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2026秋季初二数学每日一题打卡001
1.如图，在△ABC中，点D是边AC的中点，点E在边BC上，CE= 2BE，AE和BD交于点O，
那么△BOE和四边形OECD的面积比是 ．
(001第1题试题来源：2025秋季苏州苏州园区校级10月月考)
A
D
O
B E C
2.如图，在△ABC中，点D为BC中点，连接AD．点E为AB上一点，连接CE交AD于F．若
CF= 3EF，BE= 2AE，S△CDF= 3，则S△ABC= ．
(001第2题试题来源：2025秋季苏州苏州园区校级10月月考)
A
E
F
B D C
·1·
试题解析
1.如图，在△ABC中，点D是边AC的中点，点E在边BC上，CE= 2BE，AE和BD交于点O，
那么△BOE和四边形OECD的面积比是 　 1： 5　 ．
【答案】解：如图，连接OC．
A
S1 D
3SO S1
S 2S
B E C
设S△BOE=S，S△COD=S1，∵CE= 2BE，点D是边AC的中点，∴S△COE= 2S，S△AOD=S1，
∵S△ABD=S△BCD，∴S△AOB+S1= 3S+S1，∴S△AOB= 3S，
∵S△ABE：S△ACE= 1： 2，即 (3S+S)： (2S1+ 2S) = 1： 2，∴S1= 3S，
∴S四边形OECD= 2S+S1= 2S+ 3S= 5S，∴S△BOE：S四边形OECD=S： 5S= 1： 5．故答案为： 1： 5．
2.如图，在△ABC中，点D为BC中点，连接AD．点E为AB上一点，连接CE交AD于F．若
CF= 3EF，BE= 2AE，S△CDF= 3，则S△ABC=　 12　 ．
【答案】解：如图，连接BF，
A
E
F
B D C
∵点D为BC中点，S△CDF= 3，∴S△BDF=S△CDF= 3，S△ABC= 2S△ACD，
∵CF= 3EF，BE= 2AE(已知)，∴S△BEF= 2S△AEF，S△ACF= 3S△AEF，S△BCE= 2S△ACE，
∴S△BEF+S△BDF+S△CDF= 2(S△AEF+S△ACF)，∴ 2S△AEF+ 3+ 3= 2(S△AEF+ 3S△AEF)，
解得S△AEF= 1，∴S△ACF= 3S△AEF= 3× 1= 3，
∴S△ABC= 2S△ACD= 2× (3+ 3) = 2× 6= 12．
所以三角形ABC的面积为 12，
故答案为： 12．
·2·
2026秋季初二数学每日一题打卡 002
1.【问题提出】如图 1，在△ABC中，∠BAC= 90°，AB=AC，直线 l经过点A，分别从点B，C
向直线 l作垂线，垂足分别为D，E．求证：△ABD≌△CAE；
【变式探究】如图 2，在△ABC中，AB=AC，直线 1经过点A，点D， E分别在直线 l上，如果
∠CEA=∠ADB=∠BAC，猜想DE，BD，CE有何数量关系，并给予证明；
【拓展应用】小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图 3所示，以△ABC的边
AB，AC为一边向外作△BAD和△CAE，其中∠BAD=∠CAE= 90°，AB=AD，AC=AE，
AG是边BC上的高．延长GA交DE于点H．
(1)求证：点D，E到直线HG的距离相等；
(2)经测量，DE= 50cm，求HE的长．
·3·
试题解析
2.【问题提出】如图 1，在△ABC中，∠BAC= 90°，AB=AC，直线 l经过点A，分别从点B，C
向直线 l作垂线，垂足分别为D，E．求证：△ABD≌△CAE；
【变式探究】如图 2，在△ABC中，AB=AC，直线 1经过点A，点D， E分别在直线 l上，如果
∠CEA=∠ADB=∠BAC，猜想DE，BD，CE有何数量关系，并给予证明；
【拓展应用】小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图 3所示，以△ABC的边
AB，AC为一边向外作△BAD和△CAE，其中∠BAD=∠CAE= 90°，AB=AD，AC=AE，
AG是边BC上的高．延长GA交DE于点H．
(1)求证：点D，E到直线HG的距离相等；
(2)经测量，DE= 50cm，求HE的长．
【答案】【问题提出】证明：在Rt△ADB中，∠ABD+∠BAD+∠BDA= 180°，∠BDA= 90°，
∴∠ABD+∠BAD= 90°．又∵∠BAC= 90°，∴∠BAD+∠CAE= 90°，∴∠ABD=∠CAE，
∠ABD=∠CAE
在△ABD和△CAE中， ∠BDA=∠AEC=90°，∴△ABD≌△CAE(AAS)；
AB=AC
【变式探究】解：DE=BD+CE，理由如下：
∵∠CAD=∠BAC+∠BAD=∠CEA+∠ACE，∠CEA=∠BAC，∴∠ACE=∠BAD，
∠AEC=∠ADB
在△CAE和△ABD中， ∠ACE=∠BAD，∴△CAE≌△ABD(AAS)，∴AD=CE，AE=DB，
AB=AC
∴DE=AE+AD=BD+CE；
【拓展应用】
(1)证明：如图 3，过点E作EM⊥HG于点M，作DN⊥GH，交GH的延长线于点N，
∴∠EMH=∠DNH= 90°．
与【问题提出】同理可得△DNA≌△AGB，△EMA≌△AGC，
∴DN=AG，EM=AG，∴DN=EM．
即点D，E到直线HG的距离相等；
∠DNH=∠EMH
(2)解：在△DNH和△EMH中， ∠DHN=∠MHE，
DN=ME
∴△DNH≌△EMH(AAS)，∴DH=HE，
∵DE= 50cm，∴HE= 1 DE= 25cm．
2
·4·
2026秋季初二数学每日一题打卡003
1.如图，△DAC，△ECB均是等边三角形，点A，C，B在同一条直线上，且AE，BD分别与
CD，CE交于点M，N，连结MN．则下列结论：①△ACE≌△DCB；②△CMN为等边三角形；
③OC平分∠AOB；④MN∥BC；⑤CO平分∠DCE．其中正确的有 ．
E
D
O
M N
A C B
·5·
试题解析
1.如图，△DAC，△ECB均是等边三角形，点A，C，B在同一条直线上，且AE，BD分别与
CD，CE交于点M，N，连结MN．则下列结论：①△ACE≌△DCB；②△CMN为等边三角形；
③OC平分∠AOB；④MN∥BC；⑤CO平分∠DCE．其中正确的有 ①②③④ ．
E
D
O
M N
A C B
【答案】解：∵△DAC和△ECB均是等边三角形，
∴AC=DC，CE=BC，∠ACD=∠BCE= 60°，
∵点A，C，B在同一条直线上，∴∠DCN= 60°，∴∠ACE=∠DCB= 120°，
AC=DC
在△ACE和△DCB中， ∠ACE=∠DCB，∴△ACE≌△DCB(SAS)，故①正确；
CE=BC
∴∠CEA=∠CBD，∴△EMC≌△BNC(ASA)，∴MC=NC，又∵∠MCN= 60°，
∴△CMN为等边三角形，故②正确；
∴∠MNC= 60°，∴∠MNC=∠NCB，∴MN∥BC，故④正确，
如图，连接OC，过点C作CP⊥BD于点P，作CQ⊥AE于点Q，
E
D
O
M P N
Q
A C B
∵△ACE≌△DCB，∴AE=BD，S△ACE=S△BCD，∴
1 AE CQ= 1 BD CP，∴CQ=CP，
2 2
∵CP⊥BD，CQ⊥AE，∴OC平分∠AOB，故③正确，
∴Rt△OCQ≌Rt△OCP(HL)，∴∠OCQ=∠OCP，
∵∠OCQ-∠MCQ不一定等于∠OCP+∠PCN，∴CO不一定平分∠DCE，故⑤不正确，
所以，正确的有①②③④，故答案为：①②③④．
·6·
2026秋季初二数学每日一题打卡 004
1.如图，已知△ABC和△DCE都是等边三角形．
(1)观察发现：如图①，若点B，C，E在同一条直线上，P为线段AE，BD的交点，则线段AE
与BD之间的数量关系为　 　 ；∠APB=　 　 ．
(2)如图②，若点B，C，E在同一条直线上， F为线段BD，AC的交点，H为线段AE，CD的
交点，连接FH，猜想FH与BE的位置关系，并证明．
(3)深入探究：如图③，若点B，C，E不在同一条直线上，P为线段AE，BD的交点． (1)中的
结论仍成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
(4)连接CP，求证：PC平分∠BPE．
·7·
试题解析
1.如图，已知△ABC和△DCE都是等边三角形．
【答案】(1)解：∵△ABC和△DCE都是等边三角形，
∴∠ACB=∠DCE= 60°，AC=BC，CD=CE，
∵∠ACD= 60°，∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，∴∠BCD=∠ACE．
AC=BC
在△ACE和△BCD中， ∠ACE=∠BCD，∴△ACE≌△BCD (SAS)，
CE=CD
∴∠EAC=∠DBC，AE=BD，
∴∠APB= 180° -∠BAP-∠ABP= 180° -∠BAC-∠CAE-∠ABP
= 180° -∠BAC-∠BCD-∠ABP= 180° -∠BAC-∠ABC= 180° -60° -60° = 60°，
故答案为：AE=BD； 60°；
(2)解：FH∥BE；
证明：同 (1)可证△ACE≌△BCD，∴∠CAE=∠CBD．
∠CAH=∠CBF
在△CAH和△CBF中， AC=BC ，∴△CAH≌△CBF (ASA)，∴CH=CF．
∠ACH=∠BCF=60°
∵∠FCH= 60°，∴△CFH为等边三角形，∴∠CHF= 60°，∴∠DCE=∠CHF，∴FH∥BE；
(3)解： (1)中的结论仍成立；
证明：如图③，△ABC和△DCE都是等边三角形，设BD与AC交于点O．
∴∠ACB=∠DCE= 60°，AC=BC，CD=CE，
∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，∴∠BCD=∠ACE．
BC=AC
在△BCD和△ACE中， ∠BCD=∠ACE，∴△BCD≌△ACE，
CD=CE
∴BD=AE，∠CBD=∠CAE．
∵∠APB= 180° -∠CAE-∠AOP，∠ACB= 180° -∠CBD-∠BOC，∠AOP=∠BOC，
∴∠APB=∠ACB= 60°．
(4)证明：连接CP，过点C作CM⊥BD，CN⊥AE，垂足分别为M，N，如图④．
由 (3)得△BCD≌△ACE，
∴BD=AE，S△BCD=S△ACE，
∴ 1 BD CM= 1 AE CN，
2 2
∴CM=CN，
∴PC平分∠BPE．
·8·
2026秋季初二数学每日一题打卡 005
1.【问题情境】
利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图 1，OP平分∠MON．点A为OM上一点，过点
A作AC⊥OP，垂足为C，延长AC交ON于点B，可根据 证明△AOC≌△BOC，则AO
=BO，AC=BC(即点C为AB的中点)．
【类比解答】
如图 2，在△ABC中，CD平分∠ACB，AE⊥CD于E，若∠EAC= 63°，∠B= 37°，通过上述构
造全等的办法，可求得∠DAE= ．
【拓展延伸】
(1)如图 3，△ABC中，AB=AC，∠BAC= 90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的
延长线上，试探究BE和CD的数量关系，并证明你的结论．
(2)如图 4，△ABC中，AB=AC ∠BAC= 90° D BC ∠EDB= 1， ，点 在线段 上， ∠C， BE⊥
2
DE，垂足为E，DE与AB相交于点F．线段BE与FD的数量关系为． (直接写出)
(005试题来源：2025秋季苏州苏州园区校级期中)
·9·
试题解析
1.可根据 ASA 证明△AOC≌△BOC，则AO=BO，AC=BC(即点C为AB的中点)．
如图 2，在△ABC中，CD平分∠ACB，AE⊥CD于E，若∠EAC= 63°，∠B= 37°，通过上述构
造全等的办法，可求得∠DAE=　 26°　 ．
(1)如图 3，△ABC中，AB=AC，∠BAC= 90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的
延长线上，试探究BE和CD的数量关系，并证明你的结论．
(2)如图 4，△ABC中，AB=AC，∠BAC= 90°，点D在线段 BC 1上，∠EDB= ∠C， BE⊥
2
DE，垂足为E，DE与AB 1相交于点 F．线段BE与FD的数量关系为 　BE= FD　 ． (直接
2
写出)
【答案】解：【问题情境】∵OP平分∠MON，∴∠AOC=∠BOC，
∵AC⊥OP，∴∠ACO=∠BCO，∵OC=OC，∴△AOC≌△BOC(ASA)，
∴AO=BO，AC=BC，故答案为：ASA；
【类比解答】如图 2，延长AE交BC于点F，
由【问题情境】可知，AC=FC，∴∠EFC=∠EAC= 63°，
∵∠EFC=∠B+∠DAE，∴∠DAE=∠EFC-∠B= 63° -37° = 26°，
故答案为： 26°；
【拓展延伸】 (1)BE= 1 CD，证明如下：
2
如图 3，延长BE、CA交于点F，则∠BAF= 180° -∠BAC= 90°，
∵BE⊥CD，∴∠BED= 90° =∠BAC，
∵∠BDC=∠ABF+∠BED=∠ACD+∠BAC，∴∠ABF=∠ACD，
又∵AB=AC，∴△ABF≌△ACD(ASA)，∴BF=CD，
由【问题情境】可知，BE=FE= 1 BF，BE= 1 CD；
2 2
(2)如图 4，过点D作DG ∥CA，与 BE的延长线相交于点G，与AB相
交于点H，
则∠GDB=∠C，∠BHD=∠A= 90° =∠GHB，
∵∠EDB= 1 ∠C= 1 ∠GDB=∠EDG，
2 2
又∵DE=DE，∠DEB=∠DEG= 90°，∴△DEB≌△DEG(ASA)，
∴BE=GE= 1 GB，
2
∵∠A= 90°，AB=AC，∴∠ABC=∠C=∠GDB，∴HB=HD，
∵∠BED=∠BHD= 90°，∠BFE=∠DFH，∴∠EBF=∠HDF，
∴△GBH≌△FDH(ASA)，∴GB=FD，∴BE= 1 FD．
2
故答案为：BE= 1 FD．
2
·10·

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