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例析求函数值域的方法
求函数的值域常和求函数的最值问题紧密相关，是高中数学的重点和难点，虽然没有固定的方法和模式，但常用的方法有：
一、直接法：从自变量的范围出发，推出的取值范围。
例1：求函数的值域。
解：∵，∴，
∴函数的值域为。
二、配方法：配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。形如的函数的值域问题，均可使用配方法。
例2：求函数（）的值域。
解：，
∵，∴，∴
∴，∴
∴函数（）的值域为。
三、反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。
例3：求函数的值域。
解：由解得，
∵，∴，∴
∴函数的值域为。
四、分离常数(变量)法：分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法。
分离常数:例4：求函数的值域。
解：∵，
∵，∴，
∴函数的值域为。
分离常数总结:y=≠
分离变量:例5:求 的最小值
解:
五、换元法：运用代数代换，奖所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，形如（、、、均为常数，且）的函数常用此法求解。
例6：求函数的值域。
解：令（），则，
∴
∵当，即时，，无最小值。
∴函数的值域为。
※三角代换
例7：求的值域
解：令
六、判别式法：把函数转化成关于的二次方程；通过方程有实数根，判别式，从而求得原函数的值域，形如（、不同时为零）的函数的值域，常用此方法求解。
例8：求函数的值域。
解：由变形得，
当时，此方程无解；
当时，∵，∴，
解得，又，∴
∴函数的值域为
七、函数的单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域。
例9：求函数的值域。
解：∵当增大时，随的增大而减少，随的增大而增大，
∴函数在定义域上是增函数。
∴，
∴函数的值域为。
八、利用有界性：利用某些函数有界性求得原函数的值域。
例10：求函数的值域。
解：由函数的解析式可以知道，函数的定义域为，对函数进行变形可得
，
∵，∴（，），
∴，∴，
∴函数的值域为
九、图像法（数形结合法）：函数图像是掌握函数的重要手段，利用数形结合的方法，根据函数图像求得函数值域，是一种求值域的重要方法。
例11：求函数的值域。
解：∵ ，
∴的图像如图所示，
由图像知：函数的值域为
十、基本不等式法
十一、导数法
十三、最值法：对于闭区间上的连续函数，利用函数的最大值、最小值求函数的值域的方法。
例12：求函数，的值域。
十四、构造法：根据函数的结构特征，赋予几何图形，数形结合。
　　例18：求函数的值域。
　　点拨：将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。
　　解：原函数变形为
　　作一个长为4、宽为3的矩形ABCD，再切割成12个单位
正方形。设HK=,则EK=2,KF=2,AK=,
KC= 。
　　由三角形三边关系知，AK+KC≥AC=5。当A、K、C三点共
线时取等号。
　　∴原函数的知域为｛y|y≥5｝。

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