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高三一轮复习专题：计数原理、概率、随机变量及其分布（新高考）
1. 2022—2026年全国新高考考查情况分析
1.1 题型与分值
计数原理、概率与随机变量是新高考的核心必考内容，通常一道解答题（第 或 题），分值 分；同时 道选择或填空题，分值 分。全卷概率统计相关总分值通常在 分。
年份 卷别 主要考查内容
2022 新高考Ⅰ、Ⅱ卷 小题考二项式定理、古典概型；解答题考条件概率+分布列+期望
2023 新高考Ⅰ、Ⅱ卷 小题考排列组合、正态分布；解答题考全概率公式+随机变量分布列+决策
2024 新高考Ⅰ、Ⅱ卷 小题考二项式系数、概率；解答题考二项分布+期望方差+实际决策
2025 新高考卷 小题考排列组合、条件概率；解答题考正态分布+分布列+最值讨论
2026 新高考卷 小题保持稳定，考二项式定理与古典概型；解答题考全概率+分布列+期望决策
1.2 高频考向
基础：两个计数原理、排列组合基本应用、二项式定理（通项与系数）、古典概型；
重点：条件概率与全概率公式、离散型随机变量分布列、二项分布与正态分布；
难点：随机变量的均值与方差、概率统计综合决策、排列组合计数技巧（捆绑/插空/隔板）。
1.3 命题趋势
解答题常以实际问题为背景（比赛、检验、投资、医学等），考查概率建模与数据分析；
全概率公式和贝叶斯公式近年考查频率上升，需重点掌握；
小题中二项式定理几乎每年必考（通项公式、系数和、赋值法）；
易错点：条件概率公式混淆、二项分布与超几何分布区分、正态分布对称性应用、排列组合中有序与无序判断。
2. 基础考点讲解
2.1 考点一：计数原理与排列组合
2.1.1 概念梳理
分类加法计数原理：完成一件事有 类办法，第 类有 种方法，则共有 种方法。（分类用加法）
分步乘法计数原理：完成一件事需 个步骤，第 步有 种方法，则共有 种方法。（分步用乘法）
排列：从 个不同元素中取出 个元素，按一定顺序排成一列。排列数：
组合：从 个不同元素中取出 个元素合成一组。组合数：
组合数性质：；。
2.1.2 试题
单选1　从 名同学中选出 名参加比赛，共有选法（　　）
A. 种　　B. 种　　C. 种　　D. 种
单选2　从 名男生和 名女生中选出 名男生和 名女生参加活动，共有选法（　　）
A. 种　　B. 种　　C. 种　　D. 种
多选3　下列等式正确的是（　　）
A. 　　B.
C. 　　D.
多选4　某班有 名男生和 名女生，从中选出 人参加比赛，下列正确的是（　　）
A. 任选3人共有 种　　B. 恰有1名女生共有 种
C. 至少有1名女生共有 种　　D. 至多有1名女生共有 种
填空5　用 可以组成 个没有重复数字的三位数。
2.1.3 解析（高考标准步骤）
单选1：从5人中选2人，不考虑顺序，，选 A。
单选2：分两步，先选男生 ，再选女生 ，共 种，选 B。
多选3：A、B为排列数组合数公式；C、D为组合数性质，全部正确，选 ABCD。
多选4：A任选3人 ；B恰有1女即2男1女 ；C至少1女用间接法总数减全男 ；D至多1女即0女或1女 ；全部正确，选 ABCD。
填空5：百位不能为0，有3种选择（1,2,3）；十位从剩余3个数字中选，有3种；个位从剩余2个数字中选，有2种；共 个。
2.2 考点二：二项式定理
2.2.1 概念梳理
二项式定理：
通项公式：展开式的第 项为 （）。
二项式系数：。性质：
① 对称性：；
② 系数和：；
③ 奇数项系数和 = 偶数项系数和 ；
④ 当 为偶数时，中间一项 最大；当 为奇数时，中间两项 最大。
赋值法：求系数和时令 取特殊值（如 得所有系数和， 得奇偶项差）。
2.2.2 试题
单选1　 的展开式中 的系数为（　　）
A. 　　B. 　　C. 　　D.
单选2　 的展开式中常数项为（　　）
A. 　　B. 　　C. 　　D.
多选3　关于 的展开式，下列正确的是（　　）
A. 共有 项　　B. 二项式系数和为
C. 通项为 　　D. 二项式系数最大的项一定在中间
多选4　已知 的展开式中所有二项式系数和为 ，则（　　）
A. 　　B. 展开式共有6项
C. 二项式系数最大的项为第3项和第4项　　D. 常数项为1
填空5　 的展开式中常数项为
2.2.3 解析
单选1：，令 ，系数 ，选 B。
单选2：常数项即 项，，令 ，常数项 ，选 B。
多选3：A展开式共 项；B系数和 ；C通项公式；D当 为偶数时中间一项最大，奇数时中间两项最大，"一定在中间"正确；A、B、C、D全正确，选 ABCD。
多选4：；展开式共6项； 奇数，中间两项为第3、4项；常数项即 项， 常数项为 ；A、B、C、D全正确，选 ABCD。
填空5：；令 ；常数项 。
2.3 考点三：随机事件的概率
2.3.1 概念梳理
事件的关系：
① 包含：（A发生则B一定发生）；
② 并事件（和事件）：（A或B发生）；
③ 交事件（积事件）：（A且B发生）；
④ 互斥事件：（不能同时发生）；
⑤ 对立事件： 且 （有且仅有一个发生），。
概率的基本性质：；；若 互斥，则 。
古典概型：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，且每个基本事件出现的可能性相等。。
2.3.2 试题
单选1　从 中随机取一个数，取到偶数的概率为（　　）
A. 　　B. 　　C. 　　D.
单选2　掷一枚均匀骰子，出现点数大于4的概率为（　　）
A. 　　B. 　　C. 　　D.
多选3　甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为0.4，两人下成和棋的概率为0.3，则（　　）
A. 乙获胜的概率为0.3　　B. 甲不输的概率为0.7
C. 乙不输的概率为0.6　　D. 两人分出胜负的概率为0.7
多选4　从装有2个红球和2个白球的袋中任取2个球，下列正确的是（　　）
A. 都是红球的概率为 　　B. 都是白球的概率为
C. 一红一白的概率为 　　D. 至少有一个红球的概率为
填空5　同时掷两枚均匀骰子，点数之和为7的概率为
2.3.3 解析
单选1：偶数为2,4，共2个，概率 ，选 B。
单选2：大于4的点数为5,6，共2个，概率 ，选 B。
多选3：乙获胜概率 ；甲不输 ；乙不输 ；分出胜负 ；全部正确，选 ABCD。
多选4：总数 ；都是红球 ，概率 ；都是白球同理 ；一红一白 ，概率 ；至少一红 ；全部正确，选 ABCD。
填空5：总数 ；和为7的有 ，共6种；概率 。
3. 重点考点讲解
3.1 考点一：条件概率与全概率公式
3.1.1 概念梳理
条件概率：在事件 发生的条件下，事件 发生的概率：
乘法公式：。
事件的独立性：若 ，则称事件 相互独立。此时 。
全概率公式：若 构成完备事件组（两两互斥且并为全集），则对任意事件 ：
贝叶斯公式：。
3.1.2 试题
单选1　已知 ，，则 （　　）
A. 　　B. 　　C. 　　D.
单选2　甲、乙两人独立地解同一道题，甲解出的概率为0.6，乙解出的概率为0.5，则恰好有一人解出的概率为（　　）
A. 　　B. 　　C. 　　D.
多选3　已知事件 相互独立，，，则（　　）
A. 　　B.
C. 　　D.
多选4　某工厂有甲、乙两条生产线，产量分别占60%和40%，次品率分别为5%和10%，则（　　）
A. 随机抽取一件为次品的概率为0.07　　B. 若抽到次品，来自甲生产线的概率为
C. 若抽到次品，来自乙生产线的概率为 　　D. 随机抽取一件为正品的概率为0.93
填空5　已知 ，，，则
3.1.3 解析
单选1：，选 B。
单选2：恰好一人解出 ，选 B。
多选3：独立则 ；；；；全部正确，选 ABCD。
多选4：全概率 ；正品概率 ；贝叶斯：来自甲 ；来自乙 ；全部正确，选 ABCD。
填空5：，，；。
3.2 考点二：离散型随机变量及其分布列
3.2.1 概念梳理
随机变量：随着试验结果变化而变化的变量，常用字母 表示。
离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量。
分布列：若离散型随机变量 的所有可能取值为 ，则 （）称为分布列。性质：，。
两点分布（0-1分布）：，，。
超几何分布：含有 件次品的 件产品中，任取 件，恰有 件次品，则 。
3.2.2 试题
单选1　设随机变量 的分布列为 （），则 （　　）
A. 　　B. 　　C. 　　D.
单选2　从含有3件次品的10件产品中任取2件，其中次品数 的分布列中 （　　）
A. 　　B. 　　C. 　　D.
多选3　设随机变量 的分布列为 ，，，则（　　）
A. 　　B.
C. 　　D. 所有概率之和为1
多选4　关于超几何分布，下列正确的是（　　）
A. 适用于不放回抽样　　B. 每次抽取不是独立的
C. 　　D. 当总体容量很大时近似于二项分布
填空5　设随机变量 服从两点分布，且 ，则
3.2.3 解析
单选1：，，，，选 B。
单选2：超几何分布，，选 B。
多选3：；；；分布列概率和为1；全部正确，选 ABCD。
多选4：超几何分布是不放回抽样，各次不独立，公式正确，大总体近似二项分布；全部正确，选 ABCD。
填空5：两点分布 。
3.3 考点三：二项分布与正态分布
3.3.1 概念梳理
n次独立重复试验：在相同条件下重复做 次试验，各次试验结果相互独立，每次试验中事件发生的概率相同。
二项分布：在 次独立重复试验中，事件 发生的次数为 ，每次发生概率为 ，则 ，（）。
正态分布：若随机变量 的概率密度函数为 ，则 。
正态曲线性质：关于 对称；在 处达到峰值； 越小曲线越"瘦高"， 越大越"矮胖"。
3σ原则：；；。
3.3.2 试题
单选1　已知 ，则 （　　）
A. 　　B. 　　C. 　　D.
单选2　已知随机变量 ，则 （　　）
A. 　　B. 　　C. 　　D.
多选3　已知 ，则下列正确的是（　　）
A. 每次试验相互独立　　B. 每次试验中事件发生的概率相同
C. 　　D. 的可能取值为
多选4　已知 ，下列正确的是（　　）
A. 正态曲线关于 对称　　B.
C. 越大，曲线越矮胖　　D.
填空5　已知 ，则
3.3.3 解析
单选1：，选 B。
单选2：正态分布关于 对称，，选 C。
多选3：二项分布的四个特征全部正确，选 ABCD。
多选4：正态曲线关于 对称，， 越大越矮胖，3σ原则中1σ对应0.6827；全部正确，选 ABCD。
填空5：标准正态分布，，。
4. 难点突破讲解
4.1 考点一：离散型随机变量的均值与方差
4.1.1 概念梳理
均值（数学期望）：，反映随机变量取值的平均水平。
方差：；标准差 。方差越小，取值越稳定。
均值与方差的性质：
；；；若 独立，。
常见分布的均值与方差：
分布 均值 方差
两点分布
二项分布
超几何分布
4.1.2 试题
单选1　已知 的分布列为 ，，，则 （　　）
A. 　　B. 　　C. 　　D.
单选2　已知 ，则 （　　）
A. 　　B. 　　C. 　　D.
多选3　已知随机变量 的均值 ，方差 ，则（　　）
A. 　　B.
C. 　　D.
多选4　已知 ，，，则（　　）
A. 　　B. 　　C. 　　D. 的标准差为
填空5　已知随机变量 的分布列为 ，，，则
4.1.3 解析
单选1：，选 B。
单选2：二项分布方差 ，选 A。
多选3：；；；；全部正确，选 ABCD。
多选4：，得 ；；标准差 ；全部正确，选 ABCD。
填空5：；。
4.2 考点二：概率统计综合应用
4.2.1 概念梳理
概率与决策：通过计算不同方案的期望收益或期望损失，选择最优方案。关键是建立随机变量模型并准确计算期望。
概率与函数最值：将概率或期望表示为某参数的函数，利用导数或基本不等式求最值。
概率与统计交汇：用频率估计概率，结合分布列、期望、独立性检验等综合考查。
解题策略：①明确随机变量的含义和取值；②准确计算每个取值的概率（注意互斥/独立/条件概率）；③列出分布列；④计算期望方差；⑤结合实际问题给出决策或结论。
4.2.2 试题
单选1　某游戏得分 的分布列为 ，，，则一次游戏的期望得分为（　　）
A. 　　B. 　　C. 　　D.
单选2　某投资方案盈利的概率为0.6，盈利时收益为10万元，亏损时损失5万元，则该方案的期望收益为（　　）
A. 万元　　B. 万元　　C. 万元　　D. 万元
多选3　甲、乙两种方案的收益随机变量分别为 ，已知 ，，则（　　）
A. 两种方案的平均收益相同　　B. 甲方案收益更稳定
C. 乙方案风险更大　　D. 甲方案一定优于乙方案
多选4　某工厂生产的产品合格率为0.9，现抽查3件，设合格品数为 ，则（　　）
A. 　　B.
C. 　　D.
填空5　某射手每次射击命中概率为0.8，独立射击3次，至少命中2次的概率为
4.2.3 解析
单选1：，选 B。
单选2：期望收益 万元，选 B。
多选3：期望相同则平均收益相同；甲方差小则更稳定、风险小；乙风险大；D错误，"一定优于"太绝对，还需考虑其他因素；A、B、C正确，选 ABC。
多选4：；；；；全部正确，选 ABCD。
填空5：；。
4.3 考点三：排列组合综合与计数技巧
4.3.1 概念梳理
捆绑法：要求某些元素必须相邻时，将相邻元素"捆绑"为一个整体与其他元素排列，再考虑内部顺序。
插空法：要求某些元素不相邻时，先排其他元素，再将不相邻元素插入空隙中。
隔板法：将 个相同元素分给 个不同对象（每个对象至少一个），有 种方法。
间接法（排除法）：正面分类复杂时，用总数减去不符合条件的情况。
分组分配问题：先分组（注意均匀分组要除以组数的阶乘），再分配。
4.3.2 试题
单选1　5人排成一排，其中甲、乙必须相邻的排法有（　　）
A. 种　　B. 种　　C. 种　　D. 种
单选2　5人排成一排，其中甲、乙不相邻的排法有（　　）
A. 种　　B. 种　　C. 种　　D. 种
多选3　将4个不同的小球放入3个不同的盒子，每个盒子至少一个，则（　　）
A. 必有一个盒子放2个球　　B. 先选2个球捆绑有 种
C. 再将3组全排列有 种　　D. 共有 种
多选4　从5名男生和4名女生中选出4人参加比赛，要求至少有1名女生，则（　　）
A. 可用间接法：　　B. 共有121种
C. 恰有2名女生有 种　　D. 至多有2名女生有 种
填空5　将5个相同的球放入3个不同的盒子，每个盒子至少一个，共有 种放法。
4.3.3 解析
单选1：捆绑法，甲乙捆绑为整体，与其余3人共4个元素全排列 ，甲乙内部 ，共 种，选 B。
单选2：插空法，先排其余3人 ，形成4个空隙，甲乙插入 ，共 种，选 C。
多选3：4球入3盒每盒至少1个，必有一盒2个；先选2球捆绑 ，再3组全排列 ，共 ；全部正确，选 ABCD。
多选4：间接法 ；恰有2女 ；至多2女即0女、1女、2女之和；全部正确，选 ABCD。
填空5：隔板法，5个相同球中间有4个空隙，插入2个隔板， 种。
5. 跟踪训练
5.1 试题
1.（单选）　 的展开式中 的系数为（　　）
A. 　　B. 　　C. 　　D.
2.（单选）　从 名志愿者中选出 人分别到 个不同的社区服务，不同的选派方法有（　　）
A. 种　　B. 种　　C. 种　　D. 种
3.（单选）　已知 ，，，则 （　　）
A. 　　B. 　　C. 　　D.
4.（单选）　已知 ，则 （　　）
A. 　　B. 　　C. 　　D.
5.（单选）　已知 ，若 ，则 （　　）
A. 　　B. 　　C. 　　D.
6.（单选）　甲、乙、丙、丁4人排成一排，甲不站在两端的排法有（　　）
A. 种　　B. 种　　C. 种　　D. 种
7.（单选）　袋中有3个红球和2个白球，有放回地抽取3次，每次取1个，取到红球次数 的方差为（　　）
A. 　　B. 　　C. 　　D.
8.（单选）　将5名教师分配到3所学校，每所学校至少1人，不同的分配方法有（　　）
A. 种　　B. 种　　C. 种　　D. 种
9.（多选）　下列事件中，是互斥事件的是（　　）
A. 掷骰子，"出现1点"与"出现2点"
B. 掷骰子，"出现奇数点"与"出现偶数点"
C. 掷骰子，"出现点数大于3"与"出现点数小于3"
D. 掷骰子，"出现点数不超过3"与"出现点数不小于4"
10.（多选）　已知随机变量 ，下列正确的是（　　）
A. 　　B.
C. 正态曲线与 轴之间的面积为1　　D. 越小，数据越集中
11.（多选）　已知 ，且 ，，则（　　）
A. 　　B. 　　C. 　　D. 标准差为
12.（填空）　 的展开式中 的系数为
13.（填空）　甲、乙两人独立射击，甲命中概率为0.7，乙命中概率为0.6，则两人都命中的概率为
14.（填空）　已知随机变量 的分布列为 ，，，则
5.2 解析（高考标准步骤）
1.　，令 ；系数 ，选 B。
2.　从6人中选4人并分配到4个不同社区，是排列问题，？选4人排列到4个社区 ，选 B。
3.　，选 C。
4.　二项分布期望 ，选 B。
5.　 说明 是中位数，正态分布中位数为 ，选 C。
6.　甲不站两端，甲有2个位置可选；其余3人全排列 ；共 种，选 B。
7.　有放回抽取，；方差 ，选 C。
8.　5人分3校每校至少1人，分组方式为3,1,1或2,2,1；3,1,1型：；2,2,1型：；共 种，选 C。
9.　A：出现1点和2点不能同时发生，互斥；B：奇数点和偶数点互斥且对立；C：大于3（4,5,6）和小于3（1,2）互斥；D：不超过3（1,2,3）和不小于4（4,5,6）互斥且对立；全部正确，选 ABCD。
10.　正态分布关于 对称，；；密度曲线与x轴面积为1； 越小越集中；全部正确，选 ABCD。
11.　，得 ；；标准差 ；全部正确，选 ABCD。
12.　，令 ；系数 。
13.　独立事件，。
14.　；。高三一轮复习专题：计数原理、概率、随机变量及其分布（新高考）
1. 2022—2026年全国新高考考查情况分析
1.1 题型与分值
计数原理、概率与随机变量是新高考的核心必考内容，通常一道解答题（第 或 题），分值 分；同时 道选择或填空题，分值 分。全卷概率统计相关总分值通常在 分。
年份 卷别 主要考查内容
2022 新高考Ⅰ、Ⅱ卷 小题考二项式定理、古典概型；解答题考条件概率+分布列+期望
2023 新高考Ⅰ、Ⅱ卷 小题考排列组合、正态分布；解答题考全概率公式+随机变量分布列+决策
2024 新高考Ⅰ、Ⅱ卷 小题考二项式系数、概率；解答题考二项分布+期望方差+实际决策
2025 新高考卷 小题考排列组合、条件概率；解答题考正态分布+分布列+最值讨论
2026 新高考卷 小题保持稳定，考二项式定理与古典概型；解答题考全概率+分布列+期望决策
1.2 高频考向
基础：两个计数原理、排列组合基本应用、二项式定理（通项与系数）、古典概型；
重点：条件概率与全概率公式、离散型随机变量分布列、二项分布与正态分布；
难点：随机变量的均值与方差、概率统计综合决策、排列组合计数技巧（捆绑/插空/隔板）。
1.3 命题趋势
解答题常以实际问题为背景（比赛、检验、投资、医学等），考查概率建模与数据分析；
全概率公式和贝叶斯公式近年考查频率上升，需重点掌握；
小题中二项式定理几乎每年必考（通项公式、系数和、赋值法）；
易错点：条件概率公式混淆、二项分布与超几何分布区分、正态分布对称性应用、排列组合中有序与无序判断。
2. 基础考点讲解
2.1 考点一：计数原理与排列组合
2.1.1 概念梳理
分类加法计数原理：完成一件事有 类办法，第 类有 种方法，则共有 种方法。（分类用加法）
分步乘法计数原理：完成一件事需 个步骤，第 步有 种方法，则共有 种方法。（分步用乘法）
排列：从 个不同元素中取出 个元素，按一定顺序排成一列。排列数：
组合：从 个不同元素中取出 个元素合成一组。组合数：
组合数性质：；。
2.1.2 试题
单选1　从 名同学中选出 名参加比赛，共有选法（　　）
A. 种　　B. 种　　C. 种　　D. 种
单选2　从 名男生和 名女生中选出 名男生和 名女生参加活动，共有选法（　　）
A. 种　　B. 种　　C. 种　　D. 种
多选3　下列等式正确的是（　　）
A. 　　B.
C. 　　D.
多选4　某班有 名男生和 名女生，从中选出 人参加比赛，下列正确的是（　　）
A. 任选3人共有 种　　B. 恰有1名女生共有 种
C. 至少有1名女生共有 种　　D. 至多有1名女生共有 种
填空5　用 可以组成 个没有重复数字的三位数。
2.2 考点二：二项式定理
2.2.1 概念梳理
二项式定理：
通项公式：展开式的第 项为 （）。
二项式系数：。性质：
① 对称性：；
② 系数和：；
③ 奇数项系数和 = 偶数项系数和 ；
④ 当 为偶数时，中间一项 最大；当 为奇数时，中间两项 最大。
赋值法：求系数和时令 取特殊值（如 得所有系数和， 得奇偶项差）。
2.2.2 试题
单选1　 的展开式中 的系数为（　　）
A. 　　B. 　　C. 　　D.
单选2　 的展开式中常数项为（　　）
A. 　　B. 　　C. 　　D.
多选3　关于 的展开式，下列正确的是（　　）
A. 共有 项　　B. 二项式系数和为
C. 通项为 　　D. 二项式系数最大的项一定在中间
多选4　已知 的展开式中所有二项式系数和为 ，则（　　）
A. 　　B. 展开式共有6项
C. 二项式系数最大的项为第3项和第4项　　D. 常数项为1
填空5　 的展开式中常数项为
2.3 考点三：随机事件的概率
2.3.1 概念梳理
事件的关系：
① 包含：（A发生则B一定发生）；
② 并事件（和事件）：（A或B发生）；
③ 交事件（积事件）：（A且B发生）；
④ 互斥事件：（不能同时发生）；
⑤ 对立事件： 且 （有且仅有一个发生），。
概率的基本性质：；；若 互斥，则 。
古典概型：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，且每个基本事件出现的可能性相等。。
2.3.2 试题
单选1　从 中随机取一个数，取到偶数的概率为（　　）
A. 　　B. 　　C. 　　D.
单选2　掷一枚均匀骰子，出现点数大于4的概率为（　　）
A. 　　B. 　　C. 　　D.
多选3　甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为0.4，两人下成和棋的概率为0.3，则（　　）
A. 乙获胜的概率为0.3　　B. 甲不输的概率为0.7
C. 乙不输的概率为0.6　　D. 两人分出胜负的概率为0.7
多选4　从装有2个红球和2个白球的袋中任取2个球，下列正确的是（　　）
A. 都是红球的概率为 　　B. 都是白球的概率为
C. 一红一白的概率为 　　D. 至少有一个红球的概率为
填空5　同时掷两枚均匀骰子，点数之和为7的概率为
3. 重点考点讲解
3.1 考点一：条件概率与全概率公式
3.1.1 概念梳理
条件概率：在事件 发生的条件下，事件 发生的概率：
乘法公式：。
事件的独立性：若 ，则称事件 相互独立。此时 。
全概率公式：若 构成完备事件组（两两互斥且并为全集），则对任意事件 ：
贝叶斯公式：。
3.1.2 试题
单选1　已知 ，，则 （　　）
A. 　　B. 　　C. 　　D.
单选2　甲、乙两人独立地解同一道题，甲解出的概率为0.6，乙解出的概率为0.5，则恰好有一人解出的概率为（　　）
A. 　　B. 　　C. 　　D.
多选3　已知事件 相互独立，，，则（　　）
A. 　　B.
C. 　　D.
多选4　某工厂有甲、乙两条生产线，产量分别占60%和40%，次品率分别为5%和10%，则（　　）
A. 随机抽取一件为次品的概率为0.07　　B. 若抽到次品，来自甲生产线的概率为
C. 若抽到次品，来自乙生产线的概率为 　　D. 随机抽取一件为正品的概率为0.93
填空5　已知 ，，，则
3.2 考点二：离散型随机变量及其分布列
3.2.1 概念梳理
随机变量：随着试验结果变化而变化的变量，常用字母 表示。
离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量。
分布列：若离散型随机变量 的所有可能取值为 ，则 （）称为分布列。性质：，。
两点分布（0-1分布）：，，。
超几何分布：含有 件次品的 件产品中，任取 件，恰有 件次品，则 。
3.2.2 试题
单选1　设随机变量 的分布列为 （），则 （　　）
A. 　　B. 　　C. 　　D.
单选2　从含有3件次品的10件产品中任取2件，其中次品数 的分布列中 （　　）
A. 　　B. 　　C. 　　D.
多选3　设随机变量 的分布列为 ，，，则（　　）
A. 　　B.
C. 　　D. 所有概率之和为1
多选4　关于超几何分布，下列正确的是（　　）
A. 适用于不放回抽样　　B. 每次抽取不是独立的
C. 　　D. 当总体容量很大时近似于二项分布
填空5　设随机变量 服从两点分布，且 ，则
3.3 考点三：二项分布与正态分布
3.3.1 概念梳理
n次独立重复试验：在相同条件下重复做 次试验，各次试验结果相互独立，每次试验中事件发生的概率相同。
二项分布：在 次独立重复试验中，事件 发生的次数为 ，每次发生概率为 ，则 ，（）。
正态分布：若随机变量 的概率密度函数为 ，则 。
正态曲线性质：关于 对称；在 处达到峰值； 越小曲线越"瘦高"， 越大越"矮胖"。
3σ原则：；；。
3.3.2 试题
单选1　已知 ，则 （　　）
A. 　　B. 　　C. 　　D.
单选2　已知随机变量 ，则 （　　）
A. 　　B. 　　C. 　　D.
多选3　已知 ，则下列正确的是（　　）
A. 每次试验相互独立　　B. 每次试验中事件发生的概率相同
C. 　　D. 的可能取值为
多选4　已知 ，下列正确的是（　　）
A. 正态曲线关于 对称　　B.
C. 越大，曲线越矮胖　　D.
填空5　已知 ，则
4. 难点突破讲解
4.1 考点一：离散型随机变量的均值与方差
4.1.1 概念梳理
均值（数学期望）：，反映随机变量取值的平均水平。
方差：；标准差 。方差越小，取值越稳定。
均值与方差的性质：
；；；若 独立，。
常见分布的均值与方差：
分布 均值 方差
两点分布
二项分布
超几何分布
4.1.2 试题
单选1　已知 的分布列为 ，，，则 （　　）
A. 　　B. 　　C. 　　D.
单选2　已知 ，则 （　　）
A. 　　B. 　　C. 　　D.
多选3　已知随机变量 的均值 ，方差 ，则（　　）
A. 　　B.
C. 　　D.
多选4　已知 ，，，则（　　）
A. 　　B. 　　C. 　　D. 的标准差为
填空5　已知随机变量 的分布列为 ，，，则
4.2 考点二：概率统计综合应用
4.2.1 概念梳理
概率与决策：通过计算不同方案的期望收益或期望损失，选择最优方案。关键是建立随机变量模型并准确计算期望。
概率与函数最值：将概率或期望表示为某参数的函数，利用导数或基本不等式求最值。
概率与统计交汇：用频率估计概率，结合分布列、期望、独立性检验等综合考查。
解题策略：①明确随机变量的含义和取值；②准确计算每个取值的概率（注意互斥/独立/条件概率）；③列出分布列；④计算期望方差；⑤结合实际问题给出决策或结论。
4.2.2 试题
单选1　某游戏得分 的分布列为 ，，，则一次游戏的期望得分为（　　）
A. 　　B. 　　C. 　　D.
单选2　某投资方案盈利的概率为0.6，盈利时收益为10万元，亏损时损失5万元，则该方案的期望收益为（　　）
A. 万元　　B. 万元　　C. 万元　　D. 万元
多选3　甲、乙两种方案的收益随机变量分别为 ，已知 ，，则（　　）
A. 两种方案的平均收益相同　　B. 甲方案收益更稳定
C. 乙方案风险更大　　D. 甲方案一定优于乙方案
多选4　某工厂生产的产品合格率为0.9，现抽查3件，设合格品数为 ，则（　　）
A. 　　B.
C. 　　D.
填空5　某射手每次射击命中概率为0.8，独立射击3次，至少命中2次的概率为
4.3 考点三：排列组合综合与计数技巧
4.3.1 概念梳理
捆绑法：要求某些元素必须相邻时，将相邻元素"捆绑"为一个整体与其他元素排列，再考虑内部顺序。
插空法：要求某些元素不相邻时，先排其他元素，再将不相邻元素插入空隙中。
隔板法：将 个相同元素分给 个不同对象（每个对象至少一个），有 种方法。
间接法（排除法）：正面分类复杂时，用总数减去不符合条件的情况。
分组分配问题：先分组（注意均匀分组要除以组数的阶乘），再分配。
4.3.2 试题
单选1　5人排成一排，其中甲、乙必须相邻的排法有（　　）
A. 种　　B. 种　　C. 种　　D. 种
单选2　5人排成一排，其中甲、乙不相邻的排法有（　　）
A. 种　　B. 种　　C. 种　　D. 种
多选3　将4个不同的小球放入3个不同的盒子，每个盒子至少一个，则（　　）
A. 必有一个盒子放2个球　　B. 先选2个球捆绑有 种
C. 再将3组全排列有 种　　D. 共有 种
多选4　从5名男生和4名女生中选出4人参加比赛，要求至少有1名女生，则（　　）
A. 可用间接法：　　B. 共有121种
C. 恰有2名女生有 种　　D. 至多有2名女生有 种
填空5　将5个相同的球放入3个不同的盒子，每个盒子至少一个，共有 种放法。
5. 跟踪训练
5.1 试题
1.（单选）　 的展开式中 的系数为（　　）
A. 　　B. 　　C. 　　D.
2.（单选）　从 名志愿者中选出 人分别到 个不同的社区服务，不同的选派方法有（　　）
A. 种　　B. 种　　C. 种　　D. 种
3.（单选）　已知 ，，，则 （　　）
A. 　　B. 　　C. 　　D.
4.（单选）　已知 ，则 （　　）
A. 　　B. 　　C. 　　D.
5.（单选）　已知 ，若 ，则 （　　）
A. 　　B. 　　C. 　　D.
6.（单选）　甲、乙、丙、丁4人排成一排，甲不站在两端的排法有（　　）
A. 种　　B. 种　　C. 种　　D. 种
7.（单选）　袋中有3个红球和2个白球，有放回地抽取3次，每次取1个，取到红球次数 的方差为（　　）
A. 　　B. 　　C. 　　D.
8.（单选）　将5名教师分配到3所学校，每所学校至少1人，不同的分配方法有（　　）
A. 种　　B. 种　　C. 种　　D. 种
9.（多选）　下列事件中，是互斥事件的是（　　）
A. 掷骰子，"出现1点"与"出现2点"
B. 掷骰子，"出现奇数点"与"出现偶数点"
C. 掷骰子，"出现点数大于3"与"出现点数小于3"
D. 掷骰子，"出现点数不超过3"与"出现点数不小于4"
10.（多选）　已知随机变量 ，下列正确的是（　　）
A. 　　B.
C. 正态曲线与 轴之间的面积为1　　D. 越小，数据越集中
11.（多选）　已知 ，且 ，，则（　　）
A. 　　B. 　　C. 　　D. 标准差为
12.（填空）　 的展开式中 的系数为
13.（填空）　甲、乙两人独立射击，甲命中概率为0.7，乙命中概率为0.6，则两人都命中的概率为
14.（填空）　已知随机变量 的分布列为 ，，，则

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