资源简介

主题1　对称思想
在简谐波中，质点在平衡位置附近做简谐运动，具有空间和时间上的对称性。简谐运动的对称性主要体现在以下几个方面：
(1)相对平衡位置对称的两点，加速度、回复力、位移均为等值反向，速度可能相同也可能等值反向，动能、势能一定相等；
(2)振动物体通过平衡位置两侧的两段对称路径的时间相等，回复力做的功相等，回复力的冲量大小相等；
(3)振动物体通过平衡位置一侧的一段路径的往返时间也相等。
这些对称关系在解决简谐波和简谐运动的问题中很有价值。
【典例1】　如图所示为某一报告厅主席台的平面图，AB是讲台，S1、S2是与讲台上话筒等高的喇叭，它们之间的相互位置和尺寸如图所示。报告者的声音放大后经喇叭传回话筒再次放大时可能会产生啸叫。为了避免啸叫，话筒最好摆放在讲台上适当的位置，在这些位置上两个喇叭传来的声音因干涉而相消。已知空气中声速为340 m/s，若报告人声音的频率为136 Hz，问讲台上这样的位置有多少个？
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【典例2】　(多选)一列沿x轴方向传播的简谐横波，振幅为2 cm，波速为2 m/s。如图所示，在波的传播方向上两质点a、b的平衡位置相距0.4 m(小于一个波长)，当质点a在波峰位置时，质点b在x轴下方与x轴相距1 cm的位置。下列说法正确的是(　　)
A．从此时刻起经过0.4 s，b点可能在波谷位置
B．从此时刻起经过0.4 s，b点可能在波峰位置
C．从此时刻起经过0.5 s，b点可能在平衡位置
D．从此时刻起经过0.5 s，b点可能在波谷位置
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主题2　图像法
利用图像这种特殊且形象的数学语言工具，来表达各种现象的过程和规律，这种方法称为图像法。在本章中，波的图像和振动图像是非常重要的内容，根据给出的图像信息，判断是波的图像还是振动图像，若是波的图像，则可从图像中找出波的波长和振幅，若是振动图像，则可从图像中找出波的周期(圆频率)、振幅和初相位，若在题目中同时给出了振动图像和波的图像，应找到两种图像的内在联系，结合题干条件解题。
【典例3】　(人教版P83T6)如图所示，一列简谐横波在x轴上传播，图甲和图乙分别为x轴上a、b两质点的振动图像，且xab为6 m。试求出这列波的波长与波速。
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主题3　模型建构
通过题目所提供的物理情境、生活物理等进行抽象加工，建立对应的物理模型，充分利用所学知识解决身边物理问题。
【典例4】　资料记载，海啸波是重力长波，波长可达100千米以上，由于其传播速度在深海区与浅海区不同，使得在开阔的深海区低于几米的单个波浪，到达浅海区后波长减小，振幅增大，变为10～40 m高的拍岸巨浪。有时最先到达海岸的海啸波可能是波谷，水位下落，暴露出浅滩海底，几分钟后波峰到来，一退一进，造成毁灭性的破坏。
(1)在深海区有一海啸波(忽略海底深度变化引起的波形变化)如图甲所示，实线是某时刻的波形图，t＝900 s后首次出现图甲中虚线所示的波形图。已知波沿x轴正方向传播，波源到浅海区的水平距离s1＝1.08×104 km，求海啸波到达浅海区的时间t1；
(2)第(1)问中的海啸波进入浅海区后的波形(忽略海底深度变化引起的波形变化)变为如图乙所示，若浅海区到达海岸的水平距离为s2＝100 km，求该海啸波从进入浅海区到波谷最先到达海岸的时间t2。
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　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　主题1　对称思想
在简谐波中，质点在平衡位置附近做简谐运动，具有空间和时间上的对称性。简谐运动的对称性主要体现在以下几个方面：
(1)相对平衡位置对称的两点，加速度、回复力、位移均为等值反向，速度可能相同也可能等值反向，动能、势能一定相等；
(2)振动物体通过平衡位置两侧的两段对称路径的时间相等，回复力做的功相等，回复力的冲量大小相等；
(3)振动物体通过平衡位置一侧的一段路径的往返时间也相等。
这些对称关系在解决简谐波和简谐运动的问题中很有价值。
【典例1】　如图所示为某一报告厅主席台的平面图，AB是讲台，S1、S2是与讲台上话筒等高的喇叭，它们之间的相互位置和尺寸如图所示。报告者的声音放大后经喇叭传回话筒再次放大时可能会产生啸叫。为了避免啸叫，话筒最好摆放在讲台上适当的位置，在这些位置上两个喇叭传来的声音因干涉而相消。已知空气中声速为340 m/s，若报告人声音的频率为136 Hz，问讲台上这样的位置有多少个？
[解析]　频率f＝136 Hz的声波的波长是
λ＝＝2.5 m
式中v＝340 m/s是空气中的声速。如图所示，O是AB的中点，P是OB上任一点。
设＝k·，当k＝0，2，4，…时，从两个喇叭传来的声波因干涉而加强；当k＝1，3，5，…时，从两个喇叭传来的声波因干涉而相消。由此可知，O是振动加强点。
对于B点，＝20 m－15 m＝4×
所以，B点也是振动加强点。因而O、B之间有两个干涉相消点，由对称性可知，AB上有四个干涉相消点。
[答案]　四个
【典例2】　(多选)一列沿x轴方向传播的简谐横波，振幅为2 cm，波速为2 m/s。如图所示，在波的传播方向上两质点a、b的平衡位置相距0.4 m(小于一个波长)，当质点a在波峰位置时，质点b在x轴下方与x轴相距1 cm的位置。下列说法正确的是(　　)
A．从此时刻起经过0.4 s，b点可能在波谷位置
B．从此时刻起经过0.4 s，b点可能在波峰位置
C．从此时刻起经过0.5 s，b点可能在平衡位置
D．从此时刻起经过0.5 s，b点可能在波谷位置
BD　[第一种情况，如图所示。
根据图像得 λ＝0.4 m，解得λ＝1.2 m，再经过0.4 s，波移动的距离为Δx＝vt＝0.8 m，波向左传播时，波形向左移动0.8 m，波峰在0.4 m处，此时b点在波峰处；波向右传播时，波形向右移动0.8 m，波峰在0.8 m处，此时b点在波谷与平衡位置之间；再经过0.5 s，波移动的距离为Δx＝vt′＝1 m，波向左传播时，波形向左移动1 m，波峰在0.2 m处，此时b点在波峰与平衡位置之间；波向右传播时，波形向右移动1 m，波峰在1 m处，此时b点在波谷处；
第二种情况，如图所示。
根据图像得 λ＝0.4 m，解得λ＝0.6 m，再经过0.4 s，波移动的距离为Δx＝vt＝0.8 m＝0.6 m＋0.2 m，波向左传播时，波形向左移动0.2 m，波峰在0.4 m处，此时b点在波峰处；波向右传播时，波形向右移动0.2 m，波峰在0.2 m处，此时b点在波谷与平衡位置之间；再经过0.5 s，波移动的距离为Δx＝vt′＝1 m＝0.6 m＋0.4 m，波向左传播时，波形向左移动0.4 m，波峰在0.2 m处，此时b点在波谷与平衡位置之间；波向右传播时，波形向右移动0.4 m，波峰在0.4 m处，此时b点在波峰处。故选BD。]
主题2　图像法
利用图像这种特殊且形象的数学语言工具，来表达各种现象的过程和规律，这种方法称为图像法。在本章中，波的图像和振动图像是非常重要的内容，根据给出的图像信息，判断是波的图像还是振动图像，若是波的图像，则可从图像中找出波的波长和振幅，若是振动图像，则可从图像中找出波的周期(圆频率)、振幅和初相位，若在题目中同时给出了振动图像和波的图像，应找到两种图像的内在联系，结合题干条件解题。
【典例3】　(人教版P83T6)如图所示，一列简谐横波在x轴上传播，图甲和图乙分别为x轴上a、b两质点的振动图像，且xab为6 m。试求出这列波的波长与波速。
[解析]　设由a指向b为x轴正方向，若波沿x轴正方向传播，由题图甲、乙知t＝0时刻a质点经过平衡位置向下运动，而b位于波峰，则xab＝nλ＋(n＝0，1，2，…)
即波长λ＝ m
波速v＝＝ m/s(n＝0，1，2，…)
同理可知，若波沿x轴负方向传播，则波长
λ＝ m(n＝0，1，2，…)
波速v＝＝ m/s(n＝0，1，2，…)。
[答案]　见解析
主题3　模型建构
通过题目所提供的物理情境、生活物理等进行抽象加工，建立对应的物理模型，充分利用所学知识解决身边物理问题。
【典例4】　资料记载，海啸波是重力长波，波长可达100千米以上，由于其传播速度在深海区与浅海区不同，使得在开阔的深海区低于几米的单个波浪，到达浅海区后波长减小，振幅增大，变为10～40 m高的拍岸巨浪。有时最先到达海岸的海啸波可能是波谷，水位下落，暴露出浅滩海底，几分钟后波峰到来，一退一进，造成毁灭性的破坏。
(1)在深海区有一海啸波(忽略海底深度变化引起的波形变化)如图甲所示，实线是某时刻的波形图，t＝900 s后首次出现图甲中虚线所示的波形图。已知波沿x轴正方向传播，波源到浅海区的水平距离s1＝1.08×104 km，求海啸波到达浅海区的时间t1；
(2)第(1)问中的海啸波进入浅海区后的波形(忽略海底深度变化引起的波形变化)变为如图乙所示，若浅海区到达海岸的水平距离为s2＝100 km，求该海啸波从进入浅海区到波谷最先到达海岸的时间t2。
[解析]　(1)由题图甲得λ1＝240 km
依题意有t＝T，v1＝，s1＝v1t1
联立解得T＝1 200 s，t1＝15 h。
(2)由题图乙得波在浅海区的振幅A＝20 m，波长λ2＝40 km，周期仍为T＝1 200 s
海啸波在浅海区的传播速度v2＝＝ m/s
故波谷最先到达海岸的时间t2＝T＝3 300 s。
[答案]　(1)15 h　(2)3 300 s
章末综合测评(三)　机械波
(满分：100分)
一、单项选择题：本题共5小题，每小题6分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目要求。
1．关于受迫振动和多普勒效应，下列说法正确的是(　　)
A．系统的固有频率与驱动力频率有关
B．只要驱动力足够大，共振就能发生
C．应用多普勒效应可以测量车辆的速度
D．观察者与波源相互远离时，接收到的波的频率比波源的频率大
C　[系统的固有频率是指振动系统不受外力作用时振动的频率，驱动力频率是指施加在系统上的周期性外力的频率，两者无关，A错误；当驱动力的频率等于系统的固有频率时，系统受迫振动的振幅最大，共振发生，所以共振能否发生取决于驱动力的频率是否等于系统的固有频率，与驱动力的大小无关，B错误；多普勒效应是指波源与观察者相互靠近或者相互远离时，接收到的波的频率发生变化的现象，在生活中可以用来测量车辆的速度，C正确；观察者与波源相互远离时，观察者接收到的波的频率比波源的频率小，观察者与波源相互靠近时，观察者接收到的波的频率比波源的频率大，D错误。]
2．如图所示，健身者在公园以每分钟60次的频率上下抖动长绳的一端，长绳自右向左呈现波浪状起伏，可近似为单向传播的简谐横波。长绳上A、B两点平衡位置相距6 m，t0时刻A点位于波谷，B点位于波峰，两者之间还有一个波谷。下列说法正确的是(　　)
A．波长为3 m
B．波速为12 m/s
C．t0＋0.25 s时刻，B点速度为0
D．t0＋0.50 s时刻，A点速度为0
D　[由题意可知xAB＝λ，则该波的波长为λ＝4 m，A错误；根据题意可知该波的周期T＝1 s，结合A项分析可得该波的波速为v＝＝4 m/s，B错误；由于t0时刻A点、B点分别位于波谷、波峰位置，则t0时刻A点、B点的速度均为0，从t0时刻到t0＋ 0.25 s时刻，B点振动了个周期，运动至平衡位置，速度最大，C错误；从t0时刻到t0＋0.5 s时刻，A点振动了个周期，运动至波峰位置，速度为0，D正确。]
3．(人教版P83T4改编)如图所示，点S为振源，其频率为10 Hz，所产生的简谐横波向右传播，波速为40 m/s，P、Q是波传播途中的质点，已知＝6.0 m，＝7.0 m，则当S通过平衡位置向上运动时(　　)
A．P质点在波峰
B．P质点通过平衡位置向下运动
C．Q质点通过平衡位置向上运动
D．Q质点在波谷
B　[该波的波长为λ＝＝4 m，又
＝7.0 m＝1.75 λ，故Q质点在波峰，速度为零，故C、D错误。故选B。]
4．一列简谐横波沿x轴正方向传播，某时刻的波形如图所示，关于质点P的说法正确的是(　　)
A．该时刻速度沿y轴正方向
B．该时刻加速度沿y轴正方向
C．此后个周期内通过的路程为A
D．此后个周期内沿x轴正方向迁移λ
A　[波沿x轴正方向传播，由“同侧法”可知，该时刻质点P的速度沿y轴正方向，加速度沿y轴负方向，A正确，B错误；该时刻质点P不在特殊位置，则在个周期内通过的路程不一定等于A，C错误；质点只能在平衡位置附近振动，而不随波迁移，D错误。]
5．如图所示，均匀介质中矩形区域内有一位置未知的波源。t＝0时刻，波源开始振动产生简谐横波，并以相同波速分别向左、右两侧传播，P、Q分别为矩形区域左右两边界上振动质点的平衡位置。t＝1.5 s和t＝2.5 s时矩形区域外波形分别如图中实线和虚线所示，则(　　)
A．波速为2.5 m/s
B．波源的平衡位置距离P点1.5 m
C．t＝1.0 s 时，波源处于平衡位置且向下运动
D．t＝5.5 s 时，平衡位置在P、Q处的两质点位移相同
D　[由题图可知该简谐横波的波长为λ＝4 m，波形由实线变为虚线所需的时间为t＝1.0 s，该段时间内波向前传播了半个波形，则该波的周期为T＝2t＝2.0 s，由公式v＝可知该波的波速为2 m/s，A错误；从t＝0到t＝2.5 s的时间内波向前传播的距离为x＝2 m/s×2.5 s＝5 m，则波源的平衡位置距离P点1 m，B错误；由波的图像可知，波源的起振方向向下，1.0 s为半个周期，则t＝1.0 s时波源处于平衡位置且向上运动，C错误；由A项分析可知1.5 s时间内波向前传播的距离为x′＝2 m/s×1.5 s＝3 m，而由B项分析可知Q点到波源的平衡位置距离为3 m，所以t＝1.5 s时波传播至Q点，由波的周期性可知t＝5.5 s时P、Q间的波形与t＝1.5 s时的波形相同，Q处质点在平衡位置向下振动，P处质点在平衡位置向上振动，即t＝5.5 s时，平衡位置在P、Q处的两质点位移相同，均为0，D正确。]
二、多项选择题：本题共2小题，每小题8分，共16分。每小题有多项符合题目要求，全部选对的得8分，选对但不全的得4分，有选错的得0分。
6．位于坐标原点O的波源在t＝0时开始振动，振动图像如图所示，所形成的简谐横波沿x轴正方向传播。平衡位置在x＝3.5 m处的质点P开始振动时，波源恰好第2次处于波谷位置，则(　　)
A．波的周期是0.1 s
B．波的振幅是0.2 m
C．波的传播速度是10 m/s
D．平衡位置在x＝4.5 m处的质点Q开始振动时，质点P处于波峰位置
BC　[根据题图可知，该波的周期T＝0.2 s，振幅为0.2 m，A错误，B正确；由题意可知波源第2次处于波谷位置，即波源振动了Δt＝1T时质点P开始振动，所以该波的传播速度v＝＝10 m/s，C正确；结合C项分析可知，t＝0.45 s时质点Q开始振动，此时质点P已经运动了0.1 s，结合题图可知此时质点P处于平衡位置，D错误。]
7．如图所示，置于管口T前的声源发出一列单一频率声波，分成两列强度不同的声波分别沿A、B两管传播到出口O。先调节A、B两管等长，O处探测到声波强度为400个单位，然后将A管拉长d＝15 cm，在O处第一次探测到声波强度最小，其强度为100个单位。已知声波强度与声波振幅平方成正比，不计声波在管道中传播的能量损失，则(　　)
A．声波的波长λ＝15 cm
B．声波的波长λ＝60 cm
C．两声波的振幅之比为3∶1
D．两声波的振幅之比为2∶1
BC　[分析可知A、B两管等长时，声波的振动加强，将A管拉长d＝15 cm后，两声波在O点振动减弱，根据题意设声波加强时振幅为20，声波减弱时振幅为10，则A1＋A2＝20，A1－A2＝10，可得两声波的振幅之比为＝，故C正确，D错误；根据振动减弱的条件可得＝2d，解得λ＝60 cm，故A错误，B正确。故选BC。]
三、非选择题：本题共3小题，共54分。
8．(15分)青蛙在平静的水面上鸣叫时引起水面振动，形成如图甲所示的水波(把水波当成横波处理)。假设原点O处为青蛙所在位置，O处的波源垂直Oxy平面振动后，产生的简谐横波在Oxy平面内传播。实线圆、虚线圆分别表示t＝0时刻相邻的波峰和波谷，此时波恰好传到图甲中的实线圆处，图乙为图甲中质点B的振动图像，z轴垂直于Oxy水平面且z轴的正方向为竖直向上。
(1)写出质点B的振动方程；
(2)求波在水中的传播速度；
(3)求C点第10次到达波峰的时刻。
[解析]　(1)由题图乙可知周期T＝0.01 s
所以，题图甲中B点的振动方程为
zB＝－cos cm＝－cos (200πt) cm。
(2)实线圆、虚线圆分别表示t＝0时刻相邻的波峰和波谷，由题图甲可知＝0.25 cm
则波在水中的传播速度v＝＝0.5 m/s。
(3)根据题意可知O处此时处于波峰位置，且OC＝ cm＝1 cm
实线圆传递到C点的时间
t′＝＝ s＝0.01 s
所以C点第10次到达波峰的时刻
t＝t′＋9T＝0.1 s。
[答案]　(1)zB＝－cos (200πt) cm　(2)0.5 m/s　(3)0.1 s
9．(19分)某乐器发出频率为两倍关系的两个纯音(简谐声波)，其波形叠加后呈现一种周期性变化。图甲和图乙分别为同一时刻两列简谐声波单独沿x正方向传播的波形图，图中的坐标原点位于同一质点处，声速为340 m/s。
(1)从图中读出这两列波的波长；
(2)该时刻这两列波叠加，分别求x＝0和x＝0.375 m处的质点在该时刻偏离平衡位置的位移；
(3)求这两列波叠加后的周期。
[解析]　(1)由题图甲可知
4λ甲＝2.0 m
解得λ甲＝0.5 m
由题图乙可知
2λ乙＝2.0 m
解得λ乙＝1.0 m。
(2)该时刻，甲波在x＝0处偏离平衡位置的位移为1.0 μm
乙波在x＝0处偏离平衡位置的位移也为1.0 μm
因此这两列波叠加后在x＝0处的质点在该时刻偏离平衡位置的位移为x0＝2 μm
该时刻，甲波在x＝0.375 m＝λ甲处偏离平衡位置的位移为0
乙波在x＝0.375 m＝λ乙处偏离平衡位置的位移为－ μm
因此这两列波叠加后在x＝0.375 m处的质点在该时刻偏离平衡位置的位移为x0.375＝－ μm。
(3)这两列波叠加后的波长λ＝1.0 m
根据波长、波速与周期的关系有λ＝vT
其中v＝340 m/s
代入数据解得T＝ s。
[答案]　(1)0.5 m　1.0 m　(2)2 μm　－ μm　(3) s
10．(20分)如图所示，一列简谐横波沿x轴传播，实线为t1＝0时刻的波形图，虚线为t2＝0.5 s时刻的波形图，2T>(t2－t1)>T。
(1)若波沿x轴正方向传播，从t1＝0时刻开始，x＝5 m处的质点最少要经过多长时间到达平衡位置？
(2)若波速为v＝26 m/s，求t2＝0.5 s时刻，x＝8 m 处的质点的振动方向。
[解析]　(1)由题图可知该波的波长为λ＝8 m，若波沿x轴正方向传播，则在Δt＝t2－t1时间内波传播的距离满足Δx＝λ＋nλ(n＝0，1，2，…)，则Δt＝t2－t1＝T＋nT(n＝0，1，2，…)
由于2T>(t2－t1)>T，因此n＝1，解得波传播的周期为T＝ s。由题图可知，t2＝0.5 s时刻x＝5 m处的质点刚好在平衡位置，故从t1＝0时刻开始x＝5 m处的质点要到达平衡位置最少要经过的时间为t＝T＝ s。
(2)若波速为v＝26 m/s，则波在0.5 s内传播的距离s＝vΔt＝13 m，由于s＝λ＋5 m，结合题图可知，波沿x轴负方向传播。根据波动与振动的关系可知，在t2＝0.5 s时刻，x＝8 m处的质点沿y轴正方向运动。
[答案]　(1) s　(2)沿y轴正方向运动

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