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素养提升课(二)　波的图像与振动图像的综合问题波的多解问题
[学习目标]　1．理解波的图像与振动图像的意义及它们之间的关系。2．理解波的多解性，会分析波的综合问题。
　波的图像与振动图像的综合问题
1．振动图像与波的图像的比较
振动图像(y-t图像) 波的图像(y-x图像)
物理意义 某一质点的位移随时间变化的规律 某时刻所有质点振动的位移
图像
图像 信息 直读 (1)周期T、振幅A (2)各时刻该质点的位移 (1)波长λ、振幅A (2)任意一质点在该时刻的位移
判断 各时刻速度、加速度方向 (1)任意一质点在该时刻加速度方向 (2)传播方向、振动方向的互判
图像变化 随时间推移，图像延续，但已有形状不变 随时间推移，图像沿传播方向平移
形象比喻 一个人在一段时间内活动的“录像” 一群人在某时刻动作的“拍照”
2．三步求解波的图像与振动图像的综合问题
【典例1】　(质点振动图像分析波的图像)(多选)一列简谐横波沿x轴传播，平衡位置位于坐标原点O的质点的振动图像如图所示。当t＝7 s时，简谐波的波形图可能正确的是(　　)
A　　　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　　　D
[听课记录] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　分析波的图像与振动图像的综合问题，主要掌握两点：
(1)由振动图像确定波的周期(质点振动周期)，由波的图像确定波长，进而计算波速。
(2)先在振动图像中确定与波的图像对应时刻质点的振动方向，然后根据波的图像确定波的传播方向。
注意：波的图像对应的时刻不一定是振动图像中t＝0时刻。
【典例2】　(波的图像与振动图像的综合问题)(多选)图甲为一简谐横波在t＝2 s时的波形图，P是平衡位置在x1＝0.5 m处的质点，Q是平衡位置在x2＝4 m处的质点，图乙为质点Q的振动图像。下列说法正确的是(　　)
A．这列波以v＝0.1 m/s速度沿x轴正方向传播
B．t＝2 s时，P质点的振动方向向下
C．Q质点做简谐运动的表达式为y＝
0．4 sinπt(m)
D．从t＝2 s到t＝ s，Q质点通过的路程为0.6 m
[听课记录] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　波的多解问题
1．造成波动问题多解的主要因素
(1)周期性
①时间周期性：相隔周期整数倍时间的两个时刻的波形图完全相同，时间间隔Δt与周期T的关系不明确造成多解。
②空间周期性：沿波的传播方向，相隔波长整数倍距离的两质点的振动情况完全相同，质点间距离Δx与波长λ的关系不明确造成多解。
(2)双向性
对给定的波形图，波的传播方向不同，质点的振动方向也不同，反之亦然。
①传播方向双向性：波的传播方向不确定。
②振动方向双向性：质点振动方向不确定。
2．解决波动的多解问题的方法
(1)解决周期性多解问题时，往往采用从特殊到一般的思维方法，即找到一个周期内满足条件的特例，在此基础上再加上时间nT，或找到一个波长内满足条件的特例，在此基础上再加上距离nλ。
(2)解决双向性多解问题时，养成全面思考的习惯。
【典例3】　(人教版P69例题改编)(波传播的周期性带来多解)下图中的实线是一列正弦波在某一时刻的波形图。经过0.5 s后，其波形如图中虚线所示。
(1)如果波是向左传播的，波的速度是多大？波的周期是多大？
(2)如果波是向右传播的，波的速度是多大？波的周期是多大？
[听课记录] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【典例4】　(波传播的双向性带来多解)(多选)一列简谐横波在介质中沿直线传播，其波长大于1 m，a、b为介质中平衡位置相距2 m的两质点，其振动图像如图所示。则t＝0时的波形图可能为(　　)
　　　
A　　 　　　　　　　　　B
　　　
C　　 　　　　　　　　　D
[听课记录] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　解决波的多解问题的一般思路
(1)首先考虑传播方向的双向性：如果题目未说明波的传播方向或没有其他条件暗示，应首先按波的传播方向的可能性进行讨论。
(2)对设定的传播方向，首先确定Δt和T(或确定Δx和λ)的关系，一般先确定最简单的情况，即一个周期内(或一个波长内)的情况，然后在此基础上加nT(或nλ)。
(3)应注意题目是否有限制条件，如有的题目限制波的传播方向，或限制时间Δt大于或小于一个周期等，所以解题时应综合考虑。
【典例5】　(波形的隐含性造成的多解)
如图所示，一列振幅为10 cm的简谐横波，其传播方向上有两个质点P和Q，两者的平衡位置相距3 m。某时刻两质点均在平衡位置且二者之间只有一个波谷，再经过0.3 s，Q第一次到达波峰。则下列说法不正确的是(　　)
A．波长可能为2 m
B．周期可能为0.24 s
C．波速可能为15 m/s
D．0.3 s内质点P的位移大小为10 cm
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　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　素养提升课(二)　波的图像与振动图像的综合问题
波的多解问题[学习目标]　1．理解波的图像与振动图像的意义及它们之间的关系。2．理解波的多解性，会分析波的综合问题。
　波的图像与振动图像的综合问题
1．振动图像与波的图像的比较
振动图像(y-t图像) 波的图像(y-x图像)
物理意义 某一质点的位移随时间变化的规律 某时刻所有质点振动的位移
图像
图像 信息 直读 (1)周期T、振幅A (2)各时刻该质点的位移 (1)波长λ、振幅A (2)任意一质点在该时刻的位移
判断 各时刻速度、加速度方向 (1)任意一质点在该时刻加速度方向 (2)传播方向、振动方向的互判
图像变化 随时间推移，图像延续，但已有形状不变 随时间推移，图像沿传播方向平移
形象比喻 一个人在一段时间内活动的“录像” 一群人在某时刻动作的“拍照”
2．三步求解波的图像与振动图像的综合问题
【典例1】　(质点振动图像分析波的图像)(多选)一列简谐横波沿x轴传播，平衡位置位于坐标原点O的质点的振动图像如图所示。当t＝7 s时，简谐波的波形图可能正确的是(　　)
A　　　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　　　D
AC　[由O点的振动图像可知，周期为T＝12 s，设原点处的质点的振动方程为y＝A sin (t＋φ)，则10＝20sin φ，解得φ＝。当t＝7 s时，y7＝20sin (×7＋)＝－10 cm≈－17.3 cm，则在t＝7 s时，质点在y轴负方向向下振动，根据“同侧法”可判断若波向右传播，则波形如选项C所示；若波向左传播，则波形如选项A所示。故选AC。]
　分析波的图像与振动图像的综合问题，主要掌握两点：
(1)由振动图像确定波的周期(质点振动周期)，由波的图像确定波长，进而计算波速。
(2)先在振动图像中确定与波的图像对应时刻质点的振动方向，然后根据波的图像确定波的传播方向。
注意：波的图像对应的时刻不一定是振动图像中t＝0时刻。
【教用·备选例题】　(源自鲁科版教材)图(a)是一列简谐横波在t＝2 s时的图像，图(b)是这列波中质点P的振动图像，求该波的传播速度和传播方向。
[解析]　由题图(a)可知，这列波的波长λ＝100 cm；由题图(b)可知，这列波的周期T＝2 s
根据公式v＝
可得波速v＝50 cm/s
由题图(b)可知，质点P在t＝2 s时向上运动，故这列波沿x轴负方向传播。
[答案]　50 cm/s　x轴负方向
【典例2】　(波的图像与振动图像的综合问题)(多选)图甲为一简谐横波在t＝2 s时的波形图，P是平衡位置在x1＝0.5 m处的质点，Q是平衡位置在x2＝4 m处的质点，图乙为质点Q的振动图像。下列说法正确的是(　　)
A．这列波以v＝0.1 m/s速度沿x轴正方向传播
B．t＝2 s时，P质点的振动方向向下
C．Q质点做简谐运动的表达式为y＝
0．4 sinπt(m)
D．从t＝2 s到t＝ s，Q质点通过的路程为0.6 m
BD　[由题图乙可知，在t＝2 s时，质点Q沿着y轴负方向运动，根据“微平移法”可知，波沿x轴正方向传播，由题图可知波长λ＝4 m，周期T＝4 s，则波速为v＝＝＝1 m/s，故A错误；根据同侧法可知，t＝2 s时，P质点的振动方向向下，故B正确；由题图乙可知，Q质点做简谐运动的表达式为y＝A sin t＝0.4sin t(m)，故C错误；t＝ s时，Q点位移yQ＝0.4sin t(m)＝－0.2 m，经过的时间Δt＝ s－2 s＝ s<，Q质点通过的路程为s＝(0.4＋0.4－0.2) m＝0.6 m，故D正确。]
　波的多解问题
1．造成波动问题多解的主要因素
(1)周期性
①时间周期性：相隔周期整数倍时间的两个时刻的波形图完全相同，时间间隔Δt与周期T的关系不明确造成多解。
②空间周期性：沿波的传播方向，相隔波长整数倍距离的两质点的振动情况完全相同，质点间距离Δx与波长λ的关系不明确造成多解。
(2)双向性
对给定的波形图，波的传播方向不同，质点的振动方向也不同，反之亦然。
①传播方向双向性：波的传播方向不确定。
②振动方向双向性：质点振动方向不确定。
2．解决波动的多解问题的方法
(1)解决周期性多解问题时，往往采用从特殊到一般的思维方法，即找到一个周期内满足条件的特例，在此基础上再加上时间nT，或找到一个波长内满足条件的特例，在此基础上再加上距离nλ。
(2)解决双向性多解问题时，养成全面思考的习惯。
【典例3】　(人教版P69例题改编)(波传播的周期性带来多解)下图中的实线是一列正弦波在某一时刻的波形图。经过0.5 s后，其波形如图中虚线所示。
(1)如果波是向左传播的，波的速度是多大？波的周期是多大？
(2)如果波是向右传播的，波的速度是多大？波的周期是多大？
[解析]　(1)若波向左传播，则
0．5 s＝(n＋)T(n＝0，1，2，…)
即T＝ s(n＝0，1，2，…)
由v＝得v＝ m/s＝ m/s(n＝0，1，2，…)。
(2)若波向右传播，则0.5 s＝(n＋)T(n＝0，1，2，…)
即T＝ s(n＝0，1，2，…)
由v＝得v＝ m/s＝ m/s(n＝0，1，2，…)。
[答案]　见解析
【教用·备选例题】　(多选)一列简谐横波沿x轴传播，如图所示，实线为t1＝2 s时的波形图，虚线为t2＝5 s时的波形图。以下关于平衡位置在O处的质点的振动图像，可能正确的是(　　)
A　　　　　　　　 　B
C　　　　　　　　 　D
AC　[机械波的传播方向不确定，所以需要考虑机械波传播方向的不确定性。若机械波沿x轴正方向传播，则在t1＝2 s时，O点振动方向竖直向上，则传播时间Δt＝t2－t1＝3 s满足Δt＝T＋nT(n＝0，1，2，…)，解得T＝ s(n＝0，1，2，…)，当n＝0时，解得周期T＝4 s，A正确，B错误；若机械波沿x轴负方向传播，在t2＝5 s时，O点处于波谷，则Δt＝T＋nT(n＝0，1，2，…)，解得T＝ s(n＝0，1，2，…)，当n＝0时，解得周期T＝12 s，C正确，D错误。故选AC。]
【典例4】　(波传播的双向性带来多解)(多选)一列简谐横波在介质中沿直线传播，其波长大于1 m，a、b为介质中平衡位置相距2 m的两质点，其振动图像如图所示。则t＝0时的波形图可能为(　　)
　　　
A　　 　　　　　　　　　B
　　　
C　　 　　　　　　　　　D
CD　[根据振动图像可知当波的传播方向为a到b时，xab＝λ＋nλ，(n＝0，1，2，…)，λ>1 m，解得n＝0或1，即xab＝λ或λ；当波的传播方向为b到a时，xab＝λ＋nλ，(n＝0，1，2，…)，λ>1 m，解得n＝0或1，即xab＝λ或λ，同时t＝0时，a处于平衡位置，b处于波谷位置，结合图像可知C、D符合。故选CD。]
　解决波的多解问题的一般思路
(1)首先考虑传播方向的双向性：如果题目未说明波的传播方向或没有其他条件暗示，应首先按波的传播方向的可能性进行讨论。
(2)对设定的传播方向，首先确定Δt和T(或确定Δx和λ)的关系，一般先确定最简单的情况，即一个周期内(或一个波长内)的情况，然后在此基础上加nT(或nλ)。
(3)应注意题目是否有限制条件，如有的题目限制波的传播方向，或限制时间Δt大于或小于一个周期等，所以解题时应综合考虑。
【典例5】　(波形的隐含性造成的多解)
如图所示，一列振幅为10 cm的简谐横波，其传播方向上有两个质点P和Q，两者的平衡位置相距3 m。某时刻两质点均在平衡位置且二者之间只有一个波谷，再经过0.3 s，Q第一次到达波峰。则下列说法不正确的是(　　)
A．波长可能为2 m
B．周期可能为0.24 s
C．波速可能为15 m/s
D．0.3 s内质点P的位移大小为10 cm
B　[根据题意，P、Q之间的波形图可能有如图所示的几种情况。
当P、Q之间有一个波谷两个波峰时，如图3，则有λ＝3 m，解得λ＝2 m，故A正确，不符合题意；根据波形图，由于波的传播方向的不同，质点Q第一次到达波峰经历的时间可能为T＝0.3 s或T＝0.3 s，解得T＝1.2 s或T＝0.4 s，故B错误，符合题意；图1、2、3、4的波长分别为λ1＝λ2＝3 m、λ3＝2 m、λ4＝6 m，当周期为1.2 s时，根据周期与波速之间的关系v＝，可得v1＝v2＝2.5 m/s，v3＝ m/s，v4＝5 m/s，当周期为0.4 s时，可得波速为 v1′＝v2′＝7.5 m/s，v3′＝5 m/s，v4′＝15 m/s，故C正确，不符合题意；经过0.3 s，当质点Q到达波峰时，图1、2中质点P到达波峰，图3中质点P到达波谷，图4中质点P到达波谷，因此0.3 s内质点P的位移大小为10 cm，故D正确，不符合题意。故选B。]
素养提升练(二)　波的图像与振动图像的综合问题　波的多解问题
1．(多选)一列简谐横波在t＝0.4 s时的波形图如图(a)所示，P是介质中的质点，图(b)是质点P的振动图像。已知该波在该介质中的传播速度为20 m/s，则(　　)
A．该波的周期为0.6 s
B．该波的波长为24 m
C．该波沿x轴正方向传播
D．质点P的平衡位置坐标为x＝6 m
BD　[该波的周期为T＝1.2 s，选项A错误；该波的波长为λ＝vT＝20×1.2 m＝24 m，选项B正确；由P点的振动图像可知，在t＝0.4 s时质点P沿y轴负向运动，结合波形图可知，该波沿x轴负方向传播，选项C错误；由振动图像可知t＝0.4 s时刻质点P的位移为y＝10sinπ＝5 cm，结合波形图可知，质点P左侧的波峰平衡位置坐标为x＝4 m，质点P的平衡位置坐标为x＝6 m，选项D正确。]
2．(多选)一质点沿y轴做简谐运动，平衡位置在坐标原点，在x轴方向形成机械波，t＝0时该质点的位移为－0.1 m，t＝1 s时该质点的位移为0.1 m，则(　　)
A．若振幅为0.1 m，机械波的周期可能为 s
B．若振幅为0.1 m，机械波的周期可能为 s
C．若振幅为0.2 m，机械波的周期可能为2 s
D．若振幅为0.2 m，机械波的周期可能为1.2 s
BCD　[若振幅为0.1 m，则有Δt＝T(n＝0，1，2，…)，解得T＝ s(n＝0，1，2，…)，当n＝2时，机械波的周期为 s，不可能为 s，故A错误，B正确；若振幅为0.2 m，则有Δt＝＋nT或Δt＝T＋nT或Δt＝＋nT(n＝0，1，2，…)，得T＝ s或 s或 s(n＝0，1，2，…)，当n＝0时，机械波的周期可能为1.2 s或2 s，故C、D正确。故选BCD。]
3．一列机械波在某一时刻的波形如实线所示，经过Δt时间的波形如虚线所示，已知波的传播速率为1 m/s，则下列四个数据中Δt的值不可能为(　　)
A．1 s　　B．8 s　　C．11 s　　D．15 s
B　[波的周期T＝＝ s＝4 s，若波向右传播，则Δt＝nT＋＝(4n＋1) s(n＝0，1，2，…)，当n＝0时，Δt＝1 s；若波向左传播，则Δt＝nT＋＝(4n＋3) s，当n＝2时，Δt＝11 s，当n＝3时，Δt＝15 s，则Δt的值不可能为8 s。故选B。]
4．(多选)一列简谐横波沿x轴传播，在t＝0.125 s时的波形如图甲所示，M、N、P、Q是介质中的四个质点，已知N、Q两质点平衡位置之间的距离为16 m，图乙为质点P的振动图像。下列说法正确的是(　　)
A．该波的波速为120 m/s
B．该波沿x轴负方向传播
C．质点P的平衡位置位于x＝3 m处
D．从t＝0.125 s开始，质点P比质点N早 s回到平衡位置
ABD　[设该波的波长为λ，根据三角函数知识可知，N、Q两质点平衡位置间的距离为x＝·λ＝16 m，解得λ＝24 m，由题图乙可知该波的周期为T＝0.2 s，所以该波的波速为v＝＝120 m/s，故A正确；由题图乙可知，t＝0.125 s时刻，质点P沿y轴负方向运动，此时P应位于波传播方向波形的上坡，所以该波沿x轴负方向传播，故B正确；由题图乙可知，在t＝0.125 s之后，质点P第一次位于波峰的时刻为t＝0.25 s，易知此波峰是t＝0.125 s时刻质点Q所在处的波峰传播过来的，所以有＝0.25 s－0.125 s，解得xP＝1 m，故C错误；根据以上分析可知，N、P两质点间距为x′＝1 m，又因为波向左传播，所以质点P比质点N早回到平衡位置，时间间隔为Δt＝＝ s，故D正确。故选ABD。]
5．(多选)一列简谐横波沿x轴传播，已知x轴上x1＝1 m和x2＝7 m处质点的振动图像分别如图1、图2所示，则此列波的传播速率可能是(　　)
A．7 m/s B．2 m/s
C．1.2 m/s D．1 m/s
BC　[由题图可知该波的传播周期T＝4 s，当该列波向右传播时，根据题干可知两质点之间的距离满足的关系为6 m＝nλ＋λ(n＝0，1，2，…)，则由v＝可得波速为v＝ m/s(n＝0，1，2，…)，当n＝1时，可得v＝1.2 m/s；当波向左传播时，两质点之间的距离关系满足6 m＝nλ＋λ(n＝0，1，2，…)，则v＝ m/s(n＝0，1，2，…)，当n＝0时，可得v＝2 m/s；将A和D选项代入两个波速表达式，n均不是整数，因此A、D错误，B、C正确。]
6．(多选)如图所示，a、b是一列横波上的两个质点，它们在x轴上的距离s＝30 m，波沿x轴正方向传播。当a振动到最高点时，b恰好经过平衡位置向下振动，经过5 s波传播了30 m。下列判断正确的是 (　　)
A．该波的波速一定是6 m/s
B．该波的周期一定是12 s
C．该波的波长可能是40 m
D．该波的波长可能为24 m
AC　[该波经过5 s，传播了30 m，则波速v＝＝6 m/s，选项A正确；由题意可知nλ＋λ＝30 m(n＝0，1，2，…)，可得波长λ＝ m(n＝0，1，2，…)，当n＝0时，λ＝40 m，当λ＝24 m时，n不是整数，选项C正确，D错误；周期T＝＝ m/s(n＝0，1，2，…)，则该波的周期不可能是12 s，选项B错误。]
7．(多选)一列简谐横波在某介质中传播时经过a、b两点，a、b两点的平衡位置相距3 m。如图所示，实线表示a点的振动图像，虚线表示b点的振动图像。则(　　)
A．质点a的振动方程为y＝2sin cm
B．质点b的振动方程为y＝2sin (5πt)cm
C．该波的传播速度可能为90 m/s
D．该波的传播速度可能为 m/s
BCD　[由题图知该波的周期为T＝0.4 s，振幅A＝2 cm，则圆频率ω＝＝5π rad/s，可得质点b的振动方程为y＝2sin (5πt)cm，质点a的振动方程为y＝2sin cm，选项A错误，B正确；分析质点a的振动方程，当t＝ s＝时，y＝2 cm，而对质点b，当t＝0.1 s＝时，y＝2 cm，结合波的周期性可知，若波由质点a向质点b传播，则xab＝＋nλ(n＝0，1，2，…)，可得波速为v＝＝ m/s(n＝0，1，2，…)，当n＝0时，v＝90 m/s；若波由质点b向质点a传播，则xab＝＋nλ(n＝0，1，2，…)，可得波速为v＝＝ m/s(n＝0，1，2，…)，当n＝1时，v＝ m/s，选项C、D正确。]
8．一列沿x轴负方向传播的简谐横波在t＝0时刻的波形如图所示，质点振动的振幅为10 cm，P、Q两点的坐标分别为(－1 m，0)和(－9 m，0)，已知t＝0.7 s时，P点第二次出现波峰。
(1)这列波的传播速度为多大？
(2)从t＝0时刻起，经过多长时间Q点第一次出现波峰？
(3)当Q点第一次出现波峰时，P点通过的路程为多少？
[解析]　(1)由题意可知该波的波长为λ＝4 m
P点与最近波峰的水平距离为3 m，距离下一个波峰的水平距离为s＝7 m，所以v＝＝10 m/s。
(2)Q点与最近波峰的水平距离为s1＝11 m
故Q点第一次出现波峰的时间为t1＝＝1.1 s。
(3)该波中各质点振动的周期为T＝＝0.4 s
Q点第一次出现波峰时P点振动了
t2＝0.9 s＝2T＋T＝
质点P从平衡位置开始每振动经过的路程为10 cm，当Q点第一次出现波峰时，P点通过的路程s′＝9A＝90 cm＝0.9 m。
[答案]　(1)10 m/s　(2)1.1 s　(3)0.9 m
9．如图所示为一列沿x轴传播的简谐横波，实线为t1＝0.5 s 时刻的波形图，虚线为t2＝1.5 s时刻的波形图，已知波的周期大于2 s。
(1)求简谐横波的波长和振动质点的振幅；
(2)判断波的传播方向，并求波的传播速度大小；
(3)写出x＝3 m处质点的振动方程。
[解析]　(1)根据题图可知简谐横波的波长为12 m，振幅为2 cm。
(2)若波向左传播，则传播的距离为x＝(12n＋8)m(n＝0，1，2，…)
又因为nT＋T＝t2－t1(n＝0，1，2，…)
即T＝ s(n＝0，1，2，…)
因周期T>2 s，可知周期无解，故波向右传播，且传播的距离为
x＝(12n＋4) m(n＝0，1，2，…)
又因为nT＋T＝t2－t1(n＝0，1，2，…)
即T＝ s(n＝0，1，2，…)
因周期T>2 s，可知T＝3 s
则波速v＝＝4 m/s。
(3)设x＝3 m处质点的振动方程为y＝A sin ，其中＝
当t＝0.5 s时，y＝0且向上振动，代入数据可知φ＝－
故该质点的振动方程为y＝2sin cm。
[答案]　(1)12 m　2 cm　(2)波向右传播　4 m/s
(3)y＝2sin (t－) cm
小阶段巩固练(四)　第三章　第1节—素养提升课二
一、选择题
1．(多选)下列关于横波与纵波的说法正确的是(　　)
A．声波一定是纵波
B．水波一定是横波
C．地震波既有横波成分，也有纵波成分
D．机械波中的横波只能在固体中传播，纵波既可以在固体中传播，也可以在液体、气体中传播
CD　[横波只能在固体中传播，纵波既可以在固体传播，也可以在液体、气体中传播，所以声波在气体中传播时是纵波，在固体、液体介质中传播时可能是横波，也可能是纵波，故A错误，D正确；水波既不是横波，也不是纵波，故B错误；地震波既有横波成分，也有纵波成分，发生地震时地面既有上下振动，又有左右运动，故C正确。]
2．一根粗细均匀的绳子，右侧固定，用手抓住绳子左侧S点上下振动，产生一列向右传播的机械波，当波刚传播到P点时的波形如图所示，已知波在绳中的传播速度不变，下列说法正确的是(　　)
A．手的起振方向向下
B．S点振动的频率逐渐减小
C．此后P点开始做受迫振动
D．此后P点开始做简谐运动
C　[振动刚传到P点，起振方向向上，可知手的起振方向向上，选项A错误；由于波在绳中的传播速度不变，波长变小，说明手振动的频率变大，此后P点的振动不是简谐运动，选项B、D均错误；振源带动介质中的质点做受迫振动形成波，选项C正确。]
3．一列简谐横波沿x轴传播，周期为4 s，t＝0时刻的波形曲线如图所示，此时介质中质点b向y轴正方向运动，下列说法正确的是(　　)
A．该波的波速为1.0 m/s
B．该波的波速为0.25 m/s
C．该波沿x轴负方向传播
D．该波沿x轴正方向传播
D　[该波的波速为v＝＝ m/s＝0.5 m/s，故A、B错误；此时介质中质点b向y轴正方向运动，根据“同侧法”可知，该波沿x轴正方向传播，故C错误，D正确。]
4．如图所示，某同学演示波动实验，将一根长而软的弹簧静置在光滑水平面上，弹簧上系有一个标记物，在左端沿弹簧轴线方向周期性地推、拉弹簧，形成疏密相间的机械波。下列说法正确的是(　　)
A．弹簧上形成的波是横波
B．推、拉弹簧的周期越小，波长越长
C．标记物振动的速度就是机械波传播的速度
D．标记物由静止开始振动的现象表明机械波能传递能量
D　[根据弹簧的振动情况可知，质点的运动方向与机械波的传播方向在同一直线上，所以该波为纵波，A错误；机械波在同一介质中的传播速度相同，由v＝可知，推、拉弹簧的周期(波的周期)越小，波长越短，B错误；标记物振动的速度为该波上质点的振动速度，与波的传播速度无关，C错误；标记物由静止开始振动的现象表明机械波能传递能量，D正确。]
5．如图所示，实线和虚线分别是沿着x轴正方向传播的一列简谐横波在t＝0时刻和t＝0.5 s的波形图，已知波的周期T>0.5 s，则下列关于该列波说法正确的是(　　)
A．波长为5 cm
B．波速为10 cm/s
C．周期为1 s
D．t＝0时刻，质点M向下振动
D　[由题图可知波长为10 cm，故A错误；t＝0时刻到t＝0.5 s的过程中，Δt＝nT＋T，n＝0，1，2，…，已知波的周期T>0.5 s，则n只能取0，则T＝ s，波速为v＝＝15 cm/s，故B、C错误；简谐横波沿着x轴正方向传播，根据“同侧法”可知t＝0时刻，质点M向下振动，故D正确。]
6．(多选)一浮筒(视为质点)在池塘水面以频率f上下振动，水面泛起圆形的涟漪(视为简谐波)。用实线表示波峰位置，某时刻第1圈实线的半径为r，第3圈实线的半径为9r，如图所示，则(　　)
A．该波的波长为4r
B．该波的波速为2fr
C．此时浮筒在最低点
D．再经过，浮筒将在最低点
AD　[根据题意知，某时刻第1圈实线的半径为r，第3圈实线的半径为9r，故可得2λ＝9r－r，即λ＝4r，故A正确；该波的波速为v＝λf＝4rf，故B错误；由λ＝4r，根据某时刻第1圈实线的半径为r＝λ可得此时浮筒处于平衡位置，由于波向外传播，根据“同侧法”可知此时浮筒处于平衡位置向下振动，故再经过＝T，浮筒将在最低点，故C错误，D正确。]
7．(多选)一列简谐横波沿x轴正方向传播，波速大小为2 m/s，这列波在t＝0时刻的波形图如图所示。下列说法正确的是(　　)
A．这列波的振幅为16 cm
B．这列波的周期为2 s
C．平衡位置在x＝3 m处的质点在0～3 s内通过的路程为96 cm
D．平衡位置在x＝2 m处的质点做简谐运动的表达式为y＝8sin πt(cm)
BD　[由题图可知，这列波振幅A＝8 cm，周期T＝＝2 s，A错误，B正确；平衡位置在x＝3 m处的质点在0～3 s内通过的路程s＝×4A＝48 cm，C错误；平衡位置在x＝2 m处的质点在t＝0时刻沿y轴正方向振动，故该质点做简谐运动的表达式为y＝A sin ωt＝A sin t＝8sin πt(cm)，D正确。]
8．(多选)渔船上的声呐利用超声波来探测远方鱼群的方位。某渔船发出的一列超声波在t＝0时的波动图像如图1所示，图2为质点P的振动图像，则(　　)
A．该波的波速为1.5×103 m/s
B．该波沿x轴负方向传播
C．0～1 s时间内，质点P沿x轴运动了2 m
D．1个周期的时间内，质点P运动的路程为2×10-5 m
AD　[由题图1和题图2可知波长和周期分别为λ＝1.5×10-2 m，T＝1×10-5 s，则该波的波速为v＝＝1.5×103 m/s，故A正确；由题图2可知t＝0时质点P沿y轴正方向振动，由题图1根据“波形平移法”可知，该波沿x轴正方向传播，故B错误；质点P只会在平衡位置上下振动，并不会随波的传播方向迁移，故C错误；1个周期的时间内，质点P运动的路程为s＝4A＝4×5×10-6 m＝2×10-5 m，故D正确。]
9．(多选)一列简谐波在某一时刻的波形如图所示，经过一段时间，波形变成如图中虚线所示，已知波速大小为1 m/s。则这段时间可能是(　　)
A．1 s　　　　　　　 B．2 s
C．3 s D．4 s
AC　[如果这列波沿x轴正方向传播，则传播距离为s1＝nλ＋λ(n＝0，1，2，…)，λ＝4 m，则这段时间为t＝＝4n＋1(n＝0，1，2，…)，故这段时间可能为1 s、5 s、9 s、…，如果这列波沿x轴负方向传播，则传播距离为s1＝nλ＋λ(n＝0，1，2，…)，λ＝4 m，则这段时间为t＝＝4n＋3(n＝0，1，2，…)，故这段时间可能为3 s、7 s、11 s、…。故A、C正确，B、D错误。]
10．(多选)某同学为了研究水波的传播特点，在水面上放有稳定波源，如图甲所示，O为波源位置产生的水波沿水平方向传播(视为简谐波)，由该时刻开始计时，在波源的右侧某位置放有浮标，内有速度传感器，v-t图像如图乙所示，向上为正方向，则(　　)
A．浮标的振动的频率为5 Hz
B．水波的传播速度大小为1 m/s
C．浮标的振动方程为y＝sin 10πt(m)
D．浮标放置的位置可能为x＝15 cm
ABD　[浮标的振动的周期T＝0.2 s，则频率为f＝＝5 Hz，选项A正确；水波的传播速度大小为v＝＝ m/s＝1 m/s，选项B正确；浮标的振幅不能确定，可知振动方程不能确定，选项C错误；根据题图乙可知，0时刻质点的速度为零，且向上做加速度减小的加速运动，则知题图乙记录的质点0时刻位于负向位移最大处，结合题图甲可知浮标放置的位置可能为x＝15 cm，故D正确。]
二、非选择题
11．“波”字最早用于描述水纹起伏之状，《说文解字》中有“波，水涌流也”，唐代诗人韦应物有“微风动柳生水波”的描述。“微风动柳”在水面引起水波(视为简谐横波)向四周传播，在波的传播方向上相距6 m的两处分别有甲、乙两树叶，两树叶随波上下运动，其中甲树叶的振动图像如图所示。某时刻，当甲树叶运动到波峰时，乙树叶恰好运动到波谷，求：
(1)此时刻，甲、乙两树叶竖直方向的高度差；
(2)这列水波的波长；
(3)若此时甲、乙两树叶之间只有一个波峰(甲树叶所在的波峰除外)，这列水波的传播速度的大小。
[解析]　(1)当甲树叶运动到波峰时，乙树叶恰好运动到波谷，则此时刻，甲、乙两树叶竖直方向的高度差为Δh＝2A＝2×0.3 cm＝0.6 cm。
(2)当甲树叶运动到波峰时，乙树叶恰好运动到波谷，而甲、乙相距d为6 m，则有
d＝＋nλ，其中(n＝0，1，2，…)
可得，这列水波的波长为λ＝ m，其中(n＝0，1，2，…)。
(3)可知当n取1时，甲、乙两树叶之间只有一个波峰，则这列水波的波长为λ＝ m＝4 m
由题图可知，这列水波的周期T为4 s，则这列水波的传播速度的大小为v＝＝1 m/s。
[答案]　(1)0.6 cm　(2)λ＝ m，其中(n＝0，1，2，…)　(3)1 m/s
12．A、O、B为某均匀介质中的三点，已知O在A、B的连线上，且AO＝3 m，OB＝4 m，如图甲所示。t＝0时刻波源O开始振动，振动图像如图乙所示。A起振t＝1.0 s后B开始振动，求：
　
(1)该波的波速v和波长λ；
(2)B点开始振动时A点的位移及运动方向。
[解析]　(1)波源O开始振动后同时向OA和OB两个方向传播，由于属于同种均匀介质，波沿两个方向的传播速度v大小相等，故波传播到A、B两点的时间分别为tA＝，tB＝
故波传播到A、B两点的时间差为t＝tB－tA
代入数据联立解得v＝1.0 m/s
根据波源O的振动图像可知，波的周期为T＝2 s
由波长、周期和波速的关系v＝
代入数据解得λ＝2.0 m。
(2)由题可知，当B开始振动时，A已经运动了t＝1.0 s＝，故此时A处于平衡位置，因此此时A的位移为0；根据波源O的振动图像可知各质点的起振方向向下，因此质点A起振后，经历t＝1.0 s＝时处于平衡位置且向上运动。
[答案]　(1)v＝1.0 m/s　λ＝2.0 m　(2)位移为0　向上运动

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