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2026秋季初一数学每日一题打卡001
1.定义：在数轴上点M所表示的数是m，点M ' 2所表示的数是 - ，则称点M '是点M的“伴随2 m
点”．已知点A2是点A1的伴随点，点A3是点A2的伴随点，点A4是点A3的伴随点 ，以此类推，
若点A1所表示的数为 4，则点A2045所表示的数为 (　　)
4 - 1 2 3A. B. C. D.
3 2
(001第1题试题来源：改编自2024秋季苏州张常昆太七年级上期中)
2.如图都是由同样大小的黑棋子按一定规律摆出的图案，第①个图案有 4个黑棋子，第②个图案
有 9个黑棋子，第③个图案有 14个黑棋子， ，依此规律，第 99个图案有　 　个黑棋子．
...
图1 图2 图3 图4
(001第2题试题来源：改编自2024秋季苏州工业园区校级期中)
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试题解析
2
1.定义：在数轴上点M所表示的数是m，点M '所表示的数是 - ，则称点M '是点M的“伴随2 m
点”．已知点A2是点A1的伴随点，点A3是点A2的伴随点，点A4是点A3的伴随点 ，以此类推，
若点A1所表示的数为 4，则点A2045所表示的数为 (　　)
A． 4 B．-1 C 2 3． D．
3 2
【答案】解：由题知，
因为点A1所表示的数为 4，所以
2
- =-1，即点A2所表示的数为-1；2 4
同理可得，
点A3所表示的数为
2 ；点A4所表示的数为
3 ；点A5所表示的数为 4；3 2
，
由此可见，这列数从点A 所表示的数开始按 4，-1， 2 ， 31 循环出现，3 2
因为 2045÷ 4= 511...1，所以点A2045所表示的数为 4．故选：A．
2.如图都是由同样大小的黑棋子按一定规律摆出的图案，第①个图案有 4个黑棋子，第②个图案
有 9个黑棋子，第③个图案有 14个黑棋子， ，依此规律，第 99个图案有 　 494　 个黑棋子．
图1 图2 图3 图4
【答案】解：观察图 1有 5× 1- 1= 4个黑棋子；
图 2有 5× 2- 1= 9个黑棋子；
图 3有 5× 3- 1= 14个黑棋子；
图 4有 5× 4- 1= 19个黑棋子；

图n有 (5n- 1)个黑棋子，
当n= 99时， 5n- 1= 494个黑棋子，
故答案为： 494．
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2026秋季初一数学每日一题打卡 002
1. (新教材必考)“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，相传大禹治水时，有只神龟从洛
水中跳出来，背上负有洛书，洛书便是最早的幻方．三阶幻方是最简单的幻方，又叫九宫格，它是
由九个数字组成的一个三行三列的矩阵．其对角线、横行、纵行的数字之和均相等，这个和叫做幻
和．如图 1是由 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9所组成的一个三阶幻方，其幻和为 (1+ 2+ 3+
+9) ÷ 3= 15．
(1)①如图 2，设该三阶幻方中间的数字是 x(其中 x为正整数)，请用含 x的代数式将下面的幻
方填充完整；
②如图 3也是一个不完整的三阶幻方，求 x的值；
(2)如图 4，这是一个类似于幻方的“幻圆”，将-3， 2，-1， 0， 1，-2， 3，-4分别填入
图中的圆圈内，使横、竖，以及内、外两圈上的 4个数字之和都相等．现已完成了部分填数．
①求“幻圆”的幻和；
②求 a+ b的值．
3
-2
4 9 2 x-4 7 c 0 d b
3 5 7 x-2 x 5 a
8 1 6 x-1 x-3 x 8 -4
图1 图2 图3 图4
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试题解析
1. (1)①如图 2，设该三阶幻方中间的数字是 x(其中 x为正整数)，请用含 x的代数式将下面的幻方
填充完整；
②如图 3也是一个不完整的三阶幻方，求 x的值；
(2)如图 4，这是一个类似于幻方的“幻圆”，将-3， 2，-1， 0， 1，-2， 3，-4分别填入图中
的圆圈内，使横、竖，以及内、外两圈上的 4个数字之和都相等．现已完成了部分填数．
①求“幻圆”的幻和；
②求 a+ b的值．
3
-2
4 9 2 x-4 7
c 0 d b
3 5 7 x-2 x 5
a
8 1 6 x-1 x-3 x 8
-4
图1 图2 图3 图4
【答案】解： (1)①如图②：技巧：过中心的直线上：三个数等差
②由题意得： x+ 8+◆= 5+ 7+◆，解得： x= 4；
3
-2
4 9 2 x+3 x-4 x+1 7
c 0 d b
3 5 7 x-2 x x+2 5
a
8 1 6 x-1 x+4 x-3 x ◆ 8
-4
图1 图2 图3 图4
(2)① (-3+ 2- 1+ 0+ 1- 2+ 3- 4) ÷ 2=-2， (8个数字不重复使用，横、竖各4个数)
答：“幻圆”的幻和为-2；
② a=-2- (3- 2- 4) = 1， d=-2- (-2+ 0+ 1) =-1，
∵外圈四个数 (c ,-4 , b , 3)之和也等于幻和-2， (当然你用中间横行也可以)
∴ b+ c=-2+ 1=-1，
∴ b=-3， c= 2，或 b= 2， c=-3，
∴ a+ b=-2或 3．
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2026秋季初一数学每日一题打卡003
1. (新教材必考)对幻方的研究体现了中国古人的智慧，如图1是一个幻方的图案，其中9个格中的
点数分别为1，2，3，4，5，6，7，8，9．每一横行、每一竖列、每一斜对角线上的点数的和都是
15．
-8 x-1
-2 -5 -5
0 3x+2 -4 -4
图1 图2 图3 图4
(1)如图 2是一个没有填完整的幻方，满足每一横行、每一竖列以及两条对角线上的三个数的和都
相等．则这个和是　 　，并根据所给的信息补全其余的空格．
(2)在图 3的幻方中，每一横行、每一竖列以及两条对角线上的三个数的和都相等．根据所给信息
求出 x的值，并根据 x的值补全图 4的幻方的空格．
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试题解析
1.【补充知识】关于幻方的性质：
(也许此题用不到，但是若掌握了幻方的性质，犹如初中生做小学题，可以做到降维打击的效果)
定义：九宫格中间一个数叫做平衡数，记为 x0 ;
性质1：每一横行、每一竖列以及两条对角线上的数的和都相等 (这个和称之为 "幻和 ")；
性质2：幻和等于平衡数×3，即 3x0；
性质3: 性质4: 三阶幻方的规律口诀：
过中心的线：“米”字型上的数 黄金铁三角： 二四为肩，六八为足，左三右
字两两差值相等(即为等差数列) 底角和=顶角×2 七，戴九履一，五居中央
A 4 9 2
B 3 5 7
1
C B+C=2A 8 6
(1)如图 2是一个没有填完整的幻方，满足每一横行、每一竖列以及两条对角线上的三个数的和都
相等．则这个和是　 -6 　，并根据所给的信息补全其余的空格．
【答案】【学以致用解答】
由图可知平衡数为-2，则幻和为-6； (如图 1为了方便描述，九宫格每个空格加上编号)，
则④应该填 2，米字格三个数两两差值相等，
则③应该填-6，①应该填-4 ,⑤应该填 4，再根据幻和补全②填 6 ,⑥填-10 ,图3即为所求.
① ② -8 -4 -8 -4 6 -8
③ -2 ④ -6 -2 2 -6 -2 2
⑤ ⑥ 0 4 0 4 -10 0
图1 图2 图3
(2)在图 3的幻方中，每一横行、每一竖列以及两条对角线上的三个数的和都相等．根据所给信息
求出 x的值，并根据 x的值补全图 4的幻方的空格．
【答案】【学以致用解答】 (2)由图可知平衡数为-5，则幻和为-15；则①格子的数应为-6，
故 x- 1=-6 ,解得： x=-5 ,代入⑦得: 3x+ 2=-13 ,
再利用上述性质逐一完成即可，图6即为所求.
① ② ③ -6 绿色部分也可以用隐含黄金三角形求解 -6 3 -12
④ -5 ⑤ -5 -11 -5 1
⑥ ⑦ -4 -13 -4 2 -13 -4
图4 图5 图6
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2026秋季初一数学每日一题打卡 004
1.已知一列数： 1，-2， 3，-4， 5，-6， 7， 将这列数排成下列形式：
第 1行 1
第 2行 -2 3
第 3行 -4 5 -6
第 4行 7 -8 9 -10
第 5行 11 -12 13 -14 15

按照上述规律排下去，那么第 100行从左边数第 4个数是 (　　)
A. - 4954 B. 4954 C. - 4953 D. 4953
(004第1题试题来源：2025秋季南京建邺区周测)
2.已知一列数 a1， a2， a3， ，具体如下规律： a2n+1= an+ an+1， a2n= an(n是正整数)．若 a1=
1，则 a71的值为 (　　)
A. 11 B. 12 C. 13 D. 14
(004第2题试题来源：改编自2023秋季园区校级期中)
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试题解析
1.已知一列数： 1，-2， 3，-4， 5，-6， 7， 将这列数排成下列形式：
第 1行 1
第 2行 -2 3
第 3行 -4 5 -6
第 4行 7 -8 9 -10
第 5行 11 -12 13 -14 15

按照上述规律排下去，那么第 100行从左边数第 4个数是 (　A　)
A. - 4954 B. 4954 C. - 4953 D. 4953
【答案】解：第 1行有 1个数，最后一个数的绝对值是： 1；
= + = 2×(2+1)第 2行有 2个数，最后一个数的绝对值是： 3 1 2 ；
2
3×(3+1)
第 3行有 3个数，最后一个数的绝对值是： 6= 1+ 2+ 3= ；
2
4×(4+1)
第 4行有 4个数，最后一个数的绝对值是： 10= 1+ 2+ 3+ 4= ；
2
5×(5+1)
第 5行有 5个数，最后一个数的绝对值是： 15= 1+ 2+ 3+ 4+ 5= ；
2
；
∴ n(n+1)第n行有n个数，最后一个数的绝对值是： ； (★这是这道题的核心)
2
∴ 99×(99+1)第 99行有 99个数，此行最后一个数的绝对值为： = 4950；
2
∴第 100行从左边数第 4个数的绝对值为 4954，
∵奇数为正，偶数为负，
∴第 100行从左边数第 4个数为-4954，
故选：A．
2.已知一列数 a1， a2， a3， ，具体如下规律： a2n+1= an+ an+1， a2n= an(n是正整数)．若 a1=
1，则 a71的值为 (　C　)
A. 11 B. 12 C. 13 D. 14
【答案】首先读懂题意，偶数项： a2n= an ,举例： a14= a7 , a16= a8= a4= a2= a1 ;
奇数项： a2n+1= an+ an+1 ,举例： a7= a3+ a4=（a1+ a2）+ a2= a1+ 2a2= a1+ 2a1= 3a1.
【解答】解：∵ a2n+1= an+ an+1， a2n= an(n是正整数)，
∴ a71= a35+ a36= a17+ a18+ a18= a17+ 2a18= a8+ a9+ 2a9
= a8+ 3a9= a4+ 3(a4+ a5) = 4a4+ 3a5= 4a2+ 3(a2+ a3)
= 7a2+ 3a3= 7a1+ 3(a1+ a2) = 10a1+ 3a2= 10a1+ 3a1= 13a1，
∵ a1= 1，∴ a71= 13，故选：C．
为了方便理解，偶数项的每次变换全部以相同颜色表示.
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2026秋季初一数学每日一题打卡 005
1. (26秋高频)等边三角形 (三条边都相等的三角形是等边三角形)纸板ABC在数轴上的位置如图所
示，点A，B对应的数分别为 3和 2，若△ABC绕着顶点逆时针方向在数轴上连续翻转，翻转第 1
次后，点C所对应的数为 1，则翻转 2045次后，点C所对应的数是　 　．
C
B A
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
2.如图，周长为 16的长方形ABCD，其顶点A、B在数轴上，且点A对应的数为-1，CD= 6，
若将长方形ABCD沿着数轴向右做无滑动的翻滚，经过 2047次翻滚后，长方形最右端到达数轴上
的点P，则P点所对应的数为　 　．
D C
A B
·9·
试题解析
1.等边三角形 (三条边都相等的三角形是等边三角形)纸板ABC在数轴上的位置如图所示，点A，
B对应的数分别为 3和 2，若△ABC绕着顶点逆时针方向在数轴上连续翻转，翻转第 1次后，点C
所对应的数为 1，则翻转 2045次后，点C所对应的数是 　-2042　 ．
C
B A
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
【答案】解：法一：如图，每 3次翻转为一个循环组依次循环，
C3 B2 A1 C
B3 B A
-3 -2 -1 A02 C11 2 3 4 5 6 7
由图知，翻转第 1次后，点C所对应的数为 1，翻转第 2次后，点C所对应的数为 1，
∵ 2045÷ 3= 681 2，∴翻转 2045次后点C在数轴上，
∴点C对应的数是 1- 681× 3=-2042．故答案为：-2042．
法二：运动路程：
C3 B2 A1 C
B3 B A
-3 -2 -1 A02 C11 2 3 4 5 6 7
首先考虑逆时针运动，起点是 2，翻转 2045次，可以理解为运动 2045个单位，当时的终点是
-2043 ,
可数轴上有两个点，到底是不是C呢？
考虑循环组问题， 2045是 3的倍数多 2，或者差一次翻转就是 3的倍数了.参照示例图发现应该是
与红色的运动状态相同，即-2043对应的是A ,那么C就是-2042.
2.如图，周长为 16的长方形ABCD，其顶点A、B在数轴上，且点A对应的数为-1，CD= 6，
若将长方形ABCD沿着数轴向右做无滑动的翻滚，经过 2047次翻滚后，长方形最右端到达数轴上
的点P，则P点所对应的数为　 8191 　．
D C
A B
【答案】解：如图，长方形的周长是 16，长是 6，宽则为 2，翻转 4次，为一个周期，最右端的点移
动 16个单位，
∵ 2047÷ 4= 511 3，此处余3的意义需要想明白，是3次，不是3个单位！
∴前 2044次翻转（511个完整周期），共移动了 511× 16= 8176个单位，则第 2045- 2047次，再
移动 2+ 6+ 2= 10个单位，
∴右边的点移动 511× 16+ 10= 8186，
∵点A对应-1，CD= 6，∴点B对应 5，
∴经过 2047次翻滚后，点P对应的数是 8186+ 5= 8191.
·10·

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