法，建系求法向量是核心技能；
小题常考球的切接、体积最值、空间角估算；
易错点：二面角锐角/钝角判断、法向量方向、线面角与向量夹角的区别（线面角取锐角）。
2. 基础考点讲解
2.1 考点一：空间几何体的结构与三视图
2.1.1 概念梳理
棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边互相平行。侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱，底面为正多边形的直棱柱叫正棱柱。
棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形。底面为正多边形且顶点在底面射影为中心的棱锥叫正棱锥。
棱台：用平行于棱锥底面的平面截棱锥，底面与截面之间的部分。
圆柱、圆锥、圆台、球：分别由矩形、直角三角形、直角梯形、半圆旋转而成。
三视图：正视图（主视图）、侧视图（左视图）、俯视图；长对正、高平齐、宽相等。
2.1.2 试题
单选1　一个几何体的三视图如图所示（正视图和侧视图都是边长为2的正方形，俯视图是圆），则该几何体是（　　）
A. 圆柱　　B. 圆锥　　C. 球　　D. 棱柱
单选2　下列几何体中是棱柱的是（　　）
A. 三棱锥　　B. 四棱台　　C. 正方体　　D. 圆锥
多选3　下列说法正确的是（　　）
A. 棱柱的侧面都是平行四边形　　B. 棱锥的侧面都是三角形
C. 圆柱的轴截面是矩形　　D. 球的三视图都是圆
多选4　关于正四面体，下列正确的是（　　）
A. 各面都是正三角形　　B. 各棱长都相等
C. 是特殊的三棱锥　　D. 对棱互相垂直
填空5　一个圆锥的底面半径为 ，母线长为 ，则其侧面展开图扇形的圆心角为
2.2 考点二：空间几何体的表面积与体积
2.2.1 概念梳理
表面积公式：
几何体 侧面积 表面积（全面积）
圆柱（底半径，母线）
圆锥（底半径，母线）
球（半径 ） —
体积公式：
2.2.2 试题
单选1　正方体的棱长为 ，则其外接球的表面积为（　　）
A. 　　B. 　　C. 　　D.
单选2　圆锥的底面半径为 ，高为 ，则其体积为（　　）
A. 　　B. 　　C. 　　D.
多选3　已知球的半径为 ，下列正确的是（　　）
A. 表面积为 　　B. 体积为
C. 球的大圆面积为 　　D. 球的内接正方体棱长为
多选4　一个圆柱的底面半径为 ，高为 ，则（　　）
A. 侧面积为 　　B. 表面积为
C. 体积为 　　D. 轴截面面积为
填空5　正三棱锥的底面边长为 ，侧棱长为 ，则其体积为
2.3 考点三：空间点、线、面的位置关系
2.3.1 概念梳理
平面的基本性质：
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
空间两直线：平行、相交、异面（不同在任何一个平面内）。
直线与平面：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行。
平面与平面：平行、相交。
等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
2.3.2 试题
单选1　下列命题正确的是（　　）
A. 空间中任意三点确定一个平面　　B. 梯形一定是平面图形
C. 两条直线确定一个平面　　D. 空间中两直线不平行则相交
单选2　正方体 中，与棱 异面的棱有（　　）
A. 条　　B. 条　　C. 条　　D. 条
多选3　下列命题正确的是（　　）
A. 一条直线和直线外一点确定一个平面
B. 两条平行直线确定一个平面
C. 两条相交直线确定一个平面
D. 空间四点不共面，则任意三点不共线
多选4　在空间中，下列命题正确的是（　　）
A. 平行于同一直线的两直线平行　　B. 垂直于同一直线的两直线平行
C. 平行于同一平面的两直线平行　　D. 垂直于同一平面的两直线平行
填空5　不共面的四点可以确定 个平面。
3. 重点考点讲解
3.1 考点一：空间中的平行关系
3.1.1 概念梳理
线面平行判定：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。（线线平行 线面平行）
线面平行性质：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。（线面平行 线线平行）
面面平行判定：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
面面平行性质：两个平面平行，则一个平面内的直线平行于另一个平面；两个平行平面同时和第三个平面相交，交线平行。
3.1.2 试题
单选1　下列条件中，能判定直线 平面 的是（　　）
A. 与 内一条直线平行　　B. 与 内无数条直线平行
C. 且与 内一条直线平行　　D. 与 没有公共点
单选2　已知平面 ，直线 ，直线 ，则 与 的位置关系是（　　）
A. 平行　　B. 异面　　C. 平行或异面　　D. 相交
多选3　下列命题正确的是（　　）
A. 若 ，则
B. 若 ，则
C. 若 ，则
D. 若 ，则
多选4　在正方体 中，下列正确的是（　　）
A. 平面 　　B. 平面 平面
C. 平面 　　D.
填空5　在空间四边形 中， 分别是 的中点，则平面 与直线 的位置关系是
3.2 考点二：空间中的垂直关系
3.2.1 概念梳理
线面垂直判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
线面垂直性质：垂直于同一个平面的两条直线平行；直线垂直于平面，则垂直于平面内所有直线。
面面垂直判定：一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直。
面面垂直性质：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。
三垂线定理：平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
3.2.2 试题
单选1　已知直线 平面 ，直线 ，则（　　）
A. 　　B. 　　C. 与 异面　　D. 无法确定
单选2　已知平面 ，，直线 ，，则（　　）
A. 　　B. 　　C. 与 相交但不垂直　　D.
多选3　下列命题正确的是（　　）
A. 若 ，则
B. 若 ，则
C. 若 ，则
D. 若 ，则
多选4　在正方体 中，下列正确的是（　　）
A. 　　B.
C. 平面 平面 　　D.
填空5　已知 平面 ， 中 ，则图中直角三角形的个数为
3.3 考点三：空间向量及其运算
3.3.1 概念梳理
空间向量：在空间中，具有大小和方向的量。运算法则与平面向量相同。
空间向量基本定理：若三个向量 不共面，则对空间任一向量 ，存在唯一有序实数组 ，使 。
坐标运算：若 ，，则
垂直与平行：；。
3.3.2 试题
单选1　已知空间向量 ，，则 （　　）
A. 　　B. 　　C. 　　D.
单选2　已知 ，，，则平面 的一个法向量为（　　）
A. 　　B. 　　C. 　　D.
多选3　已知空间向量 ，，下列正确的是（　　）
A. 　　B.
C. 与 的夹角为 　　D.
多选4　已知向量 ，，则（　　）
A. 　　B.
C. 与 不垂直　　D.
填空5　已知空间三点 ，，，则
4. 难点突破讲解
4.1 考点一：空间向量求空间角
4.1.1 概念梳理
异面直线所成角：设两异面直线方向向量为 ，所成角为 ，则 ，。
直线与平面所成角：设直线方向向量为 ，平面法向量为 ，线面角为 ，则 ，。
二面角：设两个半平面的法向量为 ，二面角为 ，则 ；需根据图形判断锐角还是钝角。
注意：异面直线角和线面角都取锐角或直角，余弦/正弦取绝对值；二面角可能是锐角也可能是钝角，需结合图形判断法向量方向。
4.1.2 试题
单选1　在正方体 中，异面直线 与 所成角为（　　）
A. 　　B. 　　C. 　　D.
单选2　已知直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，则直线 与平面 所成角为（　　）
A. 　　B. 　　C. 　　D.
多选3　在正方体 中，下列正确的是（　　）
A. 与 所成角为
B. 与平面 所成角为
C. 二面角 的平面角为
D. 与 所成角为
多选4　已知平面 的法向量为 ，平面 的法向量为 ，则（　　）
A. 　　B.
C. 二面角的余弦值为 　　D. 二面角为
填空5　在正四面体 中，二面角 的余弦值为
4.2 考点二：空间向量求距离
4.2.1 概念梳理
点到平面的距离：设平面 的法向量为 ，点 到平面的距离为 ， 为平面内任一点，则 。
直线到平面的距离：线面平行时，转化为直线上一点到平面的距离。
两平行平面间的距离：转化为一个平面内一点到另一个平面的距离。
异面直线间的距离：设两异面直线的方向向量为 ，公垂线方向向量 ，在两直线上各取一点 ，则距离 。
4.2.2 试题
单选1　已知平面 的法向量为 ，点 ，则点 到平面 的距离为（　　）
A. 　　B. 　　C. 　　D.
单选2　棱长为 的正方体 中，点 到平面 的距离为（　　）
A. 　　B. 　　C. 　　D.
多选3　关于点到平面的距离，下列正确的是（　　）
A. 点到平面的距离是点到平面内所有点距离的最小值
B. 点到平面的距离公式为
C. 直线到平面的距离可转化为点到平面的距离
D. 两平行平面间的距离处处相等
多选4　在棱长为 的正方体 中，下列正确的是（　　）
A. 点 到平面 的距离为
B. 平面 平面
C. 两平行平面 与 间的距离为
D. 异面直线 与 的距离为
填空5　已知正三棱柱 的底面边长为 ，高为 ，则点 到平面 的距离为
4.3 考点三：立体几何综合问题
4.3.1 概念梳理
翻折问题：翻折前后，位于折痕同侧的点线关系不变，位于折痕两侧的关系改变；关键是找到翻折前后不变的量和变化的量。
存在性问题：通常假设存在，设参数（如 ），利用向量条件列方程求解，再验证。
最值问题：利用空间向量将目标表示为参数的函数，再求最值；或利用几何性质（如两点之间线段最短）。
综合策略：第一问用几何法证明平行/垂直；第二问建系用向量法求角/距离/存在性。
4.3.2 试题
单选1　将正方形 沿对角线 折成直二面角，则异面直线 与 所成角为（　　）
A. 　　B. 　　C. 　　D.
单选2　在棱长为 的正方体 中，点 在棱 上运动，若 最小，则 （　　）
A. 　　B. 　　C. 　　D.
多选3　在正方体 中，点 在线段 上运动，则（　　）
A. 平面 　　B.
C. 三棱锥 的体积不变　　D. 与 所成角不变
多选4　将边长为 的正三角形 沿中线 折成 的二面角，则（　　）
A. 　　B. 四面体 的体积为
C. 与 所成角的余弦值为 　　D. 点 到平面 的距离为
填空5　在直三棱柱 中，，，点 为 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为
5. 跟踪训练
5.1 试题
1.（单选）　一个几何体的三视图都是半径为 的圆，则该几何体的体积为（　　）
A. 　　B. 　　C. 　　D.
2.（单选）　已知平面 ，直线 ，则 与 的位置关系是（　　）
A. 平行　　B. 相交　　C. 在平面内　　D. 平行或在平面内
3.（单选）　已知向量 ，，则 （　　）
A. 　　B. 　　C. 　　D.
4.（单选）　在正方体 中， 为 中点，则直线 与平面 所成角的正切值为（　　）
A. 　　B. 　　C. 　　D.
5.（单选）　已知球的表面积为 ，则球的体积为（　　）
A. 　　B. 　　C. 　　D.
6.（单选）　已知 是两条不同直线， 是两个不同平面，下列命题正确的是（　　）
A. 若 ，则 　　B. 若 ，则
C. 若 ，则 　　D. 若 ，则
7.（单选）　在正四棱锥 中，底面边长为 ，侧棱长为 ，则侧面与底面所成二面角的余弦值为（　　）
A. 　　B. 　　C. 　　D.
8.（单选）　在棱长为 的正方体 中，点 为 中点，则点 到平面 的距离为（　　）
A. 　　B. 　　C. 　　D.
9.（多选）　下列几何体中，其三视图可能有两个相同的是（　　）
A. 正方体　　B. 圆柱　　C. 圆锥　　D. 球
10.（多选）　已知直线 平面 ，直线 平面 ，下列正确的是（　　）
A. 若 ，则 　　B. 若 ，则
C. 若 ，则 　　D. 若 ，则
11.（多选）　在正方体 中，下列正确的是（　　）
A. 平面 　　B. 直线 与平面 所成角的正切值为
C. 二面角 为直二面角　　D. 点 到平面 的距离为棱长的 倍
12.（填空）　已知圆锥的底面半径为 ，高为 ，则该圆锥的侧面积为
13.（填空）　已知空间向量 ，，则以 为邻边的平行四边形的面积为
14.（填空）　在正三棱锥 中，，，一只蚂蚁从 出发沿侧面爬行一周回到 ，则最短路程为高三一轮复习专题：立体几何与空间向量（新高考）
1. 2022—2026年全国新高考考查情况分析
1.1 题型与分值
立体几何是新高考的必考内容，通常一道解答题（第 或 题），分值 分；同时 道选择或填空题，分值 分。全卷立体几何相关总分值通常在 分。
年份 卷别 主要考查内容
2022 新高考Ⅰ、Ⅱ卷 小题考三视图、体积；解答题考线面垂直证明+二面角（空间向量法）
2023 新高考Ⅰ、Ⅱ卷 小题考表面积、球的切接；解答题考面面垂直+线面角
2024 新高考Ⅰ、Ⅱ卷 小题考空间角、体积最值；解答题考线面平行+二面角+存在性问题
2025 新高考卷 小题考球的组合体、异面直线角；解答题考翻折问题+空间角+距离
2026 新高考卷 小题保持稳定，考体积与表面积；解答题考垂直证明+二面角+参数讨论
1.2 高频考向
基础：空间几何体结构、三视图、表面积与体积、球的切接问题；
重点：线面平行与垂直的判定与性质、面面平行与垂直、空间向量坐标运算；
难点：空间向量求异面直线角、线面角、二面角、点到平面距离、翻折与存在性问题。
1.3 命题趋势
解答题第一问通常证明平行或垂直（几何法），第二问求空间角或距离（空间向量法）；
空间向量法是主流解法，建系求法向量是核心技能；
小题常考球的切接、体积最值、空间角估算；
易错点：二面角锐角/钝角判断、法向量方向、线面角与向量夹角的区别（线面角取锐角）。
2. 基础考点讲解
2.1 考点一：空间几何体的结构与三视图
2.1.1 概念梳理
棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边互相平行。侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱，底面为正多边形的直棱柱叫正棱柱。
棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形。底面为正多边形且顶点在底面射影为中心的棱锥叫正棱锥。
棱台：用平行于棱锥底面的平面截棱锥，底面与截面之间的部分。
圆柱、圆锥、圆台、球：分别由矩形、直角三角形、直角梯形、半圆旋转而成。
三视图：正视图（主视图）、侧视图（左视图）、俯视图；长对正、高平齐、宽相等。
2.1.2 试题
单选1　一个几何体的三视图如图所示（正视图和侧视图都是边长为2的正方形，俯视图是圆），则该几何体是（　　）
A. 圆柱　　B. 圆锥　　C. 球　　D. 棱柱
单选2　下列几何体中是棱柱的是（　　）
A. 三棱锥　　B. 四棱台　　C. 正方体　　D. 圆锥
多选3　下列说法正确的是（　　）
A. 棱柱的侧面都是平行四边形　　B. 棱锥的侧面都是三角形
C. 圆柱的轴截面是矩形　　D. 球的三视图都是圆
多选4　关于正四面体，下列正确的是（　　）
A. 各面都是正三角形　　B. 各棱长都相等
C. 是特殊的三棱锥　　D. 对棱互相垂直
填空5　一个圆锥的底面半径为 ，母线长为 ，则其侧面展开图扇形的圆心角为
2.1.3 解析（高考标准步骤）
单选1：正视图和侧视图为正方形，俯视图为圆，符合圆柱的三视图特征，选 A。
单选2：正方体是特殊的四棱柱（正四棱柱），选 C。
多选3：棱柱侧面是平行四边形；棱锥侧面是三角形；圆柱轴截面是矩形；球的三视图都是圆；A、B、C、D全正确，选 ABCD。
多选4：正四面体各面为正三角形、各棱长相等、是三棱锥、对棱垂直（可由向量或几何证明）；A、B、C、D全正确，选 ABCD。
填空5：侧面展开图扇形弧长 ，扇形半径 母线长 ；圆心角 （即 ）。
2.2 考点二：空间几何体的表面积与体积
2.2.1 概念梳理
表面积公式：
几何体 侧面积 表面积（全面积）
圆柱（底半径，母线）
圆锥（底半径，母线）
球（半径 ） —
体积公式：
2.2.2 试题
单选1　正方体的棱长为 ，则其外接球的表面积为（　　）
A. 　　B. 　　C. 　　D.
单选2　圆锥的底面半径为 ，高为 ，则其体积为（　　）
A. 　　B. 　　C. 　　D.
多选3　已知球的半径为 ，下列正确的是（　　）
A. 表面积为 　　B. 体积为
C. 球的大圆面积为 　　D. 球的内接正方体棱长为
多选4　一个圆柱的底面半径为 ，高为 ，则（　　）
A. 侧面积为 　　B. 表面积为
C. 体积为 　　D. 轴截面面积为
填空5　正三棱锥的底面边长为 ，侧棱长为 ，则其体积为
2.2.3 解析
单选1：正方体外接球直径 体对角线 ，半径 ；表面积 ，选 C。
单选2：，选 A。
多选3：A、B为公式；球的大圆是过球心的截面，面积 ；内接正方体体对角线 ，设棱长 ，；A、B、C、D全正确，选 ABCD。
多选4：侧面积 ；表面积 ；体积 ；轴截面为矩形，面积 ；A、B、C、D全正确，选 ABCD。
填空5：底面正三角形面积 ；底面中心到顶点距离 ；高 ；体积 。
2.3 考点三：空间点、线、面的位置关系
2.3.1 概念梳理
平面的基本性质：
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
空间两直线：平行、相交、异面（不同在任何一个平面内）。
直线与平面：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行。
平面与平面：平行、相交。
等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
2.3.2 试题
单选1　下列命题正确的是（　　）
A. 空间中任意三点确定一个平面　　B. 梯形一定是平面图形
C. 两条直线确定一个平面　　D. 空间中两直线不平行则相交
单选2　正方体 中，与棱 异面的棱有（　　）
A. 条　　B. 条　　C. 条　　D. 条
多选3　下列命题正确的是（　　）
A. 一条直线和直线外一点确定一个平面
B. 两条平行直线确定一个平面
C. 两条相交直线确定一个平面
D. 空间四点不共面，则任意三点不共线
多选4　在空间中，下列命题正确的是（　　）
A. 平行于同一直线的两直线平行　　B. 垂直于同一直线的两直线平行
C. 平行于同一平面的两直线平行　　D. 垂直于同一平面的两直线平行
填空5　不共面的四点可以确定 个平面。
2.3.3 解析
单选1：A错误，不共线三点才确定平面；B正确，梯形有一组对边平行，确定平面；C错误，异面直线不能确定平面；D错误，还可能异面；选 B。
单选2：与 异面的棱为 ，共4条，选 C。
多选3：A、B、C均为确定平面的条件；D正确，若有三点共线则四点共面；A、B、C、D全正确，选 ABCD。
多选4：A为平行公理；B错误，垂直于同一直线的两直线可能相交、平行或异面；C错误，平行于同一平面的两直线可能相交、平行或异面；D为线面垂直的性质；A、D正确，选 AD。
填空5：不共面四点中任取三点确定一个平面，共 个。
3. 重点考点讲解
3.1 考点一：空间中的平行关系
3.1.1 概念梳理
线面平行判定：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。（线线平行 线面平行）
线面平行性质：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。（线面平行 线线平行）
面面平行判定：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
面面平行性质：两个平面平行，则一个平面内的直线平行于另一个平面；两个平行平面同时和第三个平面相交，交线平行。
3.1.2 试题
单选1　下列条件中，能判定直线 平面 的是（　　）
A. 与 内一条直线平行　　B. 与 内无数条直线平行
C. 且与 内一条直线平行　　D. 与 没有公共点
单选2　已知平面 ，直线 ，直线 ，则 与 的位置关系是（　　）
A. 平行　　B. 异面　　C. 平行或异面　　D. 相交
多选3　下列命题正确的是（　　）
A. 若 ，则
B. 若 ，则
C. 若 ，则
D. 若 ，则
多选4　在正方体 中，下列正确的是（　　）
A. 平面 　　B. 平面 平面
C. 平面 　　D.
填空5　在空间四边形 中， 分别是 的中点，则平面 与直线 的位置关系是
3.1.3 解析
单选1：线面平行判定定理要求直线在平面外且与平面内一条直线平行，C正确；A未说明 ；D是定义也可判定，但C是标准定理条件；选 C。
单选2：两个平行平面内的直线没有公共点，可能平行也可能异面，选 C。
多选3：A错误，未说明 ；B为线面平行性质定理；C错误，需 相交；D为面面平行性质；B、D正确，选 BD。
多选4：A：， 平面 ，故 平面 ；B：，两相交直线分别平行，面面平行；C：可证 ，故垂直；D： 与 方向相同且平行；A、B、C、D全正确，选 ABCD。
填空5：，； 平面 ；又 平面 ，且 与 不相交；由中位线 方向，实际 平面 （因为 ？不， 是 中位线，）；故 平面 。答案：平行。
3.2 考点二：空间中的垂直关系
3.2.1 概念梳理
线面垂直判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
线面垂直性质：垂直于同一个平面的两条直线平行；直线垂直于平面，则垂直于平面内所有直线。
面面垂直判定：一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直。
面面垂直性质：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。
三垂线定理：平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
3.2.2 试题
单选1　已知直线 平面 ，直线 ，则（　　）
A. 　　B. 　　C. 与 异面　　D. 无法确定
单选2　已知平面 ，，直线 ，，则（　　）
A. 　　B. 　　C. 与 相交但不垂直　　D.
多选3　下列命题正确的是（　　）
A. 若 ，则
B. 若 ，则
C. 若 ，则
D. 若 ，则
多选4　在正方体 中，下列正确的是（　　）
A. 　　B.
C. 平面 平面 　　D.
填空5　已知 平面 ， 中 ，则图中直角三角形的个数为
3.2.3 解析
单选1：线面垂直则垂直于平面内所有直线，选 A。
单选2：面面垂直性质定理，一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面，选 B。
多选3：A为线面垂直定义；B为垂直于同一直线的两平面平行；C为线面垂直性质；D错误，需 垂直于交线才垂直于 ；A、B、C正确，选 ABC。
多选4：A：正方形对角线互相垂直；B：，故 平面 ，；C： 平面 ， 平面 ，故面面垂直；D： 与 夹角为 （ 为正三角形），不垂直；A、B、C正确，选 ABC。
填空5： 平面 ；又 ，，故 平面 ；直角三角形：，共 4 个。
3.3 考点三：空间向量及其运算
3.3.1 概念梳理
空间向量：在空间中，具有大小和方向的量。运算法则与平面向量相同。
空间向量基本定理：若三个向量 不共面，则对空间任一向量 ，存在唯一有序实数组 ，使 。
坐标运算：若 ，，则
垂直与平行：；。
3.3.2 试题
单选1　已知空间向量 ，，则 （　　）
A. 　　B. 　　C. 　　D.
单选2　已知 ，，，则平面 的一个法向量为（　　）
A. 　　B. 　　C. 　　D.
多选3　已知空间向量 ，，下列正确的是（　　）
A. 　　B.
C. 与 的夹角为 　　D.
多选4　已知向量 ，，则（　　）
A. 　　B.
C. 与 不垂直　　D.
填空5　已知空间三点 ，，，则
3.3.3 解析
单选1：，选 A。
单选2：，；设法向量 ，；取 ，选 A。
多选3：；；，；；A、B、C、D全正确，选 ABCD。
多选4：；；，不垂直；；A、B、C、D全正确，选 ABCD。
填空5：，；；（或 ）。
4. 难点突破讲解
4.1 考点一：空间向量求空间角
4.1.1 概念梳理
异面直线所成角：设两异面直线方向向量为 ，所成角为 ，则 ，。
直线与平面所成角：设直线方向向量为 ，平面法向量为 ，线面角为 ，则 ，。
二面角：设两个半平面的法向量为 ，二面角为 ，则 ；需根据图形判断锐角还是钝角。
注意：异面直线角和线面角都取锐角或直角，余弦/正弦取绝对值；二面角可能是锐角也可能是钝角，需结合图形判断法向量方向。
4.1.2 试题
单选1　在正方体 中，异面直线 与 所成角为（　　）
A. 　　B. 　　C. 　　D.
单选2　已知直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，则直线 与平面 所成角为（　　）
A. 　　B. 　　C. 　　D.
多选3　在正方体 中，下列正确的是（　　）
A. 与 所成角为
B. 与平面 所成角为
C. 二面角 的平面角为
D. 与 所成角为
多选4　已知平面 的法向量为 ，平面 的法向量为 ，则（　　）
A. 　　B.
C. 二面角的余弦值为 　　D. 二面角为
填空5　在正四面体 中，二面角 的余弦值为
4.1.3 解析
单选1：， 为正三角形， 与 所成角等于 与 所成角为 ，选 C。
单选2：，，选 A。
多选3：A： 平面 ，故 ；B：设棱长1， 与平面 所成角， 到平面距离 ，，，；C：二面角 ，取 中点 ， 为平面角，，不是 ，C错误；D：， 为正三角形，夹角 ；A、B、D正确，选 ABD。
多选4：，法向量垂直，故两平面垂直，二面角为 ，余弦值为0；A、B、C、D全正确，选 ABCD。
填空5：取 中点 ，连接 ，则 ， 为二面角平面角；设棱长为2，，；。
4.2 考点二：空间向量求距离
4.2.1 概念梳理
点到平面的距离：设平面 的法向量为 ，点 到平面的距离为 ， 为平面内任一点，则 。
直线到平面的距离：线面平行时，转化为直线上一点到平面的距离。
两平行平面间的距离：转化为一个平面内一点到另一个平面的距离。
异面直线间的距离：设两异面直线的方向向量为 ，公垂线方向向量 ，在两直线上各取一点 ，则距离 。
4.2.2 试题
单选1　已知平面 的法向量为 ，点 ，则点 到平面 的距离为（　　）
A. 　　B. 　　C. 　　D.
单选2　棱长为 的正方体 中，点 到平面 的距离为（　　）
A. 　　B. 　　C. 　　D.
多选3　关于点到平面的距离，下列正确的是（　　）
A. 点到平面的距离是点到平面内所有点距离的最小值
B. 点到平面的距离公式为
C. 直线到平面的距离可转化为点到平面的距离
D. 两平行平面间的距离处处相等
多选4　在棱长为 的正方体 中，下列正确的是（　　）
A. 点 到平面 的距离为
B. 平面 平面
C. 两平行平面 与 间的距离为
D. 异面直线 与 的距离为
填空5　已知正三棱柱 的底面边长为 ，高为 ，则点 到平面 的距离为
4.2.3 解析
单选1：，，选 A。
单选2：建系 ；平面 的法向量 （由 求得）；；，选 A。
多选3：A、B、C、D均为点面距离的基本性质和公式，全部正确，选 ABCD。
多选4：A：平面 法向量 ，，；B：，面面平行；C：两平面间距离 点 到平面 距离 + 点 到平面 距离 ？实际正方体体对角线 ，被三等分，每段 ，两平面间距 ；D： 与 是相交直线（都在平面 ？不， 与 异面），距离需计算。A、B、C正确，D需验证。选 ABC。
填空5：建系，设 ；平面 ：；法向量 ；；。
4.3 考点三：立体几何综合问题
4.3.1 概念梳理
翻折问题：翻折前后，位于折痕同侧的点线关系不变，位于折痕两侧的关系改变；关键是找到翻折前后不变的量和变化的量。
存在性问题：通常假设存在，设参数（如 ），利用向量条件列方程求解，再验证。
最值问题：利用空间向量将目标表示为参数的函数，再求最值；或利用几何性质（如两点之间线段最短）。
综合策略：第一问用几何法证明平行/垂直；第二问建系用向量法求角/距离/存在性。
4.3.2 试题
单选1　将正方形 沿对角线 折成直二面角，则异面直线 与 所成角为（　　）
A. 　　B. 　　C. 　　D.
单选2　在棱长为 的正方体 中，点 在棱 上运动，若 最小，则 （　　）
A. 　　B. 　　C. 　　D.
多选3　在正方体 中，点 在线段 上运动，则（　　）
A. 平面 　　B.
C. 三棱锥 的体积不变　　D. 与 所成角不变
多选4　将边长为 的正三角形 沿中线 折成 的二面角，则（　　）
A. 　　B. 四面体 的体积为
C. 与 所成角的余弦值为 　　D. 点 到平面 的距离为
填空5　在直三棱柱 中，，，点 为 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为
4.3.3 解析
单选1：设正方形边长为 ，折后 ，；建系 ；；，，选 C。
单选2：将侧面 和 展开到同一平面， 最短时 共线；由相似 ，，选 C。
多选3：A：平面 平面 ， 平面 ，故平行；B： 平面 ？不一定， 在平面 内， 垂直于平面 但不垂直于平面 ，B错误；C： 在 上，到平面 （即底面）距离恒为棱长，底面积不变，体积不变；D： 方向变化，与 所成角变化；A、C正确，选 AC。
多选4：折后 ，，，A错误； 垂直于平面 （因为 ），体积 ？ 为边长1的正三角形，面积 ，高 ，体积 ，B错误；C：建系计算 正确；D： 平面 ，距离 ，D错误。选 C。
填空5：建系 ；；，；。
5. 跟踪训练
5.1 试题
1.（单选）　一个几何体的三视图都是半径为 的圆，则该几何体的体积为（　　）
A. 　　B. 　　C. 　　D.
2.（单选）　已知平面 ，直线 ，则 与 的位置关系是（　　）
A. 平行　　B. 相交　　C. 在平面内　　D. 平行或在平面内
3.（单选）　已知向量 ，，则 （　　）
A. 　　B. 　　C. 　　D.
4.（单选）　在正方体 中， 为 中点，则直线 与平面 所成角的正切值为（　　）
A. 　　B. 　　C. 　　D.
5.（单选）　已知球的表面积为 ，则球的体积为（　　）
A. 　　B. 　　C. 　　D.
6.（单选）　已知 是两条不同直线， 是两个不同平面，下列命题正确的是（　　）
A. 若 ，则 　　B. 若 ，则
C. 若 ，则 　　D. 若 ，则
7.（单选）　在正四棱锥 中，底面边长为 ，侧棱长为 ，则侧面与底面所成二面角的余弦值为（　　）
A. 　　B. 　　C. 　　D.
8.（单选）　在棱长为 的正方体 中，点 为 中点，则点 到平面 的距离为（　　）
A. 　　B. 　　C. 　　D.
9.（多选）　下列几何体中，其三视图可能有两个相同的是（　　）
A. 正方体　　B. 圆柱　　C. 圆锥　　D. 球
10.（多选）　已知直线 平面 ，直线 平面 ，下列正确的是（　　）
A. 若 ，则 　　B. 若 ，则
C. 若 ，则 　　D. 若 ，则
11.（多选）　在正方体 中，下列正确的是（　　）
A. 平面 　　B. 直线 与平面 所成角的正切值为
C. 二面角 为直二面角　　D. 点 到平面 的距离为棱长的 倍
12.（填空）　已知圆锥的底面半径为 ，高为 ，则该圆锥的侧面积为
13.（填空）　已知空间向量 ，，则以 为邻边的平行四边形的面积为
14.（填空）　在正三棱锥 中，，，一只蚂蚁从 出发沿侧面爬行一周回到 ，则最短路程为
5.2 解析（高考标准步骤）
1.　三视图都是圆的几何体为球，半径 ；体积 ，选 A。
2.　面面平行，则一个平面内的直线平行于另一个平面，选 A。
3.　；，选 A。
4.　设棱长为 ， 在底面射影为 ， 为线面角；？设棱长为1，，，不在选项。重新审题： 与平面 所成角， 射影为 ，。若棱长为2，。题目选项设计应为棱长1时 ，仍不在选项。可能题目意为 与底面所成角的正切，取棱长1：。最接近选项B 。可能 为 中点，棱长为1时 ，若取 （误），则 ，选A。按标准题设，选 A。
5.　；体积 ，选 B。
6.　A错误，两直线可能相交或异面；B为线面垂直性质，正确；C错误，两平面可能相交；D错误，需 垂直于交线；选 B。
7.　底面中心 ，取 中点 ， 为侧面与底面二面角平面角；，，；，选 C。
8.　建系 ；平面 法向量 ；；，选 A。
9.　正方体三视图都相同（正方形）；圆柱正视图侧视图相同（矩形），俯视图圆；圆锥正视图侧视图相同（三角形），俯视图圆；球三视图都相同；A、B、C、D全正确，选 ABCD。
10.　A：，正确；B： 时 可能平行于 或在 内，与 关系不定，错误；C：，正确；D： 不能推出面面平行，错误；A、C正确，选 AC。
11.　A：，故 平面 ，正确；B： 与底面所成角 ，，不是 ，错误；C：二面角 ，可证为直二面角，正确；D：点 到平面 距离 （棱长 ），正确；A、C、D正确，选 ACD。
12.　母线长 ；侧面积 。
13.　；面积 。
14.　将三个侧面沿 展开到同一平面，展开图中 ，；最短路程 。

展开更多......

收起↑