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分课时学案
课题 综合与实践 单元 第二单元 学科 数学 年级 九年级上册
学习 目标 知识与技能：理解坡度（坡比）定义，知道坡度是铅直高度与水平长度的比，掌握公式 ；能够区分坡度与坡角，会进行坡度的基础计算。 过程与方法：经历“直观感知—数学抽象—概念建构—计算应用”的完整过程；借助示意图分析、例题探究，提升数学建模能力。 情感态度价值观：感受数学在工程建设中的实用价值，体会我国工程智慧，增强民族自豪感，发展用数学眼光观察现实世界的意识。
重点 1.理解坡度概念，掌握公式 ，会正确计算、表示坡度。 2.能够运用坡度知识解决简单实际问题，如斜坡计算、台阶改造分析。
难点 厘清坡度是比值，坡角是角度，准确区分两个概念。
教学过程
导入新课 【复习提问，温故孕新】 问题1：什么是比？举例说明。 问题2：在 中，， 的对边、邻边是什么？ 如何表示？ 问题3：想要客观描述现实事物，除了感官感受，还可以怎么做？ 【引入思考】 观察八达岭长城的山体，大家有什么直观感受？
新知讲解 一、本节课研究的问题 1.现实问题：山坡、长城坡面、铁路、台阶、堤坝等现实斜坡，仅靠“陡峭、平缓”主观感受无法精准描述倾斜程度，如何用数学方法量化斜坡的倾斜程度。 2.概念问题：斜坡的倾斜程度可以用哪些数学量刻画；坡角与坡度有什么区别与内在联系。 3.工程应用问题 ① 结合詹天佑人字形铁路案例，探究如何通过改变路线长度调整斜坡坡度，解决实际通行难题。 ② 利用坡度开展斜坡测量、台阶无障碍改造方案设计，解决工程改造实际问题。 4.计算问题：已知铅直高度、水平长度、坡面长、坡角其中部分条件，求解坡度、铅直高度、水平长度等相关量，区分坡面长、水平长度、铅直高度三个易混淆的量。 二、概念提炼 坡角： 坡度（坡比） 定义： 公式： 核心辨析：坡度是比值，不是角度，和坡角概念不能混淆。 坡度与坡角的关系 4.模型思想：把现实斜坡抽象为直角三角形，将工程实际问题转化为直角三角形边角的数学计算问题，实现现实情境数学建模。 【做一做】 要想进入某公园，需经过5级高度均为0.1 m，长为3 m的台阶，现为方便残障人士手摇自行车进入，拟将其中的1.2 m台阶改为斜坡. 请自行查找资料了解手摇自行车的最大爬坡坡度，并根据最大爬坡坡度拿出相应的台阶改造方案. 变式1（基础正用公式）：某山坡铅直高度 ，水平长度 ，求坡度。 变式2（逆向求铅直高度）：一段公路坡度 ，水平长度10 m，求铅直高度。 变式3（坡度与坡角转化）：斜坡坡角为 ，求坡度。已知 。 变式4（结合勾股定理）：山坡坡面长13 m，铅直高度5 m，求坡度。
课堂练习 A组（基础·全体必做） 1.斜坡铅直高度3 m，水平长度4 m，求坡度，用百分数表示。 2.道路坡度 ，水平距离15 m，求上升高度。 B组（提升·大部分学生完成） 3.山坡坡角 ，求坡度。 4.斜坡坡面长10 m，坡角 ，求铅直高度、水平长度以及坡度。 解： C组（拓展·学有余力选做） 5.公园斜坡铅直高度4 m，坡面长5 m。改造要求斜坡坡度不能超过40%，判断是否需要改造。 解：
课堂小结 回顾这节课你学到了什么？
课后作业 1.一段公路路面的坡度为i=1∶2.4，如果某人沿着这段公路向上行走了260m,那么此人升高了( )。 A. 50米 B. 100米 C. 150米 D. 200米 2.河堤横断面如图所示,堤高BC= 6米,迎水坡AB的坡比为1∶3,则 AB的长为( )。 A.12米 B.43米 C.53米 D.63米 3.如图，某登山运动员从营地A沿坡角为30°的斜坡AB到达山顶B，如果AB＝2 000 m，则他实际上升了________． 4.如图，某办公大楼正前方有一根高度是15 m的旗杆ED，从办公楼顶端A测得旗杆顶端E的 俯角α是45°，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20 m，梯坎坡长BC是12 m，梯坎坡度i＝1∶，则大楼AB的高度约为(　 　) A．30.6 m B．32.1 m C．37.9 m D．39.4 m 5.如图，某人在大楼30 m高(即PH＝30 m)的窗口P处进行观测，测得山坡上A处的俯角为15°，山脚B处的俯角为60°，已知该山坡的坡度i为1∶，点P，H，B，C，A在同一个平面上，点H，B，C在同一条直线上，且PH⊥HC.则A，B两点间的距离是(　 　) A．15 m　 B．20m　 C．20m　 D．10m 6.有一段防洪大堤,其横断面为梯形ABCD,AB∥DC,斜坡AD的坡度i1=1∶1.2,斜坡BC的坡度i2=1∶0.8,大堤顶宽DC为6米.为了增强抗洪能力,现将大堤加高,加高部分的横断面为梯形DCFE,EF∥DC,点E、F分别在AD、BC的延长线上(如图)当新大堤顶宽EF为3.8米时,大堤加高了几米 解： 7.如图,一堤坝的坡角∠ABC62°,坡面长度 AB25米(图为横截面),为了使堤坝更加牢固,一施工队欲改变堤坝的坡面,使得坡面的坡角∠ADB= 50°,则此时应将坝底向外拓宽多少米 (结果保留到0.01米)(参考数据:sin62°≈0.88,cos62°≈0.47,tan50°≈1.20) 解： 8.小明坐于堤边垂钓,如图,河堤AC的坡角为30°,AC长米,钓竿AO的倾斜角是60°,其长为3米,若AO与钓鱼线OB的夹角为60°,求浮漂B与河堤下端C之间的距离。 解： 9.如图,水库大坝的横断面是梯形,背水坡AB的坡角∠BAD=60°,AB=20m,为加强大坝强度需新增加背土,将背水坡背土后坝底从原来的A处向后水平延伸到F处,新背水坡BF的坡角∠F=45°,若大坝全长200 m ,求新增背土的方数 (提示:均匀柱体的体积等于底面积乘高 ;结果精确到1m3,取3 ≈ 1.732)。 解： 10.一个长方体木箱沿斜面下滑，当木箱滑至如图所示的位置时，AB＝3 m，已知木箱高BE＝ m，斜面坡角为30°，求木箱端点E距地面AC的高度EF. 解：
答案：
复习提问，温故孕新
问题1：什么是比？举例说明。
预设答案：两个数相除又叫两个数的比，。例如男生20人，女生15人，男女人数比 。
问题2：在 中，， 的对边、邻边是什么？ 如何表示？
预设答案： 的对边是 ，邻边是 ；。
问题3：想要客观描述现实事物，除了感官感受，还可以怎么做？
预设答案：借助测量得到数据，用数值量化描述。
课堂练习
A组（基础·全体必做）
1.斜坡铅直高度3 m，水平长度4 m，求坡度，用百分数表示。
解：
2.道路坡度 ，水平距离15 m，求上升高度。
解：
B组（提升·大部分学生完成）
3.山坡坡角 ，求坡度。
解：
4.斜坡坡面长10 m，坡角 ，求铅直高度、水平长度以及坡度。
解：
C组（拓展·学有余力选做）
5.公园斜坡铅直高度4 m，坡面长5 m。改造要求斜坡坡度不能超过40%，判断是否需要改造。
解：水平长度
坡度超出限定标准，需要改造。
作业设计：
1.一段公路路面的坡度为i=1∶2.4，如果某人沿着这段公路向上行走了260m,那么此人升高了( B )。
A. 50米 B. 100米 C. 150米 D. 200米
2.河堤横断面如图所示,堤高BC= 6米,迎水坡AB的坡比为1∶3,则 AB的长为( A )。
A.12米 B.43米 C.53米 D.63米
3.如图，某登山运动员从营地A沿坡角为30°的斜坡AB到达山顶B，如果AB＝2 000 m，则他实际上升了________1000米．
4.如图，某办公大楼正前方有一根高度是15 m的旗杆ED，从办公楼顶端A测得旗杆顶端E的 俯角α是45°，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20 m，梯坎坡长BC是12 m，梯坎坡度i＝1∶，则大楼AB的高度约为(　D　)
A．30.6 m B．32.1 m C．37.9 m D．39.4 m
5.如图，某人在大楼30 m高(即PH＝30 m)的窗口P处进行观测，测得山坡上A处的俯角为15°，山脚B处的俯角为60°，已知该山坡的坡度i为1∶，点P，H，B，C，A在同一个平面上，点H，B，C在同一条直线上，且PH⊥HC.则A，B两点间的距离是(　C　)
A．15 m　 B．20m　 C．20m　 D．10m
6.有一段防洪大堤,其横断面为梯形ABCD,AB∥DC,斜坡AD的坡度i1=1∶1.2,斜坡BC的坡度i2=1∶0.8,大堤顶宽DC为6米.为了增强抗洪能力,现将大堤加高,加高部分的横断面为梯形DCFE,EF∥DC,点E、F分别在AD、BC的延长线上(如图)当新大堤顶宽EF为3.8米时,大堤加高了几米
解：
加高部分左右两侧的水平偏移分别为 和 ，其中 为加高高度。
上底 比下底 短，缩短量等于两侧偏移之和：
已知 ：
答案：1.1米
7.如图,一堤坝的坡角∠ABC62°,坡面长度 AB25米(图为横截面),为了使堤坝更加牢固,一施工队欲改变堤坝的坡面,使得坡面的坡角∠ADB= 50°,则此时应将坝底向外拓宽多少米 (结果保留到0.01米)(参考数据:sin62°≈0.88,cos62°≈0.47,tan50°≈1.20)
解：
原坡高 m。
原水平距离 m。
新坡面水平距离 m。
拓宽距离 m。
答案：约6.58米
8.小明坐于堤边垂钓,如图,河堤AC的坡角为30°,AC长米,钓竿AO的倾斜角是60°,其长为3米,若AO与钓鱼线OB的夹角为60°,求浮漂B与河堤下端C之间的距离。
解：
建立坐标系， 为原点，水平向右为 轴，竖直向上为 轴。
长16.5米，坡角30°，则 的坐标：
钓竿 倾斜角60°，且向下（伸向水面），故方向角为 ，，得
钓鱼线 与 夹角 ，且要到达水面 ，所以 方向角为 。
设 长度为 ，则
令 的纵坐标为0：
解得 ，再求横坐标：
代入数值（）：
答案：约12.5米
9.如图,水库大坝的横断面是梯形,背水坡AB的坡角∠BAD=60°,AB=20m,为加强大坝强度需新增加背土,将背水坡背土后坝底从原来的A处向后水平延伸到F处,新背水坡BF的坡角∠F=45°,若大坝全长200 m ,求新增背土的方数 (提示:均匀柱体的体积等于底面积乘高 ;结果精确到1m3,取3 ≈ 1.732)。
解：
原坝高 m。
原坡脚到坝顶的水平距离 m。
新坡面坡角45°，水平距离 m。
所以坝底向外延伸距离：
新增背土横截面为三角形 ，面积：
体积 。
代入 ：
答案：约38040立方米
10.一个长方体木箱沿斜面下滑，当木箱滑至如图所示的位置时，AB＝3 m，已知木箱高BE＝ m，斜面坡角为30°，求木箱端点E距地面AC的高度EF.
解：连接 ，如图所示。
在 Rt 中，，，由勾股定理得：
又因为：
所以：
在 Rt 中，由于斜面坡角 ，故：
因此：
答：木箱端点 距地面 的高度 为 。
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