资源简介

3．简谐运动的回复力和能量
[学习目标]　1．会分析弹簧振子的受力情况，理解回复力的概念。2．认识位移、速度、回复力和加速度的变化规律及相互联系。3．会用能量观点分析水平弹簧振子动能、势能的变化情况，知道简谐运动中机械能守恒。
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题1　弹簧振子的小球从离开平衡位置向一侧运动时，速度如何变化？
问题2　是什么原因引起了小球速度的变化？
问题3　小球从最大位移处向平衡位置运动时，小球所受的力是如何变化的？这个力起了什么作用？
　简谐运动的回复力
【链接教材】　如人教版教材P43图所示，为水平方向的弹簧振子的振动过程示意图。
问题1　当振子离开O点后，是什么力使其回到平衡位置？
提示：弹簧的弹力使振子回到平衡位置。
问题2　使振子回到平衡位置的力与振子离开平衡位置的位移的大小及方向有何关系？
提示：弹簧弹力与位移大小成正比，方向与位移方向相反。
【知识梳理】　
1．回复力
(1)定义：振动质点受到的总能使其回到平衡位置的力。
(2)方向：指向平衡位置。
(3)表达式：F＝－kx。
提醒：回复力是按照力的作用效果来命名的，分析物体的受力时，不分析回复力。
2．简谐运动
如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，物体的运动就是简谐运动。
【思考讨论】
问题1　(1)下列均为简谐运动，小球受到的回复力的来源是什么？
(2)物体在平衡位置时，所受到的合外力一定为0吗？
提示：(1)甲：竖直方向的弹簧振子弹力和重力的合力提供回复力。
乙：两个弹簧的弹力之和提供回复力。
丙：重力沿切线方向的分力提供回复力。
综上所述，回复力的来源可能是某一个力，可能是几个力的合力，也可能是某一个力的分力。
(2)合外力不一定为0，如图丙中，在平衡位置时，合外力提供向心力。
问题2　在F＝－kx中，对于k值，一定是弹簧的劲度系数吗？
提示：不一定。
问题3　如图所示，倾角为θ的光滑斜面上的小球沿斜面向下拉一段距离，然后松开。假设空气阻力可忽略不计，小球质量为m，重力加速度为g，弹簧的劲度系数为k，试证明小球的运动是简谐运动。
提示：平衡位置：mg sin θ＝kx0
设向下拉的位移为x，则F回＝k(x0＋x)－mg sin θ
得F回＝kx且F回与x方向相反，即小球的运动为简谐运动。
【知识归纳】
1．对回复力的理解
(1)作用效果：使振动物体回到平衡位置。
(2)来源：回复力可能由某一个力提供，也可能由几个力的合力提供，还可能由某一个力的分力提供。归纳起来，回复力一定等于振动物体在振动方向上所受的合力。
(3)回复力是效果力：受力分析时只能分析物体所受的性质力，不能再“额外添加”回复力。
2．简谐运动的回复力的特点
(1)表达式：F＝－kx。
①大小：与振子的位移大小成正比。
②方向：“－”表示与位移的方向相反，即回复力的方向总是指向平衡位置。
(2)表达式F＝－kx中的k指的是由振动系统本身决定的比例系数，而不一定是弹簧的劲度系数。
提醒：因x＝A sin (ωt＋φ)，故回复力F＝－kx＝－kA sin (ωt＋φ)，可见回复力随时间按正弦规律变化。
3．简谐运动的加速度的特点
根据牛顿第二定律得a＝＝－x。
(1)大小：与位移大小成正比。
(2)方向：与位移方向相反。
【典例1】　(回复力的理解和分析)(多选)如图所示，小球在光滑水平杆上的A、B两点之间做往复运动，O点是平衡位置，下列说法正确的是 (　　)
A．小球在运动过程中受重力、支持力和弹簧弹力的作用
B．小球在运动过程中受重力、支持力、弹簧弹力和回复力的作用
C．小球由A向O运动的过程中，回复力逐渐增大
D．小球由O向B运动的过程中，回复力的方向指向平衡位置
AD　[回复力不是做简谐运动的物体受到的具体的力，小球受重力、支持力和弹簧弹力，弹簧弹力提供回复力，故A正确，B错误；回复力的大小与位移的大小成正比，小球由A向O运动的过程中位移在减小，则回复力逐渐减小，故C错误；回复力的方向总是指向平衡位置，故D正确。]
【典例2】　(简谐运动的证明)(多选)质量均为m的小球a和b由劲度系数为k的轻质弹簧连接，小球a由不可伸长的细线悬挂在O点，系统处于静止状态，如图所示。将小球b竖直下拉长度l后由静止释放。重力加速度大小为g，忽略空气阻力，弹簧始终在弹性限度内。释放小球b后(　　)
A．小球a可能会运动
B．若小球b做简谐运动，则其振幅为
C．当且仅当l≤时，小球b才能始终做简谐运动
D．当且仅当l≤时，小球b才能始终做简谐运动
AD　[如果a球不动而b球单独振动，则b球做简谐运动，简谐运动的平衡位置合力为0，即b球初始时刻位置，则可知b球的振幅为l，B错误；a球发生运动的临界条件为弹簧对a球向上的弹力等于a球的重力，则此时对a球有kx0＝mg，对b球有kx0＋mg＝ma，由简谐运动的对称性可得向下拉到最低点松手释放的加速度大小也为a，则有kl＝ma，解得l＝，即l需满足l≤，否则a球会发生运动，A、D正确，C错误。]
　判断一个振动是否为简谐运动的方法
(1)运动学方法：对物体的位移分析，如果位移时间表达式满足x＝A sin (ωt＋φ)或x-t图像满足正(余)弦规律，即可判断为简谐运动。
(2)动力学方法：对物体进行受力分析，物体所受到的回复力满足F＝－kx，即可判断为简谐运动。
(3)加速度方法：根据牛顿第二定律或运动学知识，求解物体的加速度，如果满足a＝－k′x，即可判断为简谐运动。
　简谐运动的能量
1．振动系统(弹簧振子)的状态与能量的对应关系
弹簧振子运动的过程就是动能和势能互相转化的过程。
(1)在最大位移处，势能最大，动能为0。
(2)在平衡位置处，动能最大，势能为0。
2．简谐运动的能量特点：在简谐运动中，振动系统的机械能守恒，而在实际运动中都有一定的能量损耗，因此简谐运动是一种理想化的模型。
3．对于弹簧的劲度系数和小球质量都一定的系统，振幅越大，机械能越大。
【思考讨论】　如图所示，水平弹簧振子在A、B两点间沿光滑水平面做简谐运动。
问题　弹簧振子经过同一位置时，位移、回复力、加速度、速率、速度、动能各物理量的关系如何？
提示：振子经过同一位置时，位移、回复力、加速度、速率、动能一定均相同，但速度不一定相同，方向可能相反。
【知识归纳】
1．对简谐运动的能量的理解
决定因素 简谐运动的能量由振幅决定：对一个给定的振动系统，振幅越大，振动越强，系统的机械能越大；振幅越小，振动越弱，系统的机械能越小
能量的获得 最初的能量来自外部，通过外力做功获得
能量的转化 系统只发生动能和势能的相互转化，机械能守恒
理想化条件 (1)力的角度：简谐运动不考虑阻力 (2)能量转化角度：简谐运动不考虑因克服阻力做功引起的能量损耗
注意：(1)在振动的一个周期内，动能和势能完成两次周期性变化。
(2)振子运动经过平衡位置两侧的对称点时，具有相等的动能和相等的势能。
2．简谐运动中各物理量的变化规律
(1)过程分析：如图所示，振子以O点为平衡位置在A、B之间做简谐运动，各物理量的变化规律为：
物理量 运动过程
A →O O →B B →O O →A
位移大小 减小 增大 减小 增大
方向 O →A O →B O →B O →A
回复力、加速度 大小 减小 增大 减小 增大
方向 A→O B→O B→O A→O
速度 大小 增大 减小 增大 减小
方向 A→O O →B B→O O →A
动能 增大 减小 增大 减小
势能 减小 增大 减小 增大
(2)归纳总结：
①简谐运动中各个物理量对应关系不同。位置不同，则位移不同，加速度、回复力不同，但是速度、动能、势能可能相同，也可能不同。
②简谐运动中的最大位移处，F、a、Ep最大，Ek＝0；在平衡位置处，F＝0，a＝0，Ep＝0，Ek最大。
③位移增大时，回复力、加速度和势能增大，速度和动能减小；位移减小时，回复力、加速度和势能减小，速度和动能增大。
3．如图所示为水平弹簧振子在振动过程中各个位置的动能、弹性势能随位置变化的图像。
注：如果没有能量损失，物体将永远振动下去。实际上任何物体的振动过程都不可避免有能量的损失，简谐运动只是一种理想情况。
【教用·备选例题】　(简谐运动中的能量转化)如图甲所示，悬挂在竖直方向上的弹簧振子，周期T＝2 s，从最低点向上运动时开始计时，振动图像如图乙所示，下列说法正确的是 (　　)
A．t＝1.25 s时，振子的加速度为正，速度也为正
B．t＝1 s时，系统的弹性势能最大，重力势能最小
C．t＝0.5 s时，系统的弹性势能为零，重力势能最小
D．t＝2 s时，系统的弹性势能最大，重力势能最小
D　[从题图乙中可知在t＝1.25 s时振子在平衡位置上方，向下振动，故加速度向下，速度向下，两者都为负，A错误；t＝1 s时，振子在正向最大位移处，即最高点，故振子的重力势能最大，B错误；t＝0.5 s时，振子在平衡位置，位移为零，但不在最低点，所以重力势能不是最小，C错误；t＝2 s时，振子在最低点，重力势能最小，处于负向最大位移处，弹簧伸长量最大，且大于振子在正向最大位移处的弹簧的形变量，故弹性势能最大，D正确。]
【典例3】　(简谐运动的动力学分析)如图甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在光滑水平面上的A、B两点之间做简谐运动。取水平向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化如图乙所示。下列说法正确的是(　　)
A．该弹簧振子的周期为1.6 s，振幅为30 cm
B．该弹簧振子在t＝0.6 s时和t＝1.0 s时的速度不同
C．在t＝4 s时，该弹簧振子的加速度大小为0
D．在t＝0.6 s到t＝1.0 s的时间内，该弹簧振子的加速度和速度都逐渐减小
C　[由题图乙可知，该振动的振幅、周期分别为A＝15 cm、T＝1.6 s，故A错误；由振动图像可知，斜率代表速度，弹簧振子在t＝0.6 s时和t＝1.0 s时的速度相同，故B错误；因为周期为1.6 s，根据简谐运动的周期性可知在t＝4 s时，该弹簧振子处于平衡位置，合力为0，加速度大小为0，故C正确；在t＝0.6 s到t＝1.0 s的时间内，该弹簧振子从平衡位置右侧运动到平衡位置左侧，所以加速度先减小后增大，速度先增大后减小，故D错误。故选C。]
【典例4】　(简谐运动中能量分析)把一个小球套在光滑细杆上，球与轻弹簧相连组成弹簧振子，小球沿杆在水平方向做简谐运动，它围绕平衡位置O在A、B间振动，如图所示，下列说法正确的是(　　)
A．小球在O位置时，动能最小，加速度最小
B．小球在A、B位置时，动能最大，加速度最大
C．小球从A经O到B的过程中，回复力先做正功，后做负功
D．小球从B到O的过程中，振动的能量不断减小
C　[振子经过平衡位置时，速度最大，位移为0，所以在O位置时动能最大，回复力为0，加速度为0，故A错误；在A、B位置时，速度为0，动能为0，位移最大，回复力最大，加速度最大，故B错误；由于回复力指向平衡位置，所以小球从A经O到B的过程中，回复力先做正功，后做负功，故C正确；振子的动能和弹簧的势能相互转化，且总量保持不变，即振动的能量保持不变，故D错误。]
【典例5】　(简谐运动的综合问题分析)如图1所示，小球悬挂在轻弹簧的下端，弹簧上端连接传感器。小球上下振动时，传感器记录弹力随时间变化的规律如图2所示。重力加速度g取10 m/s2。下列说法正确的是(　　)
　
A．t＝0时，小球处于平衡位置
B．小球在最低点时的加速度大小为20 m/s2
C．0～2 s内，弹力对小球做的功为0
D．0～2 s内，小球受弹力的冲量大小为4 N·s
D　[t＝0时，弹簧弹力最大，小球处于平衡位置时弹簧弹力的大小与小球的重力相等，故A错误；弹簧与小球组成的系统，静止时弹簧处于伸长状态，伸长量为x，此时弹簧弹力等于小球重力，根据题中信息可知，小球运动到最上端时，弹簧的弹力为0，弹簧处于原长，根据弹簧运动的对称性可知，弹簧位于最下端时，弹簧的伸长量为2x，此时弹簧的弹力为4 N，因此当弹簧伸长量为x时，弹力大小为2 N，此时弹力等于小球的重力，因此小球的质量为m＝0.2 kg，小球在最低点时，F＝4 N，F－mg＝ma，解得a＝10 m/s2，故B错误；0～2 s内，小球从最低点到最高点，弹力对小球做的功不为0，故C错误；根据动量定理可知，外力的冲量之和等于动量的变化量，即IF ＋ IG＝Δp，0时刻小球位于最低点，速度为0，第2 s末小球位于最高点，速度也是0，因此可知Ft＝－Gt，所以弹簧弹力的冲量大小是IF＝2×2 N·s＝4 N·s，故D正确。]
回归本节知识，完成以下问题：
1．简谐运动的回复力有什么特点？
提示：回复力是效果力，效果是使物体回到平衡位置，大小与位移大小成正比，方向与位移方向相反。
2．对于一个确定的振动系统，简谐运动的能量由什么决定？
提示：振幅，振幅越大，能量越大。
3．简谐运动的弹簧振子系统机械能是否守恒？
提示：守恒。
课时分层作业(八)　简谐运动的回复力和能量
?题组一　简谐运动的回复力
1．(多选)关于简谐运动的理解，下列说法正确的是(　　)
A．周期、频率是表征物体做简谐运动快慢程度的物理量
B．位移减小时，回复力减小，加速度减小，速度增大
C．位移的方向总跟加速度的方向相反，跟速度的方向相同
D．物体运动方向指向平衡位置时，速度方向与位移方向相反，背离平衡位置时，速度方向与位移方向相同
ABD　[周期是做一次完整运动过程所用的时间，频率是单位时间内完成全振动的次数，都反映了振动的快慢，都是表征物体做简谐运动快慢程度的物理量，故A正确；根据F＝－kx可知位移减小时，回复力减小，加速度减小，速度增大，故B正确；根据F＝－kx可知位移的方向总跟加速度方向相反，物体运动方向指向平衡位置时，速度的方向与位移的方向相反，背离平衡位置时，速度方向与位移方向相同，所以位移和速度的方向可能相同也可能相反，故C错误，D正确。]
2．简谐运动的图像如图所示，在t1和t2时刻，运动质点相同的物理量为(　　)
A．加速度 B．位移
C．速度 D．回复力
C　[由题图读出，t1和t2时刻，质点运动的位移大小相等，方向相反，根据简谐运动的加速度a＝－知，加速度大小相等，方向相反，故A、B错误；x-t图像上点的切线的斜率表示速度，故在t1和t2时刻速度相同，故C正确；根据F＝－kx可知，t1和t2时刻质点的回复力大小相等，方向相反，故D错误。]
3．如图所示，质量为m的物体系在两弹簧之间，弹簧劲度系数分别为k1和k2，且k1＝k，k2＝2k，两弹簧均处于原长状态。规定向右为正方向，现向右拉动物体，然后释放，物体在B、C间振动(弹簧始终在弹性限度内)，O为平衡位置(不计阻力)，物体位移为x，则下列判断正确的是 (　　)
A．物体做简谐运动，OC＝OB
B．物体做简谐运动，OC≠OB
C．回复力F＝－kx
D．回复力F＝－2kx
A　[物体离开O点时所受的指向O点的力F＝－(k1x＋k2x)＝－3kx，符合简谐运动的回复力特点，因此物体以O点为平衡位置做简谐运动，所以OC＝OB，故A正确，B、C、D错误。]
?题组二　简谐运动的能量
4．有一水平弹簧振子，某段时间内振动小球的速度一直在增加，则在这段时间内(　　)
A．系统机械能一直增加
B．小球振动位移一直增加
C．小球加速度一直增加
D．系统弹性势能一直减小
D　[简谐运动过程中，振子的动能和弹簧的势能相互转化，机械能保持不变，A错误；某段时间内速度在增加，则这段时间内质点向平衡位置运动，位移减小，B错误；由回复力公式F＝－kx可知回复力减小，根据a＝可知小球加速度一直减小，C错误；振子速度增大，动能增大，结合A选项分析可知系统弹性势能减小，D正确。]
5．(人教版P45T2改编)如图所示，光滑圆弧面上有一小球做简谐运动，B点为运动中的最低位置，A、C点均为运动过程中的最高位置。下列说法正确的是(　　)
A．B点是平衡位置，此处小球受到的回复力就是重力
B．小球在B点时，重力势能最小，机械能最小
C．小球在A点、C点时，速度最小，对圆弧面的压力最小，回复力最大
D．若增大小球做简谐运动的幅度，则其运动周期变大
C　[B点是平衡位置，此处小球受到的回复力是重力在切线方向的分力，此时回复力为0，故A错误；小球在B点时，重力势能最小，整个运动过程机械能守恒，故B错误；小球在A点、C点时，速度最小，对圆弧面的压力最小，回复力最大，故C正确；简谐运动的周期与振幅无关，若增大小球做简谐运动的幅度，则其运动周期不变，故D错误。故选C。]
6．(人教版P45T4改编)如图所示为某物体做简谐运动的图像，在0～1.5 s范围内下列说法正确的是(　　)
A．物体的周期为0.9 s，振幅是0.04 m
B．t＝0.6 s时，物体的速度方向沿＋x方向
C．t＝0.3 s到t＝0.5 s的时间内，物体的势能逐渐减小
D．t＝0.9 s到t＝1.1 s的时间内，物体的动能逐渐增大
D　[由题图可知，物体的周期为0.8 s，振幅是0.04 m，故A错误；t＝0.6 s时，物体在x轴正半轴且速度方向沿－x方向，故B错误；t＝0.3 s到t＝0.5 s的时间内，物体由平衡位置运动到正向最大位移处，物体的势能逐渐增大，故C错误；t＝0.9 s到t＝1.1 s的时间内，物体由负向最大位移处运动到平衡位置，物体的动能逐渐增大，故D正确。故选D。]
7．(多选)如图所示是质点做简谐运动的图像，由此可知(　　)
A．t＝0时，质点位移、速度均为0
B．t＝1 s时，质点位移最大，速度为0
C．t＝2 s时，质点位移为0，速度为负向最大值
D．t＝4 s时，质点停止运动
BC　[t＝0时，速度最大，位移为0，A错误；t＝1 s时，质点在正向最大位移处，速度为0，B正确；t＝2 s时，质点经过平衡位置，位移为0，速度为沿负方向最大值，C正确；t＝4 s时，质点位移为0，速度最大，D错误。]
8．如图甲为用手机和轻弹簧制作的一个振动装置。手机加速度传感器记录了手机在竖直方向的振动情况，以向上为正方向，得到手机振动过程中加速度a随时间t变化的曲线为正弦曲线，如图乙所示。下列说法正确的是(　　)
A．t＝0时，弹簧弹力为0
B．t＝0.2 s时，手机位于平衡位置上方
C．从t＝0至t＝0.2 s，手机的动能增大
D．a随t变化的关系式为a＝4sin (2.5πt) m/s2
D　[由题图乙知，t＝0时，手机加速度为0，由牛顿第二定律得弹簧弹力大小为F＝mg，A错误；由题图乙知，t＝0.2 s时，手机的加速度为正，则手机位于平衡位置下方，B错误；由题图乙知，从t＝0至t＝0.2 s，手机的加速度增大，手机从平衡位置向最大位移处运动，速度减小，动能减小，C错误；由题图乙知T＝0.8 s，则角频率ω＝＝2.5π rad/s，则a随t变化的关系式为a＝4sin (2.5πt) m/s2，D正确。故选D。]
9．(多选)如图，轻质弹簧上端固定，下端悬挂质量为2m的小球A，质量为m的小球B与A用细线相连，整个系统处于静止状态。弹簧劲度系数为k，重力加速度为g。现剪断细线，下列说法正确的是(　　)
A．小球A运动到弹簧原长处的速度最大
B．剪断细线的瞬间，小球A的加速度大小为
C．小球A运动到最高点时，弹簧的伸长量为
D．小球A运动到最低点时，弹簧的伸长量为
BC　[剪断细线后，弹力大于A的重力，则A先向上做加速运动，随弹力的减小，则向上的加速度减小，当加速度为0时速度最大，此时弹力等于A的重力，弹簧处于拉伸状态，选项A错误；剪断细线之前有F弹＝3mg，剪断细线瞬间弹簧弹力不变，则对A由牛顿第二定律有F弹－2mg＝2ma，解得A的加速度大小a＝，选项B正确；剪断细线之前弹簧伸长量x1＝，剪断细线后A做简谐运动，在平衡位置时弹簧伸长量x2＝，即振幅为A＝x1－x2＝，由对称性可知小球A运动到最高点时，弹簧伸长量为，选项C正确；由上述分析可知，小球A运动到最低点时，弹簧伸长量为，选项D错误。]
10．(多选)下端附着重物的粗细均匀木棒，竖直浮在河面，在重力和浮力作用下，沿竖直方向做频率为1 Hz的简谐运动；与此同时，木棒在水平方向上随河水做匀速直线运动，如图(a)所示。以木棒所受浮力F为纵轴，木棒水平位移x为横轴建立直角坐标系，浮力F随水平位移x的变化如图(b)所示。已知河水密度为ρ，木棒横截面积为S，重力加速度大小为g。下列说法正确的是(　　)
　
A．x从0.05 m到0.15 m的过程中，木棒的动能先增大后减小
B．x从0.21 m到0.25 m的过程中，木棒加速度方向竖直向下，大小逐渐变小
C．x＝0.35 m和x＝0.45 m时，木棒的速度大小相等，方向相反
D．木棒在竖直方向做简谐运动的振幅为
ABD　[x从0.05 m到0.15 m的过程中，木棒从平衡位置下方向上移动，经平衡位置后到达平衡位置上方，速度先增大后减小，动能先增大后减小，A正确；x从0.21 m到0.25 m的过程中，木棒从平衡位置上方靠近最大位移处向下运动(未到达平衡位置)，加速度竖直向下，逐渐减小，B正确；x＝0.35 m和x＝0.45 m处木棒所受浮力大小相等，木棒在竖直方向上位移相同，水平方向速度相同，竖直方向速度大小相等，方向相反，合速度大小相等，方向不是相反，C错误；木棒所受浮力最大时，F1＝ρgSh1，浮力最小时，F2＝ρgSh2，振幅A＝＝，D正确。]
小阶段巩固练(三)　第二章　第1－3节
一、选择题
1．如图甲所示，“弹簧公仔”玩具由头部、轻弹簧及底座组成，用力向下缓慢按压头部，释放后头部的运动可视为简谐运动。以向上为正方向，在头部通过平衡位置时开始计时，头部相对平衡位置的位移随时间的变化规律如图乙所示，下列说法正确的是(　　)
A．简谐运动的振幅为6 cm
B．t＝0.3 s时头部向正方向运动
C．t＝0.4 s时头部受到的回复力最大
D．t＝0.3 s和t＝0.5 s时，头部的加速度相同
B　[由题图乙可知，简谐运动的振幅为3 cm，故A错误；由题图乙可知，t＝0.3 s时，头部正由下部返回到平衡位置，头部向正方向运动，故B正确；由题图乙知t＝0.4 s时头部运动到平衡位置，头部受到的回复力最小，故C错误；由题图乙可知，t＝0.3 s和t＝0.5 s时，头部的位移大小相等，方向相反，所以头部的加速度大小相等，方向也相反，故D错误。]
2．如图甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动，以O点为坐标原点，取向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化如图乙所示，下列说法正确的是(　　)
A．振子的振幅为4 cm
B．振子从1 s至3 s弹簧弹力一直做负功
C．3 s至4 s振子从A点向O振动，速度增大，加速度减小
D．2 s至3 s振子从O点向B振动，速度减小，加速度增大
D　[由题图乙可知，振子的振幅为A＝2 cm，故A错误；振子在运动过程中，只有弹簧弹力做功，由题图乙可知，从1 s至3 s振子的位移大小先减小后增大，则振子的速度先增大后减小，即振子的动能先增大后减小，所以弹簧弹力先做正功后做负功，故B错误；3 s至4 s振子位移为正且在减小，所以振子从B点向O振动，速度增大，加速度减小，故C错误；2 s至3 s振子位移为正且在增大，所以振子从O点向B振动，速度减小，加速度增大，故D正确。]
3．如图甲所示，一水平弹簧振子以O点为平衡位置，在M、N两点间做简谐运动，以向右为x轴正方向，振子的振动图像如图乙所示，已知t＝0时振子的回复力大小为10 N，下列说法正确的是(　　)
　
A．t＝1 s时振子的速度最大，加速度最小
B．该弹簧振子的劲度系数为100 N/m
C．0.5～1.5 s内振子的弹性势能先减小后增大
D．振子在0～4.5 s内通过的路程为45 cm
B　[t＝1 s时振子位移最大，则速度为0，加速度最大，故A错误；根据胡克定律可知，劲度系数k＝＝＝100 N/m，故B正确；0.5～1.5 s内振子的位移先增大后减小，故弹性势能先增大后减小，故C错误；由题图乙可知周期为2 s，则0～4.5 s内振子通过的路程为s＝9A＝90 cm，故D错误。]
4．如图所示为甲、乙两弹簧振子的振动图像，下列说法正确的是(　　)
A．甲的速度为0时，乙的速度也为0
B．甲的加速度为0时，乙的加速度也为0
C．甲、乙两弹簧振子的振动频率之比为2∶1
D．甲、乙两弹簧振子的速度方向总是相同
B　[振子在最大位移处时速度最小为0，在平衡位置时速度最大，由题图可知，甲在最大位移处速度为0时，乙在平衡位置，速度最大，故A错误；振子在平衡位置时加速度为0，由题图可知，甲在平衡位置时乙也在平衡位置，甲的加速度为0时，乙的加速度也为0，故B正确；由题图可知，甲的周期T甲＝2.0 s，乙的周期T乙＝1.0 s，振子的频率f＝，则＝，故C错误；x-t图像的斜率代表速度，可知甲、乙两弹簧振子的速度方向并非总是相同，故D错误。]
5．如图1所示，轻弹簧上端固定，下端与小球相连构成弹簧振子，小球做简谐运动的位移—时间图像如图2所示。下列说法正确的是(　　)
A．小球的运动轨迹为正弦曲线
B．在任意1 s的时间内，小球经过的路程都是2 cm
C．t＝1.5 s和t＝2.5 s两个时刻，小球的速度相同
D．t＝0.5 s和t＝1.5 s两个时刻，小球的加速度大小相等，方向相反
C　[小球做简谐运动的位移—时间图像反映了小球的位移随时间变化的情况，不是小球的运动轨迹，故A错误；1 s等于四分之一周期，由于衡位置的速度大于远离平衡位置的速度，则0～0.5 s内的平均速度大于0.5～1 s内的平均速度，则0～0.5 s内的路程大于0.5～1 s内的路程，即0～0.5 s内的路程大于振幅的一半，即大于1 cm，0.5～1 s内的路程小于振幅的一半，即小于1 cm，即0.5～1.5 s内的路程小于2 cm，故B错误；x-t图像的斜率表示速度，根据图像的对称性可知，t＝1.5 s和t＝2.5 s两个时刻斜率相同，则小球的速度相同，故C正确；t＝0.5 s和t＝1.5 s两个时刻，小球的位移相同，根据F＝－kx＝ma可知，在这两个时刻，小球的加速度大小相等，方向相同，故D错误。]
6．(多选)如图所示，一小木块漂浮在足够宽水面上且处于静止状态，对木块施加向下的力使其偏离平衡位置处于静止状态，在t＝0时由静止释放，释放后木块的运动可视为简谐运动，周期为1 s。规定竖直向上为正方向，则小球在t＝5.5 s时刻(　　)
A．位移最大，方向为正
B．速度最大，方向为正
C．加速度最大，方向为负
D．受到的浮力最大
AC　[由于木块的运动可视为简谐运动，周期是1 s，则5.5 s＝5T，故5.5 s时刻木块处于最高点，位移最大，方向向上为正，速度为0，加速度最大，方向向下为负，故A、C正确，B错误；木块在最高点时浸入水中的体积最小，根据公式F＝ρgV可知，浮力最小，故D错误。]
7．弹簧振子的振动周期为T＝2π，式中m为振子的质量，k为弹簧的劲度系数。如图所示，两个轻质弹簧连在一起，将质量为m的小球悬挂在天花板上，两弹簧的劲度系数分别为k1、k2(k1>k2)。将小球向下拉一小段距离后静止释放，小球的运动周期为(　　)
A．2π
B．2π
C．2π
D．2π
C　[将两弹簧等效为一根劲度系数为k的弹簧，设这根弹簧的伸长量为x时的弹力为F，根据胡克定律有k＝＝＝，所以小球的运动周期为T＝2π＝2π，故选C。]
8．如图所示，弹簧一端固定，另一端与光滑水平面上的木箱相连，箱内放置一小物块，物块与木箱之间有摩擦。压缩弹簧并由静止释放，释放后物块在木箱上有滑动，滑动过程中不与木箱前后壁发生碰撞，不计空气阻力，则(　　)
A．释放瞬间，物块加速度为0
B．物块和木箱最终仍有相对运动
C．木箱第一次到达最右端时，物块速度为0
D．物块和木箱的速度第一次相同前，物块受到的摩擦力不变
D　[根据题意可知，释放时，物块与木箱发生相对滑动，且有摩擦力，根据牛顿第二定律可知释放时物块加速度不为0，故A错误；由于物块与木箱间有摩擦力且发生相对滑动，所以弹簧的弹性势能会减少，直到弹簧的最大弹力满足以下分析的F：设物块与木箱之间的最大静摩擦力为f，物块质量为m，对物块根据牛顿第二定律有f＝ma，设木箱质量为M，对物块与木箱整体，根据牛顿第二定律有F＝(m＋M)a，可得F＝(m＋M)，即弹簧的最大弹力减小到F＝(m＋M)后，二者一起做简谐运动，故B错误；根据A、B选项分析可知，二者一起做简谐运动前，有相对滑动，木箱运动到最右端后物块不会停止，当二者一起做简谐运动后，物块与木箱一起做周期性运动，故C错误；开始木箱的加速度向右，物块与木箱第一次共速前，物块相对木箱向左运动，受到向右的摩擦力，共速前二者有相对滑动，摩擦力恒为二者之间的滑动摩擦力，保持不变，故D正确。]
9．如图所示，沿水平方向做简谐运动的质点，依次通过相距L的A、B两点。已知质点在A点的位移大小为振幅的一半，B点位移大小是A点的倍，质点经过A点时开始计时，t时刻第二次经过B点，该振动的振幅和周期可能是(　　)
A．，3t　　　　 B．，5t
C．t D．t
C　[若平衡位置在A的左侧，根据题意有xA＝，xB＝，由于A、B两点相距L，则有xB－xA＝L，解得A＝，以平衡位置为起点，以向右运动为正方向，则振动方程为y＝A sin t，则有＝A sin t1，＝A sin t2，由于质点经过A点时开始计时，t时刻第二次经过B点，则t＝t2－t1＝＝，解得T＝4t，故A、B错误；若平衡位置在AB之间，根据题意有xA＝，xB＝，由于A、B两点相距L，则有xB＋xA＝L，解得A＝，以平衡位置为起点，以向右运动为正方向，则振动方程为y＝A sin t，则有－＝A sin t3，＝，由于质点经过A点时开始计时，t时刻第二次经过B点，解得t＝t4－t3＝＝，解得T＝t，故C正确，D错误。]
10．(多选)如图，截面为等腰三角形的光滑斜面体固定在水平地面上，两个相同的小物块通过不可伸长的细绳跨过顶端的轻质定滑轮，静止在斜面体两侧，细绳与斜面平行。此外，两物块分别用相同的轻质弹簧与斜面体底端相连，且弹簧均处于原长。将左侧小物块沿斜面缓慢拉下一小段距离，然后松开。弹簧始终在弹性限度内，斜面倾角为θ，不计摩擦和空气阻力。在两物块运动过程中，下列说法正确的是(　　)
A．左侧小物块沿斜面做简谐运动
B．细绳的拉力随左侧小物块加速度的增大而增大
C．右侧小物块在最高位置的加速度与其在最低位置的加速度大小相等
D．若θ增大，则右侧小物块从最低位置运动到最高位置所用的时间变长
AC　[对左侧小物块，设沿斜面向下的位移为x，则有T＋kx－mg sin θ＝ma，此时，对右侧小物块，有mg sin θ＋kx－T＝ma，联立可得2kx＝2ma＝2F，则左侧小物块受到的合外力F＝ma＝kx，方向与位移方向相反，故其做简谐运动，故A正确；根据以上分析，可得2T＝2mg sin θ，绳拉力保持不变，故B错误；同理可知，右侧小物块也做简谐运动，根据对称性，其在最高和最低位置的加速度大小相等，故C正确；弹簧振子振动周期T周＝2π，与斜面倾角无关，故D错误。]
二、非选择题
11．如图甲所示的弹簧振子沿竖直方向做简谐运动。从某一时刻开始计时，规定竖直向上为正方向，得到弹簧对小球的弹力F与运动时间t的关系图像如图乙所示，若重力加速度为g，弹簧振子的振幅为A，图像的坐标值为已知量，求：
　
(1)小球的质量；
(2)从计时开始，弹簧振子的振动方程；
(3)从计时开始到13t0时，小球运动的路程。
[解析]　(1)小球做简谐运动，利用对称性，根据牛顿第二定律得，小球在最高点有F2＋mg＝ma
小球在最低点有F1－mg＝ma
解得m＝。
(2)利用简谐运动的对称性，由题图乙可知T＝t0
解得T＝
t＝0时刻小球所受弹力最大，方向竖直向上，所以小球处于最低点，则弹簧振子的振动方程为x＝A sin
也可表示为 x＝－A cos 。
(3)结合上述可知13t0＝9T＋T
则小球的路程为s＝9×4A＋3A＝39A。
[答案]　(1)　(2)x＝A sin 或x＝－A cos 　(3)39A
12．如图所示，一足够长的竖直光滑杆固定在水平地面上，有一劲度系数为k＝100 N/m的轻弹簧套在光滑杆上，弹簧下端固定，上端与质量为m＝0.5 kg穿在滑杆上的小物块A连在一起，小物块A静止时所在位置为O。另一穿在滑杆上的质量也为m的小物块B从与O点距离为h(h未知)的位置由静止开始下落，与小物块A发生完全非弹性碰撞后一起向下运动。两小物块均可视为质点，在运动过程中，弹簧的形变量始终在弹性限度内，当其形变量为x时，弹性势能为Ep＝kx2，重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力。
(1)若h＝0.4 m，求小物块A、B碰后向下运动的过程中离O点的最大距离；
(2)要使A、B两物块碰后的运动过程中始终不分离，求h的最大值；
(3)h取第(2)问最大值的情况下，测得小物块A、B碰后从O点开始向下运动到最低点所用的时间为t＝0.21 s，求碰后A、B整体做简谐运动的周期。
[解析]　(1)设小物块B自由下落h的速度为v1，根据机械能守恒有mgh＝
B与A发生完全非弹性碰撞，碰撞过程动量守恒，则有mv1＝(m＋m)v
解得v＝ m/s
A在O位置弹簧被压缩x0，根据平衡条件有x0＝＝0.05 m
碰后共同继续向下运动，离O点的最大距离为xm，根据机械能守恒定律有＋2mgxm＝k
整理得－5xm－1＝0
舍去负值解得xm＝0.2 m。
(2)小物块A、B碰后做简谐运动，当运动到最高点即将分离时，它们的加速度大小a＝g
即反弹上升的最高点为弹簧原长位置，由能量守恒有＝2mgx0
解得v′＝ m/s
结合上述，根据动量守恒可知，碰前速度v0＝2v′＝
解得hm＝0.15 m。
(3)令h取第(2)问最大值的情况下两物块碰后做简谐运动的振幅为A，根据简谐运动规律，从平衡位置到最高点过程，在最高点弹簧刚好为自然长度，则有2mg＝kx0′
可知A＝x0′＝＝0.1 m
作出简谐运动图像如图所示
由函数图像可知Δt＝＝
碰后从O点开始向下运动到最低点所用的时间t＝Δt＋T＝T
由于t＝0.21 s
解得周期T＝0.63 s。
[答案]　(1)0.2 m　(2)0.15 m　(3)0.63 s3．简谐运动的回复力和能量
[学习目标]　1．会分析弹簧振子的受力情况，理解回复力的概念。2．认识位移、速度、回复力和加速度的变化规律及相互联系。3．会用能量观点分析水平弹簧振子动能、势能的变化情况，知道简谐运动中机械能守恒。
　简谐运动的回复力
【链接教材】　如人教版教材P43图所示，为水平方向的弹簧振子的振动过程示意图。
问题1　当振子离开O点后，是什么力使其回到平衡位置？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
问题2　使振子回到平衡位置的力与振子离开平衡位置的位移的大小及方向有何关系？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【知识梳理】　
1．回复力
(1)定义：振动质点受到的总能使其回到________的力。
(2)方向：指向________。
(3)表达式：F＝______。
提醒：回复力是按照力的作用效果来命名的，分析物体的受力时，不分析回复力。
2．简谐运动
如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成____，并且总是指向________，物体的运动就是简谐运动。
【思考讨论】
问题1　(1)下列均为简谐运动，小球受到的回复力的来源是什么？
(2)物体在平衡位置时，所受到的合外力一定为0吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
问题2　在F＝－kx中，对于k值，一定是弹簧的劲度系数吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
问题3　如图所示，倾角为θ的光滑斜面上的小球沿斜面向下拉一段距离，然后松开。假设空气阻力可忽略不计，小球质量为m，重力加速度为g，弹簧的劲度系数为k，试证明小球的运动是简谐运动。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【知识归纳】
1．对回复力的理解
(1)作用效果：使振动物体回到平衡位置。
(2)来源：回复力可能由某一个力提供，也可能由几个力的合力提供，还可能由某一个力的分力提供。归纳起来，回复力一定等于振动物体在振动方向上所受的合力。
(3)回复力是效果力：受力分析时只能分析物体所受的性质力，不能再“额外添加”回复力。
2．简谐运动的回复力的特点
(1)表达式：F＝－kx。
①大小：与振子的位移大小成正比。
②方向：“－”表示与位移的方向相反，即回复力的方向总是指向平衡位置。
(2)表达式F＝－kx中的k指的是由振动系统本身决定的比例系数，而不一定是弹簧的劲度系数。
提醒：因x＝A sin (ωt＋φ)，故回复力F＝－kx＝－kA sin (ωt＋φ)，可见回复力随时间按正弦规律变化。
3．简谐运动的加速度的特点
根据牛顿第二定律得a＝＝－x。
(1)大小：与位移大小成正比。
(2)方向：与位移方向相反。
【典例1】　(回复力的理解和分析)(多选)如图所示，小球在光滑水平杆上的A、B两点之间做往复运动，O点是平衡位置，下列说法正确的是 (　　)
A．小球在运动过程中受重力、支持力和弹簧弹力的作用
B．小球在运动过程中受重力、支持力、弹簧弹力和回复力的作用
C．小球由A向O运动的过程中，回复力逐渐增大
D．小球由O向B运动的过程中，回复力的方向指向平衡位置
[听课记录] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【典例2】　(简谐运动的证明)(多选)质量均为m的小球a和b由劲度系数为k的轻质弹簧连接，小球a由不可伸长的细线悬挂在O点，系统处于静止状态，如图所示。将小球b竖直下拉长度l后由静止释放。重力加速度大小为g，忽略空气阻力，弹簧始终在弹性限度内。释放小球b后(　　)
A．小球a可能会运动
B．若小球b做简谐运动，则其振幅为
C．当且仅当l≤时，小球b才能始终做简谐运动
D．当且仅当l≤时，小球b才能始终做简谐运动
[听课记录] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　判断一个振动是否为简谐运动的方法
(1)运动学方法：对物体的位移分析，如果位移时间表达式满足x＝A sin (ωt＋φ)或x-t图像满足正(余)弦规律，即可判断为简谐运动。
(2)动力学方法：对物体进行受力分析，物体所受到的回复力满足F＝－kx，即可判断为简谐运动。
(3)加速度方法：根据牛顿第二定律或运动学知识，求解物体的加速度，如果满足a＝－k′x，即可判断为简谐运动。
　简谐运动的能量
1．振动系统(弹簧振子)的状态与能量的对应关系
弹簧振子运动的过程就是____和____互相转化的过程。
(1)在最大位移处，____最大，____为0。
(2)在平衡位置处，____最大，____为0。
2．简谐运动的能量特点：在简谐运动中，振动系统的机械能____，而在实际运动中都有一定的能量损耗，因此简谐运动是一种______的模型。
3．对于弹簧的劲度系数和小球质量都一定的系统，____越大，机械能越大。
【思考讨论】　如图所示，水平弹簧振子在A、B两点间沿光滑水平面做简谐运动。
问题　弹簧振子经过同一位置时，位移、回复力、加速度、速率、速度、动能各物理量的关系如何？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【知识归纳】
1．对简谐运动的能量的理解
决定因素 简谐运动的能量由振幅决定：对一个给定的振动系统，振幅越大，振动越强，系统的机械能越大；振幅越小，振动越弱，系统的机械能越小
能量的获得 最初的能量来自外部，通过外力做功获得
能量的转化 系统只发生动能和势能的相互转化，机械能守恒
理想化条件 (1)力的角度：简谐运动不考虑阻力 (2)能量转化角度：简谐运动不考虑因克服阻力做功引起的能量损耗
注意：(1)在振动的一个周期内，动能和势能完成两次周期性变化。
(2)振子运动经过平衡位置两侧的对称点时，具有相等的动能和相等的势能。
2．简谐运动中各物理量的变化规律
(1)过程分析：如图所示，振子以O点为平衡位置在A、B之间做简谐运动，各物理量的变化规律为：
物理量 运动过程
A →O O →B B →O O →A
位移大小 减小 增大 减小 增大
方向 O →A O →B O →B O →A
回复力、加速度 大小 减小 增大 减小 增大
方向 A→O B→O B→O A→O
速度 大小 增大 减小 增大 减小
方向 A→O O →B B→O O →A
动能 增大 减小 增大 减小
势能 减小 增大 减小 增大
(2)归纳总结：
①简谐运动中各个物理量对应关系不同。位置不同，则位移不同，加速度、回复力不同，但是速度、动能、势能可能相同，也可能不同。
②简谐运动中的最大位移处，F、a、Ep最大，Ek＝0；在平衡位置处，F＝0，a＝0，Ep＝0，Ek最大。
③位移增大时，回复力、加速度和势能增大，速度和动能减小；位移减小时，回复力、加速度和势能减小，速度和动能增大。
3．如图所示为水平弹簧振子在振动过程中各个位置的动能、弹性势能随位置变化的图像。
注：如果没有能量损失，物体将永远振动下去。实际上任何物体的振动过程都不可避免有能量的损失，简谐运动只是一种理想情况。
【典例3】　(简谐运动的动力学分析)如图甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在光滑水平面上的A、B两点之间做简谐运动。取水平向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化如图乙所示。下列说法正确的是(　　)
A．该弹簧振子的周期为1.6 s，振幅为30 cm
B．该弹簧振子在t＝0.6 s时和t＝1.0 s时的速度不同
C．在t＝4 s时，该弹簧振子的加速度大小为0
D．在t＝0.6 s到t＝1.0 s的时间内，该弹簧振子的加速度和速度都逐渐减小
[听课记录] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【典例4】　(简谐运动中能量分析)把一个小球套在光滑细杆上，球与轻弹簧相连组成弹簧振子，小球沿杆在水平方向做简谐运动，它围绕平衡位置O在A、B间振动，如图所示，下列说法正确的是(　　)
A．小球在O位置时，动能最小，加速度最小
B．小球在A、B位置时，动能最大，加速度最大
C．小球从A经O到B的过程中，回复力先做正功，后做负功
D．小球从B到O的过程中，振动的能量不断减小
[听课记录] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【典例5】　(简谐运动的综合问题分析)如图1所示，小球悬挂在轻弹簧的下端，弹簧上端连接传感器。小球上下振动时，传感器记录弹力随时间变化的规律如图2所示。重力加速度g取10 m/s2。下列说法正确的是(　　)
　
A．t＝0时，小球处于平衡位置
B．小球在最低点时的加速度大小为20 m/s2
C．0～2 s内，弹力对小球做的功为0
D．0～2 s内，小球受弹力的冲量大小为4 N·s
[听课记录] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
回归本节知识，完成以下问题：
1．简谐运动的回复力有什么特点？
2．对于一个确定的振动系统，简谐运动的能量由什么决定？
3．简谐运动的弹簧振子系统机械能是否守恒？

展开更多......

收起↑